人人文库网 > 教育资料 > 中学教育 > 2020新教材高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式教学案+练习（打包8套）新人教A版必修第一册.zip
2019_2020学年新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式章末复习教学案新人教A版必修第一册202001110413.doc
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2020新教材高中数学
第2章
一元二次函数、方程和不等式教学案+练习打包8套新人教A版必修第一册
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2.1 等式性质与不等式性质a级：“四基”巩固训练一、选择题1若ab，则b21与3ba的大小关系是()ab213ba bb213bacb21b，ab0.又(b1)20，(b1)2(ab)0，即b213ba.2若0(a，br)，则下列不等式恒成立的是()aaabc|a|b| dabb2答案d解析0，ba0，故a不对；又ab0，abab，故b不对；由ba0知|a|b|，故c不对；d中abb2b(ab)0，即abb，cd，则下列结论中正确的是()aac2bc2 badbccadb2答案b解析对于a，若c0，则a不成立；对于b，正确对于c，若d为正数，则c不正确；对于d，若a，b为负数，则d不正确，综上选b.4若11，则下列各式中恒成立的是()a20 b21c10 d11答案a解析由11，11，得11，所以22，但，故知20.5有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()aaxbycz bazbycxcaybzcx daybxcz答案b解析解法一：因为xyz，ab0，故axbyczazbycx；同理，aybzcx(aybxcz)b(zx)c(xz)(xz)(cb)0，故aybzcxaybxcz.又azbycx(aybzcx)a(zy)b(yz)(ab)(zy)0，故azbycx0a；0ab；a0b；ab0.其中能使0a，所以0；因为0ab，所以0b，所以0；因为ab0，所以0.7已知60x84,28y33，则xy的取值范围为_，的取值范围为_答案27xy563解析28y33，33y28，.又60x84，27xy56，即3.8设xa2b25，y2aba24a，若xy，则实数a，b应满足的条件为_答案ab1或a2解析xy，xya2b252aba24a(ab1)2(a2)20，ab10或a20，即ab1或a2.三、解答题9设ab0，试比较与的大小解解法一(作差法)：.ab0，ab0，ab0,2ab0.0，.解法二(作商法)：ab0，0，0.11.10甲、乙两位采购员同去一家销售公司各自买了两次粮食，且两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同其中，甲每次购粮1000 kg，乙每次购粮用去1000元钱，谁的购粮方式更合算？ 解设两次粮食的价格分别为a元/kg与b元/kg，且ab，则甲采购员两次购粮的平均单价为(元/kg)，乙采购员两次购粮的平均单价为(元/kg)，又ab0，ab，(ab)20，0，即.乙采购员的购粮方式更合算b级：“四能”提升训练1已知abc的三边长分别为a，b，c，且满足bc3a，求的取值范围解由已知及三角形的三边关系得两式相加得024，所以的取值范围为(0,2)2已知1xy4且2xy3，求2x3y的取值范围解设2x3ym(xy)n(xy)(mn)x(mn)y，解得2x3y(xy)(xy)1xy4,2xy3，2(xy)，5(xy).3(xy)(xy)8，即32x3y8.- 5 -2.2 基本不等式 (教师独具内容)课程标准：1.掌握基本不等式的内容.2.能熟练地运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式来证明简单的不等式.4.熟练掌握基本不等式及变形的应用.5.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题教学重点：1.理解基本不等式的内容及其证明过程.2.运用基本不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题教学难点：基本不等式条件的创设【知识导学】知识点一基本不等式如果a0，b0，则，当且仅当ab时，等号成立我们把这个不等式称为基本不等式知识点二算术平均数与几何平均数及相关结论在基本不等式中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数知识点三基本不等式与最大(小)值当x，y均为正数时，下面的命题均成立：(1)若xys(s为定值)，则当且仅当xy时，xy取得最大值；(简记：和定积有最大值)(2)若xyp(p为定值)，则当且仅当xy时，xy取得最小值2.