2020届重庆市高三上学期期末测试数学（文）（ 一诊康德卷）试题（解析版）

2020届重庆市高三上学期期末测试数学（文）（ 一诊康德卷）试题一、单选题1已知集合，集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】化简集合，求出，按照交集的定义，即可求解.【详解】或，.故选:D.【点睛】本题考查交集、补集的混合运算，属于基础题.2设复数z满足，则（ ）ABCD【答案】A【解析】由已知得，根据复数的除法法则，求出的实部和虚部，即可求解.【详解】，.故选:A.【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数模长，属于基础题.3在区间内随机取一个数a，则关于x的方程无实根的概率是（ ）ABCD【答案】B【解析】由已知条件，得，结合，求出的范围，根据几何概型的概率公式，取值范围区间长度除以长度，即可求解.【详解】关于x的方程无实根，得，所以所求的概率为.故选:B.【点睛】本题考查几何概型的概率，转化为区间的长度比，属于基础题.4函数的图象大致是（ ）ABCD【答案】D【解析】运用对数的运算法则将函数化简为，即可求解.【详解】 ，为偶函数，图像关于轴对称，当.故选:D.【点睛】本题考查用对数的运算法则化简函数解析式，将问题转化为熟悉函数的图像，属于基础题.5已知，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式，求出的充要条件，与对比，即可求解.【详解】，“”是“”的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题考查充分必要条件，等价转化是解题的关键，属于基础题.6为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论： 样本数据落在区间的频率为0.45；如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；样本的中位数为480万元.其中正确结论的个数为（ ）A0B1C2D3【答案】D【解析】根据直方图求出，求出的频率，可判断；求出的频率，可判断；根据中位数是从左到右频率为的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间的比例，求出中位数，判断.【详解】由，的频率为，正确；的频率为，正确；的频率为，的频率为，中位数在且占该组的，故中位数为，正确.故选:D.【点睛】本题考查补全直方图，由直方图求频率和平均数，属于基础题7执行如下图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A3B4C5D6【答案】B【解析】根据循环结构的计算公式，当结果不满足条件时，退出循环体，输出.【详解】解：；，退出循环体，输出.故选:B.【点睛】本题考查循环结构输出结果，读懂程序框图是解题的关键，属于基础题.8已知平面非零向量满足：，在方向上的投影为，则与夹角的余弦值为（ ）ABCD【答案】D【解析】设两向量夹角为，在方向上的投影为，从而有，再由，得出，根据向量的夹角公式，即可求解.【详解】设两向量夹角为，则有，所以.故选:D.【点睛】本题考查向量的数量积以及向量数量积的几何意义，考查向量的夹角，属于中档题.9已知非零实数a，b满足，则下列不等关系不一定成立的是（ ）ABCD【答案】D【解析】两边平方，结合绝对值的性质，可判断选项A成立；，再由指数函数的单调性，可判断选项B正确；由，结合选项A，判断选项C正确；令，满足，不成立.【详解】，A一定成立；，B一定成立；又，故，C一定成立；令，即可推得D不一定成立.故选:D.【点睛】本题考查不等式与不等关系，注意绝对值性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题.10如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为和3，则此组合体的外接球的表面积是（ ）ABCD【答案】B【解析】设外接球半径为R，球心为O，圆台较小底面圆的圆心为，根据球的性质与圆台的上下底面垂直，从而有，且球心在上下底面圆心的连线上，即可求出，得出结论.【详解】解：设外接球半径为R，球心为O，圆台较小底面圆的圆心为，则，而，故.故选:B.【点睛】本题考查组合体外接球的表面积，利用球的性质是解题的关键，属于基础题.11已知AB是圆的任意一条直径，点P在直线上运动，若的最小值为4，则实数a的值为（ ）A2B4C5D6【答案】C【解析】将代入，结合是相反向量且模长为1，可得，由已知条件得出，的最小值为，转化为点O到直线的距离为，即可求解.【详解】，由题得的最小值为，即点O到直线的距离为.故选:C.【点睛】本题考查向量的线性关系以及向量的数量积，解题的关键要把最值转化为点到直线的距离，属于中档题.12已知双曲线的左焦点为，过点F且斜率为1的直线与双曲线C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点，则双曲线C的离心率为（ ）ABCD2【答案】D【解析】设线段AB的中点坐标为，根据 求出线段的中点坐标，用点差法求出关系，即可求解【详解】设线段AB的中点坐标为，则有，设，代入双曲线方程有，两式相减得， 可得，即，.故选:D.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键要把问题转为相交弦的中点，利用点差法求出参数关系式，属于中档题.二、填空题13曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】求导，求出切线的斜率 ，用直线方程的点斜式，即可求解.【详解】,所以切线方程为.故答案为:.【点睛】本题考查切线的几何意义，属于基础题.14函数的最大值为_.【答案】【解析】由诱导公式和二倍角余弦公式，化为关于的二次函数，配方结合余弦函数的范围，即可求解.【详解】解：，当且仅当时等号成立.故答案为:.【点睛】本题考查三角函数的化简，转化为求含余弦的二次函数的最值，属于基础题.15已知等比数列的前n项和满足，则_.【答案】-2【解析】根据前项和与通项关系，求出时数列的公比，结合是等比数列，此公比也满足关系，再由时，即可求出结论.【详解】解：，故，在原式中令有，即.故答案为:-2.【点睛】本题考查数列的前项和与通项的关系，属于基础题.16已知函数,若的值域为，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】由不在的值域中，从而有，当，当时，的值域为，需满足，结合时，与的图象，分析可求出的解，即为所求.