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跨考教育考研数学三09-10模拟试题1答案一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。1、D 2、 C 3、A 4、D 5、D 6、D 7、D 8、D二、填空题：9-14 小题，每小题 4分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。9、 10、11、 12、13. 14. 三、解答题：15-23 小题，共 94 分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）【解】（1）。（2），又因为在上连续，内可导由Roll定理可得，存在一点使得，即（3）因为，及在上连续，内可导，由Roll定理，存在一点使得，即。（16）【证明】引入辅助函数。只需证明 考察 特别有：（17）【解】 所以。（18）【解】（1）因为，所以，从而，且，代入原方程得。（2）方程对应的齐次方程的通解为。设方程的特解为，代入得，故，从而的通解为由，得，、故所求初值问题的解为。（19）【解】易见，对，特别有，因此。（20）【证明】（1）利用反证法证明：假设，其系数一部分等于零，另一部分不为零。也即存在，而其余系数不全为零。则有，且不全为零。因此，向量组线性相关。这与已知条件矛盾，因此，假设不成立。则要么全为零，要么全不为零。（2）由于，因此我们可以给等式乘以再减去等式，由此可以得到。整理后可得。在上式中，由于的系数，由（1）的结论可知，其余项的系数也全为零。也即。又由于，由（1）的结论可知全不为零。则有。（21）【解】易得二次型的矩阵的特征值为，作正交变换后所得二次型的矩阵的特征值为。由于正交变换也是相似变换，因此不改变特征值。则有。现计算所作正交变换，对于特征值，有,则易得齐次线性方程组的基础解系为，对该向量组正交化并单位化的。对于特征值，有则易得齐次线性方程组的基础解系为，单位化的。令。则所作的正交变换为。（22）【解】（1）随机变量边缘概率密度；随机变量边缘概率密度。因此，条件概率密度（2）。由图像易得，。因此。（23）【解】。为了计算上述级数的和，我们考虑幂级数 。对该式两边运用逐项求导定理可得。由于，因此有。也即，因此。则的矩估计量为。为求的最大似然估计量，先设随机样本的观
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