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第二十五讲 数论相关的计数一、与整除相关的计数问题：整除的特点往往是解题的关键。二、与数字相关的计数问题：抓住数字的特点来解决问题。例1:1、2、3、4、5、6、7这7个数中，选出3个互不相同的数，使得：（1）这三个数的乘积能被3整除，不同的选法有几种？（2）这三个数的和能被3整除，不同的选法有几种？练习1：从1至10中选出3个互不相同的数，如果要使它们的乘积是3的倍数，那么有多少种选法？如果要使它们的和是3的倍数，那么有多少种不同的选法？例2：小明的衣服口袋中有10张卡片，每张卡片上分别写着1、2、3、10。如果从中拿出两张卡片，使得两数的乘积能被6整除的选法共有多少种？练习2：从1至10中选出2个互不相同的数，使它们的乘积是4的倍数，共有多少种选法？例3：六位数123475能被11整除，如果将这个六位数的6个数字重新排列，还能排出多少个能被11整除的六位数？练习3：用1、2、3、5、9组成各位数字互不相同的六位数，其中有多少个能被11整除？例4：有一种数，这些数的各位数字从左往右依次增大，我们称之为“上升数”。将所有的四位数“上升数”按从小到大的顺序排列成一行：1234、1235、1236、，那么从左往右第100个数是多少？练习4：有一种数，这些数的各位数字从左往右依次减少，我们称之为“下降数”，如果将三位的“下降数”从大到小排列：987、986、，那么从左往右第20个数是多少？例5：有一些三位数存在相邻两位数字2和3，例如132、235、，这样的三位数一共有多少个？练习 5：有一些四位数，它们存在相邻三位数字2、3和4，例如2341、3425、，这样的四位数一共有多少个？综合练习1、从20、28、36、100这个等差数列中，选出三个互不相同的数，如果要使它们的乘积是7的倍数，那么有多少种选法？如果要使它们的乘积是3的倍数，那么有多少种选法？2、1至15中，选出两个不同的数，使它们的乘积是10的倍数，共有多少种选法？3、用1、2、3、4、5、8、9组成不重复的七位数，其中有多少个能被11整除？4、如果把三位“上升数”从小到大排列，如123、124、，那么第20个“上升数”是多少？
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