人教版小学数学六年级下册数学广角《鸽巢问题》教学案例及反思.doc

礼贤小学数学科组中高年级课题“五环节”练习教学模式教学案例及反思六 年级 数学 科数学广角 鸽巢问题教学案例及反思执教者： 陈秀引 2016年 4 月 28 日（第 11 周 三 第 2 节） 上课班级： 六1班 设计理念：鸽巢问题即鸽巢原理又称抽屉原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。首先，用具体的操作，将抽象变为直观。“总有一个筒至少放进2支笔”这句话对于学生而言，不仅说起来生涩拗口，而且抽象难以理解。怎样让学生理解这句话呢？我觉得要让学生充分的操作，一在具体操作中理解“总有”和“至少”；二在操作中理解“平均分”是保证“至少”的最好方法。通过操作，最直观地呈现“总有一个筒至少放进2支笔”这种现象，让学生理解这句话。其次，充分发挥学生主动性，让学生在证明结论的过程中探究方法，总结规律。学生是学习的主动者，特别是这种原理的初步认识，不应该是教师牵着学生去认识，而是创造条件，让学生自己去探索，发现。所以我认为应该提出问题，让学生在具体的操作中来证明他们的结论是否正确，让学生初步经历“数学证明”的过程，逐步提高学生的逻辑思维能力。再者，适当把握教学要求。我们的教学不同奥数，因此在教学中不需要学生说理的严密性，也不需要学生确定过于抽象的“鸽巢”和“物体”。教材分析：鸽巢问题这是一类与“存在性”有关的问题，如任意13名学生，一定存在两名学生，他们在同一个月过生日。在这类问题中，只需要确定某个物体(或某个人)的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体(或哪个人)，也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体(或人)找出来。这类问题依据的理论，我们称之为“鸽巢问题”。通过第一个例题教学，介绍了较简单的“鸽巢问题”：只要物体数比鸽巢数多，总有一个鸽巢至少放进2个物体。它意图让学生发现这样的一种存在现象：不管怎样放，总有一个筒至少放进2支笔。呈现两种思维方法：一是枚举法，罗列了摆放的所有情况。二是假设法，用平均分的方法直接考虑“至少”的情况。通过前一个例题的两个层次的探究，让学生理解“平均分”的方法能保证“至少”的情况，能用这种方法在简单的具体问题中解释证明。第二个例题是在例1的基础上说明：只要物体数比鸽巢数多，总有一个鸽巢里至少放进(商+1)个物体。因此我认为例2的目的是使学生进一步理解“尽量平均分”，并能用有余数的除法算式表示思维的过程。学情分析：可能有一部分学生已经了解了鸽巢问题，他们在具体分析过程中，都在运用平均分的方法，也能就一个具体的问题得出结论。但是这些学生中大多数只“知其然，不知其所以然”，为什么平均分能保证“至少”的情况，他们并不理解。还有部分学生完全没有接触，所以他们可能会认为至少的情况就应该是“1”。教学内容：人教版六年级数学下册教材第68-69页数学广角 鸽巢问题例1、例2。教学目标：1.知识目标：通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。2.能力目标：经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。3.情感目标：通过“鸽巢原理”的灵活应用，渗透“建模”思想，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。教学重点、难点：1.重点：经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”。2.难点：理解“鸽巢问题”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。教具准备：相关课件 相关学具(若干笔和筒)。教学过程 ：一、基础练习。1.填一填。3（ ）+（ ）（ ）+（ ）4（ ）+（ ）（ ）+（ ）（ ）+（ ）（ ）+（ ）5（ ）+（ ）+（ ）（ ）+（ ）+（ ）（ ）+（ ）+（ ）（ ）+（ ）+（ ）2.魔术游戏（5人小组玩一玩并作讨论、验证）。一副牌，取出大小王，还剩52张牌，你们5人每人随意抽一张，至少有2张牌是同花色的。相信吗？设计意图：联系学生的生活实际，激发学习兴趣，使学生积极投入到后面问题的研究中。3.引入新课。想知道这是为什么吗？通过今天的学习，你就能解释这个现象了。下面我们就来研究这类问题，板题：数学广角鸽巢问题。二、自学例题，初次尝试。1.学习例1。（1）出示尝试题：3支笔，2个笔筒，可以怎么放？请同学们运用实物放一放，看有几种摆放方法?学生汇报结果：(3 , 0 ) (2，1)。师生交流摆放的结果，小结：不管怎么放，总有一个筒里至少放进了2支笔。（2）教学例1：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。