(简记：积定和有最小值)知识点四基本不等式的实际应用基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题，具体步骤如下：(1)先理解题意，设出变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为因变量(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值(4)根据实际意义写出正确的答案【新知拓展】1由基本不等式变形得到的常见结论(1)ab2(a，br)；(2) (a，b均为正实数)；(3)2(a，b同号)；(4)(ab)4(a，b同号)；(5)a2b2c2abbcca(a，b，cr)2利用基本不等式证明不等式时应注意的问题(1)注意基本不等式成立的条件；(2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；(3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用3利用基本不等式的解题技巧与易错点(1)利用基本不等式求最值常用构造定值的技巧：加项变换；拆项变换；统一换元；平方后再用基本不等式(2)易错点易忘“正”，忽略了各项均为正实数；忽略忘记“定”，用基本不等式时，和或积为定值；忽略忘记“等”，用基本不等式要验证等号是否可以取到；忽略忘记“同”，多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于任意实数a，b都成立()(2)若a0，b0，且ab，则ab2.()(3)若a0，b0，则ab2.()(4)若a0，b0，且ab16，则ab64.()(5)若ab2，则ab的最小值为2.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)不等式m212m等号成立的条件是_(2)2成立的条件是_(3)x1，则x的最小值为_(4)已知p，qr，pq100，则p2q2的最小值是_(5)若a0，b0，且ab2，则的最小值为_答案(1)m1(2)a与b同号(3)3(4)200(5)2题型一 对基本不等式的理解 例1给出下面三个推导过程：因为a0，b0，所以2 2；因为ar，a0，所以a2 4；因为x，yr，xy0，b0，所以0，0，符合基本不等式成立的条件，故的推导过程正确；因为ar，a0不符合基本不等式成立的条件，所以a24是错误的；由xy0，b0)的两个关注点(1)不等式成立的条件：a，b都是正实数(2)“当且仅当”的含义：当ab时，的等号成立，即ab；仅当ab时，的等号成立，即ab.下列命题中正确的是()a当a，br时，2 2b当a0，b0时，(ab)4c当a4时，a2 6d当a0，b0时，答案b解析a项中，可能0，所以不正确；b项中，因为ab20，20，相乘得(ab)4，当且仅当ab时等号成立，所以正确；c项中，a2 6中的等号不成立，所以不正确；d项中，由基本不等式，知(a0，b0)，所以d不正确题型二 利用基本不等式比较大小 例2已知a1，则，三个数的大小顺序是()a. b.c. d.解析当a，b均为正数时，有 ，令b1，得.又a1，即ab，故上式不能取等号，应选c.答案c题型探究对一切正数m，不等式n2m恒成立，求常数n的取值范围解当m0时，由基本不等式，得2m24，且当m时，等号成立，故n的取值范围为n4.金版点睛利用基本不等式比较大小在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能已知：a0，b0，且ab1，试比较，4的大小解a0，b0，ab2，ab.4，ab，即4.4.题型三 利用基本不等式求函数的最值 例3(1)求函数yx(x3)的最小值；(2)已知0x3，x30，0，y235.当且仅当x3，即x4时，y有最小值5.(2)0x0，yx(13x)3x(13x)2.当且仅当3x13x，即x时，取等号，当x时，函数取得最大值.(3)x1，x10，yx1121，当且仅当x1时，即x1时，函数y的最小值为21.变式探究在本例(1)中把“x3”改为“x3”，则函数yx的最值又如何？解x3，x30，yx(3x)3323231.当且仅当3x，即x2时，取等号故函数yx(x3)有最大值1，没有最小值金版点睛利用基本不等式求函数的最值(1)利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法(1)已知x1，则函数y的最小值为_答案(1)1(2)4解析(1)x0.y4x2323231，当且仅当54x，即x1时，上式等号成立故当x1时，ymax1.(2)x1，x10.yx1x12224，当且仅当x1，即x2时，等号成立，故当x2时，ymin4.题型四 利用基本不等式证明不等式例4已知a，b，c是不全相等的三个正数，求证：3.证明33.a，b，c都是正数，2 2，同理2，2，6.a，b，c不全相等，上述三式不能同时取等号，6，3.金版点睛利用基本不等式证明不等式(1)利用基本不等式证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，如a2b22ab(a，br)，可变形为ab；(a0，b0)可变形为ab2等同时要从整体上把握基本不等式，如a4b42a2b2，a2b2b2c22(ab)(bc)，都是对“a2b22ab，a，br”的灵活应用(2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意等号成立的条件已知a0，b0，c0，且abc1.求证：10.证明4422210，当且仅当abc时取等号10. 题型五 利用基本不等式求代数式的最值例5(1)已知x0，y0且1，求xy的最小值；(2)已知正实数x，y满足2xy6xy，求xy的最小值；(3)已知实数x，y满足x2y2xy1，求xy的最大值解(1)x0，y0，1，xy(xy)1061016，当且仅当，又1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.(2)2xy6xy，y，x1，xy22218.