【详解】解：0不在的值域中，又数形结合可知，当，当时，的值域为，需满足，当时，与的图象恰有两个交点和，且当或时，图象位于的图象上方，当时，图象位于的图象下方，所以有或.故答案为:.【点睛】本题考查分段函数的值域，数形结合思想是解题的关键，属于中档题.三、解答题17记为数列的前n项和，已知.（1）求的值及的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；， （2）【解析】（1）由与的关系，当时，求出，将代入，求出，再由，即可求出；（2）由（1）得，裂项相消求和，即可求得结论.【详解】解：（1）当时，故，即，又，故对任意，.（2）由题知，则前n项和.【点睛】本题考查数列的前项和与通项的关系，考查裂项相消法求数列和，属于基础题.18某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗种植.工作小组根据市场前景重点考察了A，B两种景观树苗，为对比两种树苗的成活率，工作小组进行了引种试验，分别引种树苗A，B各50株，试验发现有80%的树苗成活，未成活的树苗A，B株数之比为1：3.（1）完成22列联表，并据此判断是否有99%的把握认为树苗A，B的成活率有差异？AB合计成活株数未成活株数合计50501000.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828（2）已知树苗A经引种成活后再经过1年的生长即可作为景观树A在市场上出售，但每株售价y（单位：百元）受其树干的直径x（单位：cm）影响，扶贫工作小组对一批已出售的景观树A的相关数据进行统计，得到结果如下表：直径x1015202530单株售价y48101627根据上述数据，判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？并用相关系数r加以说明.（一般认为，为高度线性相关）参考公式及数据：相关系数.【答案】（1）填表见解析；没有99%的把握认为二者有差异； （2）可以用线性回归模型拟合. .【解析】（1）根据条件，求出树苗未成活、成活株数，树苗未成活有、成活株数，完成列联表；根据提供的公式，求出 ，与提供的数据对比，即可得出结论；（2）根据表格数据求出，代入相关系数公式求出的值，即可得出结论.【详解】解：试验发现有80%的树苗成活，故不成活20株，未成活的树苗A，B株数之比为1：3.树苗未成活有5株，成活45株，树苗未成活有15株，成活35株，（1）列联表如下：AB合计成活株数453580未成活株数51520合计5050100，故没有99%的把握认为二者有差异；（2）.故可以用线性回归模型拟合.【点睛】本题考查两个变量的独立性检验，考查判断两个变量间是否具有线性相关性，考查计算能力，属于基础题.19如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是棱 的中点，直线AF与DH交于点P，直线BE与CG交于点S.（1）求证：直线平面ABCD；（2）求四棱锥B-PDCS的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】（1）由已知条件可得，可证面平面ABEF，再根据线面平行的性质定理可得，进而有，即可证明结论；（2）E、G分别是棱的中点，平几知识可证，再由正方体线面垂直关系可得，推证出面PDCS，求出，即可求出结论.【详解】解：（1）G，H分别是棱 的中点，面ABEF面ABEF，又因为面面，所以，所以，又面ABCD，所以面ABCD；（2）显然，又，所以，即，又面，所以，而，所以面PDCS，在中，所以.【点睛】本题考查线面平行的证明，要熟练掌握线面平行的判断和性质定理，考查椎体的体积，证明底面的高是解题的关键，属于中档题.20已知椭圆，点，直线与椭圆C交于不同的两点M，N.（1）当时，求的面积；（2）设直线PM与椭圆C的另一个交点为Q，当M为线段PQ的中点时，求k的值.【答案】（1）6 （2）【解析】（1）将直线与椭圆方程联立，消元得到，求出的坐标，即可求出面积；（2），根据中点坐标关系得，将两点坐标代入椭圆方程，相减，求出点坐标，即可求出结论.【详解】解：（1），所以；（2）设，则，分别代入椭圆方程可得：，两式相减得，即，所以.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查相交弦有关的中点问题，要注意点差法的应用，属于中档题.21已知函数.（1）若是的极值点，求a的值及的单调区间；（2）若对任意，不等式成立，求a的取值范围.【答案】（1）在上单减，在上单增. （2）【解析】（1）求导，由，求出的值，代回，分析单调性以及，求出的解，即可得出结论；（2）注意，若在为增函数，不等式恒成立，若在为减函数，则不等式不恒成立，将问题转化为研究在上的单调性，求出，对分类讨论，求出在正负情况，即可求出的取值范围.【详解】解：（1），显然在上单调递增，又，所以当时，当时，故在上单减，在上单增.（2），当时，在上单增，则，满足题意；当时，在上单调递增，若，则，在上单增，则，满足题意；若，则，故必存在使得，从而在上单减，在上单增，与题意矛盾；综上所述，.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的极值、单调区间、证明不等式，考查分类讨论思想，通常以导数恒大于等于0（或恒小于等于0）作为分类依据，属于较难题.22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为，（t为参数，），点，直线l交曲线C于A，B两点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）将代入极坐标方程，即可求出曲线的直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入曲线方程，得到关于的一元二次方程，记其两根为，由韦达定理，得出关系式，根据参数的几何意义，将表示为的函数，求其最值，即可求出结论.【详解】解：（1）化为 ；（2）将直线参数方程与圆C方程联立得：，记其两根为，则，所以，又，其中，取到最大值12，时取到最小值.【点睛】本题考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程几何意义的运用，属于中档题.23已知不等式对任意成立，记实数m的最小值为.（1）求