为什么？具体操作，感知规律。a.学生汇报结果。(4，0,0) (3，1，0) (2，2，0) (2，1，1)b.师生交流摆放的结果。c.小结：不管怎么放，总有一个筒里至少放进了2支笔。(学情预设:学生可能不会说，“不管怎么放，总有一个筒里至少放进了2支笔。”)设计意图：鸽巢问题对于学生来说，比较抽象，特别是对“不管怎么放，总有一个筒里至少放进了2支笔”这句话的理解。所以通过具体的操作，枚举所有的情况后，引导学生直接关注到每种分法中数量最多的筒，理解“总有一个筒里至少放进了2支笔”。让学生初步经历“数学证明”的过程，训练学生的逻辑思维能力。质疑：我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一次，也能得到这个结论的方法呢？假设法，用“平均分”来演绎“鸽巢问题”。a.思考，小组讨论：要怎么放，只放一次，就能得出这样的结论呢？学生思考小组交流汇报b.汇报想法预设生1：我们发现如果每个筒里放1支笔，最多放3支，剩下的1支不管放进哪一个筒里，总有一个筒里至少有2支笔。学生操作演示分法，明确这种分法其实就是“平均分”。设计意图：鼓励学生进行积极自主探索，寻找不同的证明方法，在枚举法的基础上，学生意识到了要考虑最少的情况，从而引出假设法渗透平均分的思想。2.同类练习：5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？学生思考回答，教师借此进行小结：上面我们所证明的数学原理就是最简单的“抽屉原理”，可以概括为：把m个物体任意放到m-1个抽屉里，那么总有一个抽屉中至少放进了2个物体。三、深化例题，二次尝试。1.以小组为单位，自由选择方法解决以下问题（例2）：把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。为什么？如果有8本书会怎样呢？10本书呢？（1）学生独立思考后，进行小组交流；（2）教师巡视了解情况；（3）组织全班交流，说说选择的方法：用列举的方法：把7分解成三个数，有（7，0，0），（6，1，0），（5，1，1），（4，1，2），（3，1，3），（3，2，2）这样六种情况，在任何一种情况中，总有一个数不小于3。同学们，我们知道把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。但随着书的本数增多，数据变大，如果有8本书会怎样呢？10本书呢？甚至更多呢？如果还是用列举的方法，就会觉得很繁琐。我们能不能找到一种适用各种数据的一般方法呢？小组讨论讨论。假设法：学生尝试把书尽量“平均分”给各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，你们能用什么算式表示这一平均分的过程呢？73=21（把7本书平均放进3个抽屉，每个抽屉放2本书，还剩1本；把剩下的1本不管放到哪个抽屉，总有一个抽屉至少放3本书。）83=22（把8本书平均放进3个抽屉，每个抽屉放2本书，还剩2本；把剩下的2本中的1本不管放到哪个抽屉，总有一个抽屉至少放3本书。）103=31（把10本书平均放进3个抽屉，每个抽屉放3本书，还剩1本；把剩下的1本不管放到哪个抽屉，总有一个抽屉至少放3本书。）在这种方法中，你发现了什么？师生共同小结：要把a个物体放进n个抽屉，如果anbc（c0），那么一定有一个抽屉至少放（b+1）个物体。设计意图：在渗透研究问题、探索规律时，先从简单的情况开始研究。证明过程中，展示了不同学生的证明方法和思维水平，使学生既互相学习、触类旁通，又建立“建模思想”，突出了学习方法。四、发展练习。1.11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了几只鸽子。为什么？2.随意找13位老师，他们中至少有几个人的属相相同。为什么？3.5个人坐4把椅子，总有一把椅子至少坐（ ）人。4.张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于（ ）环。五、综合练习。1.1001只鸽子飞进50个鸽舍，无论怎么飞，我们一定能找到一个鸽子最多的鸽舍，它里面至少有（ ）只鸽子。2.从8个抽屉中拿出17个苹果，无论怎么拿，我们一定能找到一个拿出苹果最多的抽屉，从它里面至少拿出了（ ）个苹果。3.从（ ）（填最大数）个抽屉中拿出25个苹果，才能保证一定能找到一个抽屉，从它当中至少拿了7个苹果。六、课末总结，梳理提升。通过这节课的学习，你有什么收获？（物体数除以抽屉数，那么总会有一个抽屉里放进比商多1的物体个数。）（附）板书设计: 鸽巢问题73=21 要把a个物体放进n个抽屉，如果83=22 anbc（c0），那么一定有103=31 一个抽屉至少放（b+1）个物体。教后反思：1.学生对“至少”理解不够，给“建模”带来了一定的难度；2.培养学生的问题意识，借助直观操作和假设法，