当且仅当x3时，等号成立(3)因为1x2y2xy(xy)2xy(xy)22，所以(xy)2，即xy，当且仅当xy0且x2y2xy1，即xy时，等号成立，xy的最大值为.结论探究若本例(1)中的条件不变，如何求xy的最小值解，又因为1，所以1，6，xy36，当且仅当y9x，即x2，y18时，等号成立所以(xy)min36.金版点睛利用基本不等式求代数式的最值(1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式(1)已知正数x，y满足x2y1，求的最小值；(2)已知x0，y0，且满足1，求xy的最大值解(1)x，y为正数，且x2y1，(x2y)332，当且仅当，即当x1，y1时等号成立的最小值为32.(2)1，12.，当且仅当即x，y2时等号成立xy3，即xy的最大值为3.题型六 利用基本不等式解决实际问题 例6某投资公司计划投资a，b两种金融产品，根据市场调查与预测，a产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y118，b产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2(注：利润与投资金额单位：万元)(1)该公司已有100万元资金，并全部投入a，b两种产品中，其中x万元资金投入a产品，试把a，b两种产品利润总和表示为x的函数，并写出x的取值范围；(2)在(1)的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？解(1)其中x万元资金投入a产品，则剩余的(100x)万元资金投入b产品，利润总和y1838(x0,100)(2)y40，x0,100，由基本不等式，得y40228，当且仅当，即x20时，等号成立答：分别用20万元和80万元资金投资a，b两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元金版点睛利用基本不等式解决实际问题应遵循的三点(1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义，从而指明函数的定义域；(2)一般利用基本不等式求解最值问题时，通常要指出取得最值时的条件，即“等号”成立的条件；(3)在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号，此时要利用其他方法求解某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？解设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为 m.又设水池总造价为y元，根据题意，得y1501202400007202400007202297600(元)，当且仅当x，即x40时，y取得最小值297600.所以水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为297600元1若ab0，则下列不等式中总成立的是()a. b.c. d.b0，故选c.2已知x0，y0，xy，则下列四个式子中值最小的是()a. b.c. d.答案c解析解法一：xy2，排除d；，排除b；(xy)2x2y22xy2(x2y2)， ，排除a.故选c.解法二：取x1，y2.则；.其中最小故选c.3若a0，则代数式a()a有最小值10b有最大值10c没有最小值d既没有最大值也没有最小值答案a解析利用基本不等式，得a210，当且仅当a，即a5时，取得最小值10.4当x时，函数yx的最小值为_答案解析因为x，所以x0，所以yx24，当且仅当x，即x时，取“”5某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：万元)与营运年数x的函数关系为y10(x6)2110(xn*)，求每辆客车营运多少年，可使其运营的年平均利润最大解因为101202012020，当且仅当x，即x5时，等号成立，所以每辆客车营运5年，可使其运营的年平均利润最大- 14 -2.2 基本不等式a级：“四基”巩固训练一、选择题1不等式(x2)6(其中x2)中等号成立的条件是()ax3 bx3cx5 dx5答案c解析由基本不等式知等号成立的条件为x2，即x5(x1舍去)2若a，br，且ab0，则下列不等式中恒成立的是()aa2b22ab bab2c. d.2答案d解析根据条件，当a，b均小于0时，b，c不成立；当ab时，a不成立；因为ab0，所以22，故d成立3已知a0，b0，且ab1，则下列各式恒成立的是()a.8 b.4c. d.答案b解析a0，b0，ab2，又ab1，21，即，ab.4.故a不正确，c也不正确对于选项d，a2b2(ab)22ab12ab，由ab可得a2b212ab.所以2.故d不正确对于选项b，a0，b0，ab1，(ab)114，当且仅当ab时，等号成立故选b.4已知x0，y0，x2y2xy8, 则x2y的最小值是()a3 b4 c. d.答案b解析解法一：x2y2xy8，y0.0x8.x2yx2(x1)22 24.当且仅当x1，即x2时，取“”号，此时x2，y1.解法二：由x2y2xy8得(x1)(2y1)9，又x2yx12y12224，当且仅当x12y1时“”成立，又x2y2xy8，x2，y1时，取“”5设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0.则当取得最小值时，x2yz的最大值为()a0 b. c2 d.答案c解析3231，当且仅当x2y时等号成立，因此z4y26y24y22y2，所以x2yz4y2y22(y1)222.