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第四章数系的扩充与复数的引入4 1 1数的概念的扩展 上古结绳而治 后世圣人易之以书契 数的概念的扩展 古罗马的数字相当进步 现在许多老式挂钟上还常使用 实际上 罗马数字的符号一共只有7个 i 代表1 v 代表5 x 代表10 l 代表50 c代表100 d 代表500 m 代表1 000 这7个符号位置上不论怎样变化 它所代表的数字都是不变的 它们按照下列规律组合起来 就能表示任何数 1 重复次数 2 右加左减 3 上加横线 iii表示3 xxx表示30 dc表示600 vd表示495 用罗马数字表示1000000 就要连续不断地写上一千个m或在m上画一条横线 没有0 数的概念的扩展 春秋战国时期 我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法 筹算 从算筹数码中没有 10 这个数可以清楚地看出 筹算从一开始就严格遵循十位进制 9位以上的数就要进一位 在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末 但筹算数码中开始没有 零 遇到 零 就空位 比如 6708 就可以表示为 数字中没有 零 是很容易发生错误的 所以后来有人把铜钱摆在空位上 以免弄错 其实在公元5世纪时 0 已经传入罗马 多数人认为 0 这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人 数的概念的扩展 n z q r 问题提出 x2 1 引入 i2 1 符号i叫做虚数单位 规定 i可以和任何实数b相乘 i b a 定义 形如a bi的数叫做复数 a b是实数 i是虚数单位 z a b r 复数 i b a z a b r 0 复数a bi 实数 b 0 b 0 虚数 0 纯虚数 a 0 a 0 非纯虚数 a 分类 实部 rez a 虚部 imz b 复数集 c 数集的关系 n z q r c 例1说出下列三个复数的实部 虚部 并指出它们是实数还是虚数 如果是虚数请指出是否为纯虚数 1 3 4i 2 3 7 解 1 3 4i的实部与虚部分别是3与4 它是虚数 但不是纯虚数 2 的实部与虚部分别是0与 它是虚数 而且是纯虚数 3 7的实部与虚部分别是 7与0 它是实数 例2实数m取什么值时 复数是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 解 1 当m 1 0 2 当 即时 复数z是虚数 3 当 即时 复数z是纯虚数 实部 即m 1时 复数z是实数 虚部 5i 2 0 练习1 说出下列复数中哪些是实数 哪些是虚数 哪些是纯虚数 实数 纯虚数 虚数 练习2 判断下列命题是否正确 1 若a b为实数 则z a bi为虚数 2 若b为实数 则z bi必为纯虚数 3 若a为实数 则z a一定不是虚数 1 m 5 2 m 2或m 3 练习3 练习4 a 0 是 复数a bi a b
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