2020届盘锦市兴隆台区辽河油田第二高级中学高三上学期期末数学（文）试题（解析版）

2020届辽宁省盘锦市兴隆台区辽河油田第二高级中学高三上学期期末数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】解出集合，然后利用交集的定义可求出集合.【详解】，且，因此，.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2复数是的共轭复数，则（ ）ABCD【答案】B【解析】利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，利用共轭复数的概念可求出与的值，即可得出的值.【详解】，解得，因此，.故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算，同时也考查了共轭复数的概念以及利用复数相等求参数，考查计算能力，属于基础题.3设为等差数列的前项和，已知，则（ ）ABCD【答案】D【解析】设等差数列的公差为，利用条件求出的值，由此可计算出的值.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，因此，.故选：D.【点睛】本题考查等差数列中相关项的计算，一般利用方程思想求出首项和公差的值，同时也涉及了等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4阅读如图的程序框图. 若输入, 则输出的值为ABCD【答案】B【解析】试题分析：第一圈，n=6,n=13,否k=1；第二圈，n=13,n=27,否k=2；第三圈，n=27,n=55,否k=3；第四圈，n=55,n=110,是，输出k=3；故选B【考点】本题主要考查程序框图点评：简单题，解的思路明确，主要看对程序框图的理解，注意逐次循环看结果5在中，、分别是角、的对边，若，则的面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】利用余弦定理求出、的值，然后利用三角形的面积公式可求出的面积.【详解】由余弦定理可得，即，解得，则，因此，的面积为.故选：D.【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.6设向量，向量，且，则等于（ ）ABCD【答案】A【解析】由得，所以，所以，故选A.7已知直线、与平面、满足，则下列命题中正确的是（ ）A是的充分不必要条件B是的充要条件C设，则是的必要不充分条件D设，则是的既不充分也不必要条件【答案】C【解析】利用线面垂直、面面垂直的判定和性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断出各选项中命题的正误.【详解】对于A选项，如下图所示：在正方体中，设平面，平面，平面平面，平面，平面，易知为正三角形，则，则；设，平面，平面，但平面与平面不垂直，则.所以，是的既不充分也不必要条件，A选项错误；对于B选项，如下图所示：在正方体中，设平面，平面，但平面与平面不垂直，即；设平面，平面，则，平面平面，但与不垂直，即，所以，是的既不充分也不必要条件，B选项错误；对于C、D选项，如下图所示：在正方体中，设平面，平面，但与不垂直，所以，若，；若，则.所以，若，则是的必要不充分条件，C选项正确，D选项错误.故选：C.【点睛】本题以立体几何为载体，考查充分条件和必要条件的判断，要熟悉空间中垂直关系的判定和性质定理，结合几何体模型进行判断，考查推理能力，属于中等题.8在正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（ ）ABCD【答案】C【解析】设正方形的边长为，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，可得出圆的方程为，可设点的坐标为，根据向量的坐标运算可将用的三角函数表示，利用辅助角公式和正弦函数的有界性可求出的最大值.【详解】设正方形的边长为，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、，直线的方程为，即，点到直线的距离为，则以点为圆心且与直线相切的圆的方程为，设点的坐标为，由，得，所以，因此，的最大值为.故选：C.【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数和的最小值，利用圆的有界性结合圆的参数方程来求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9在区间上随机地选择一个数，则方程有两个正根的概率为（ ）ABCD【答案】A【解析】方程有两个正根，则有，即解得或，又，由几何概型概率公式可得方程有两个正根的概率为，故选A.10已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为ABCD【答案】A【解析】【详解】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后利用离心率求解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为（c0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出的值即可.11正四面体的棱长为4，为棱的中点，过作此正四面体的外接球的截面，则该截面面积的最小值是（ ）A B C D【答案】A【解析】 将四面体放置在正方体中，如图所示，可得正方体的外接球就是四面体的外接球，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为，可得外接球的半径满足，即，又为的中点，过作其外接球的截面，当截面到球心的距离最大时，此时截面圆的面积最小，此时球心到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为，得到截面圆的面积的最小值为，故选A.12定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（ ）ABCD【答案】D【解析】构造函数，利用已知条件求得，即函数为增函数，而，由此求得，进而求得不等式的解集.【详解】构造函数，依题意可知，即函数在上单调递增.所求不等式可化为，而，所以，解得，故不等式的解集为.【点睛】本小题主要考查利用导数解不等式，考查构造函数法，考查导数的运算以及指数不等式的解法，属于中档题.题目的关键突破口在于条件的应用.通过观察分析所求不等式，转化为，可发现对于，它的导数恰好可以应用上已知条件.从而可以得到解题的思路.二、填空题13=_.【答案】【解析】由题意逆用二倍角公式求解三角函数式的值即可.【详解】由题意可得原式.【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14已知函数在处的切线与直线平行，则为_.【答案】【解析】根据题意得出，由此可得出实数的值.【详解】，直线的斜率为，由于函数在处的切线与直线平行，则.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的切线与直线平行求参数，解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.15在中，角所对的边为，若，则当取最大值时，_；【答案】【解析】由余弦定理得，结合条件，将式子通分化简得，再由辅助角公式得出，当时，取得最大值，从而求出结果.【详解】在中由余弦定理可得，所以，其中，当取得最大值时，故答案为：.【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.16已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为、，且两条曲线在第一象限的焦点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是_.