二、填空题6已知abc，则与的大小关系是_答案解析abc，ab0，bc0.，当且仅当abbc，即2bac时取等号7已知a0，b0，a2b3，则的最小值为_答案解析a0，b0，a2b3，(a2b) ，当且仅当，即a，b时取等号，的最小值为.故答案为.8如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(o为圆心)铁皮上取一块矩形材料abcd，其顶点a，b在直径上，顶点c，d在圆周上，则矩形abcd面积的最大值为_(单位：cm2)答案16解析如图所示，连接oc，设obx(0x4)，则bc，ab2ob2x，所以，由基本不等式可得，矩形abcd的面积sabbc2x2216.当且仅当16x2x2，即x2时，等号成立所以smax16.三、解答题9已知x0，y0，z0，且xyz1，求证： .证明x0，y0，z0，xy2，xz2，yz2，2(xyz)2()xyz1，1成立xyz2()3，即()23.当且仅当xyz时，等号成立10某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元若使每名同学游8次，每人最少应交多少元钱？解设买x张游泳卡，总开支为y元，则每批去x名同学，共需去批，总开支又分为：买卡所需费用240x，包车所需费用40.y240x40(0x48，xz)y24024023840，当且仅当x，即x8时取等号故每人最少应交80(元)b级：“四能”提升训练1已知a0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9.证明(1)2，ab1，a0，b0，2224，8.(2)证法一：a0，b0，ab1，112，同理，12，52549.9.证法二：1.由(1)知，8，故19，当且仅当ab时，等号成立2某产品原来的成本为1000元/件，售价为1200元/件，年销售量为1万件，由于市场饱和，顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级据市场调查，若投入x万元，每件产品的成本将降低元，在售价不变的情况下，年销售量将减少万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为z(单位：万元)(纯利润每件的利润年销售量投入的成本)(1)求z的函数解析式；(2)求z的最大值，以及z取得最大值时x的值解(1)依题意，产品升级后，每件产品的成本为元，每件产品的利润为元，年销售量为万件，故zx198.5.(2)z198.5198.52 178.5，当且仅当，即x40时取到等号，即z的最大值是178.5，当z取得最大值时x的值为40.- 6 -2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(教师独具内容)课程标准：1.理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念.2.理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系.3.熟练掌握一元二次不等式的两种解法.4.能从实际情境中抽象出一元二次不等式，并通过解一元二次不等式解决实际问题教学重点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.一元二次不等式的解法.3.利用一元二次不等式解决实际问题教学难点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.【知识导学】知识点一一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)(其中a，b，c均为常数，a0)的不等式都是一元二次不等式知识点二二次函数的零点一般地，对于二次函数yax2bxc，我们把使ax2bxc0的实数x叫做二次函数yax2bxc的零点知识点三一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集知识点四二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系知识点五利用不等式解决实际问题的一般步骤(1)选取合适的字母表示题中的未知数；(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；(3)求解所列出的不等式(组)；(4)结合题目的实际意义确定答案【新知拓展】1解一元二次不等式的方法与步骤(1)解一元二次不等式的常用方法图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：()化不等式为标准形式：ax2bxc0(a0)或ax2bxc0)；()求方程ax2bxc0(a0)的根，并画出对应函数yax2bxc的图象简图；()由图象得出不等式的解集代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解当m0，则可得xn或xm；若(xm)(xn)0，则可得mx0，a0)，一根(0)，无根(x2，x1x2，x1x2.2利用不等式解决实际问题需注意以下四点(1)阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向(2)建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向(3)讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值(4)作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)一元二次方程的根就是相应函数的图象与x轴的交点()(2)(xa)(xa1)0是一元二次不等式()(3)设二次方程ax2bxc0的两解为x1，x2(x10的解集不可能为x|x1x0的解集为_(2)不等式x23x40的解集为_(3)当a0时，若ax2bxc0的解集为r，则应满足的条件为_(4)已知不等式ax2bx20的解集为x|1x2，则ab_.