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3 1数系的扩充和复数的概念 毕达哥拉斯 约公元前560 480年 数 是万物的本源 支配整个自然界和人类社会 世间一切事物都可归结为数或数的比例 这是世界所以美好和谐的源泉 计数的需要 正整数 零 自然数 中国是世界上最早认识应用负数的国家 早在2000多年前的 九章算术 中 就有正数和负数的记载 在古代人民生活中 以收入钱为正 以支出钱为负 在粮食生产中 以产量增加为正 以产量减少为负 古代的人们为区别正 负数 常用红色算筹表示正 黑色算筹表示负 小贴士 珠穆朗玛峰大约比海平面高8844米 吐鲁番盆地大约比海平面低155米 8844 155 数系的扩充 自然数集 整数 负整数 自然数 正整数 零 整数集 数系的扩充 等额分配 整数 负整数 自然数 正整数 零 分数 有理数 有理数集 1 1 问题 边长为1的正方形的对角线长度为多少 无理数 实数 实数集 问题1 在自然数集中方程有解吗 问题2 在整数集中方程有解吗 问题3 在整数集中方程有解吗 问题4 在有理数集中方程有解吗 问题4 在有理数集中方程有解吗 没有实数根 学生活动 现在我们要进行数系的再一次扩充就是要解决这个问题 怎么解决 讨论 你能给出一个解决问题的方案吗 问题6 1545年 卡尔丹在 大衍术 中写道 要把10分成两部分 使二者乘积为40 这是不可能的 不过我却用下列方式解决了 能作为 数 吗 它表示什么意义 历史回顾 1637年 法国数学家笛卡尔把这样的数叫做 虚数 r descartes 1596 1661 笛卡尔 1 新数i叫做虚数单位 并规定 1 i2 1 2 实数可以与i进行四则运算 在进行四则运算时 原有的加法与乘法的运算律仍然成立 虚数 1 形如a bi a b r 的数叫做复数 通常用字母z表示 3 全体复数所形成的集合叫做复数集 一般用字母c表示 2 复数的概念 实部 虚部 其中称为虚数单位 2 例题讲解 例1 写出下列复数的实部与虚部 解 4的实部为4 虚部为0 2 3i的实部为2 虚部为 3 0的实部为0 虚部为0 的实部为 虚部为 的实部为5 虚部为 6i的实部为0 虚部为6 三 复数的分类 复数a bi 如图所示 虚数集 实数集 纯虚数集 数学建构 例1 请指出哪些是实数 哪些是虚数 哪些是纯虚数 解 实数有 虚数有 纯虚数有 4 0 例题讲解 例2实数m取什么值时 复数是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 解 1 当 即时 复数z是实数 2 当 即时 复数z是虚数 例题讲解 4 0 5 6 2i 如何定义两个复数相等 反之 也成立 如果两个复数的实部和虚部分别相等 那么我们就说这两个复数相等 则 想一想 例2 已知 复数相等的问题 转化 求方程组的解的问题 与 转化 复数问题实数化 解 根据两个复数相等的充要条件 可得方程组 解得 求实数 探究 任意两个复数可以比较大小吗 认为可以者 请拿出进行比较的方法
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