【答案】【解析】设椭圆和双曲线的焦距为，由条件可得，并设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，利用椭圆和双曲线的定义可得，利用三角形三边关系求得的取值范围，再利用离心率公式，即可计算出的取值范围.【详解】设椭圆和双曲线的焦距为，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，设，由于是以为底边的等腰三角形，且，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，由三角形三边关系可得，即，即，由离心率公式可得，则，因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，考查离心率取值范围的计算，同时也考查了三角形三边关系，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题17为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：年龄频数支持“生二胎”（1）由以上统计数据填下面列联表，并问是否有的把握认为以岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；年龄不低于岁的人数年龄低于岁的人数合计支持不支持合计（2）若对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？参考数据：，.【答案】（1）没有，理由见解析；（2）.【解析】（1）根据题中数据完善列联表，计算出的观测值，利用参考数据即可对题中的结论进行判断；（2）将所选人中支持“生育二胎放开”的人记为、，不支持“生育二胎放开”的人记为，利用列举法列举出所有的基本事件，并确定事件“所抽取的两人都支持“生育二胎放开”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出结果.【详解】（1）根据题中数据，列联表如下：年龄不低于岁的人数年龄低于岁的人数合计支持不支持合计，因此，没有的把握认为以岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；（2）由题意可知，年龄在的有人，其中支持“生育二胎放开”的有人，分别记为、，不支持“生育二胎放开”的人记为，所有的基本事件有：、，共种.事件“所抽取的两人都支持“生育二胎放开”包含的基本事件有：、，共种，由古典概型的概率公式可知，所抽取的两人都支持“生育二胎放开”的概率为.【点睛】本题考查独立性检验基本思想的应用，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，一般利用列举法列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于基础题.18已知数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项.（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2） .【解析】(1)利用通项与前n项和的关系求得关于的递推公式满足等比数列,再求得首项与公比即可求得数列的通项.(2) 为差比数列,故考虑用错位相减求和.【详解】解（1）两式相减得,即数列an是等比数列(2) 得【点睛】本题主要考查了通项与前n项和的关系,同时也考查了错误相减求和的方法,属于中等题型.19如图，矩形垂直于正方形垂直于平面且（1）求三棱锥的体积；（2）求证：面面【答案】（）；（）详见解析.【解析】试题分析：（1）由面面，根据面面垂直的性质定理得：又因为面，故则根据线面垂直的判定定理，因为，则面，从而即三棱锥的高，根据即可；（2）设的中点为，连结根据已知条件可计算出，由勾股定理得：，从而又，根据线面垂直的判定定理得：根据面面垂直的判定定理即可得出试题解析：（1）因为面面，面面，所以又因为面，故，因为，所以即三棱锥的高，因此三棱锥的体积（2）如图，设的中点为，连结在中可求得；在直角梯形中可求得；在中可求得从而在等腰，等腰中分别求得，此时在中有，所以因为是等腰底边中点，所以，所以，因此面面【考点】1.面面垂直的判定定理和性质定理；2.线面垂直的判定定理【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理，属于中档题再立体几何中如果题目条件中有面面垂直，则必然会用到面面垂直的性质定理，即由面面垂直得线面垂直；证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线本题用到了直角三角形20已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若在区间上没有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）单调增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】（1）求出f（x），解不等式f（x）0，f（x）0，即可求出f（x）的单调区间；（2）函数g（x）在区间上没有零点，只需在上在上恒成立，分离参数，根据导数和函数的最值得关系即可求出【详解】（1）由题意知函数的定义域为，令得，令得，所以函数的单调增区间为，单调递减区间为.（2）由题意知若，因为在区间上没有零点，所以在上恒成立，由，得，令，则.当时，所以在上单调递减，所以时，所以，即，所以实数的取值范围.【点睛】本题是导数在函数中的综合运用，考查运用导数求单调区间，求极值，求最值，考查分类讨论的思想方法，注意有解问题分离参数是常用的方法21已知抛物线C：y22px过点P(1,1)过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点【答案】（1）抛物线C的焦点坐标为 ，准线方程为x；（2）见解析.【解析】试题分析：（）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线ON的方程为，联立求得点的坐标为，再证明.试题解析：（）由抛物线C：过点P（1，1），得.所以抛物线C的方程为.抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.由，得.则，.因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.直线ON的方程为，点B的坐标为.因为，所以.故A为线段BM的中点.【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数的关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来即可，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.22选修44：极坐标与参数方程已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，曲线C：(为参数)，在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线l：.()求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；()曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标【答案】()见解析；()见解析.【解析】试题分析： （1）消去参数，即可得到曲线C的普通