(5)有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的纯农药液不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是_答案(1)r(2)x|4x1(3)0；(2)x28x30；(3)x24x50；(4)4x218x0；(5)x23x50；(6)2x23x20，所以方程2x27x30有两个不等实根x13，x2，又二次函数y2x27x3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.(2)因为824(1)(3)520，所以方程x28x30有两个不等实根x14，x24，又二次函数yx28x3的图象开口向下，所以原不等式的解集为x|4x4(3)原不等式可化为(x5)(x1)0，所以原不等式的解集为x|1x5(4)原不等式可化为20，所以原不等式的解集为.(5)原不等式可化为x26x100，因为624040，因为942270；(3)9x26x10；(5)2x2x10，所以方程x23x10有两个不等实数根x1，x2，所以原不等式的解集为x.(2)原不等式可化为(3x1)(x2)0，所以原不等式的解集为.(3)原不等式可化为(3x1)20，所以原不等式的解集为.(4)因为(4)24540，所以原不等式的解集为r.(5)因为124270；(2)ax2(a1)x10.解(1)a216，下面分情况讨论：当0，即4a4或a4时，原不等式的解集为x(a)；当a4时，原不等式的解集为x|xr，且x1(2)若a0，原不等式为x11；若a0，解得x1；若a0，原不等式可化为(x1)1时，由(*)式可得x1；当0a1时，由(*)式可得1x.综上所述，当a1；当0a1时，解集为.金版点睛解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式(2)判断方程根的个数：讨论判别式与0的关系(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式解关于x的不等式x2(aa2)xa30.解原不等式可化为(xa)(xa2)0.方程x2(aa2)xa30的两根为x1a，x2a2.由a2aa(a1)可知：当a1时，a2a.解原不等式得xa2或xa.当0a1时，a2a或x0，x0.当a1时，原不等式为(x1)20，x1.综上可知：当a1时，原不等式的解集为x|xa2；当0a1时，原不等式的解集为x|xa；当a0时，原不等式的解集为x|x0；当a1时，原不等式的解集为x|x1.题型三 “三个二次”之间的转化关系例3若不等式ax2bxc0的解集为x|3x4，求不等式bx22axc3b0的解集为x|3x4，所以a0且3和4是方程ax2bxc0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得即所以不等式bx22axc3b0，即为ax22ax15a0，即x22x150，故所求的不等式的解集为x|3x5条件探究本例中把x|3x4改为x|x4，其他条件不变，则不等式的解集又如何？解因为ax2bxc0的解集为x|x4，所以a0且3和4是方程ax2bxc0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得即所以不等式bx22axc3b0，即为ax22ax15a0，解得x5，故所求不等式的解集为x|x5金版点睛三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：(1)已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为_；(2)已知方程ax2bx20的两根为和2，则不等式ax2bx10的解集为_答案(1)(2)解析(1)由题意2，是方程ax2bxc0的两根，且a0即为2x25x20，解得x0可变为2x23x10，即2x23x10，解得x12，即x210x12000，解得x30或x10，即x210x20000，解得x40或x50(不符合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速，所以乙应负主要责任.题型五 利用一元二次不等式解决利润问题例5某摩托车生产企业，上年度生产摩托车投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润(出厂价投入成本)年销售量(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？解(1)依题意，得y1.2(10.75x)(1x)1000(10.6x)1000(0.06x20.02x0.2)所求关系式为y1000(0.06x20.02x0.2)(0x1)(2)依题意，得1000(0.06x20.02x0.2)(1.21)1000.化简，得3x2x0.解得0x.投入成本增加的比例x的范围是0x0 bx24x40c44xx20答案d解析a的解集为r；b的解集是x|x2；c的解集为x|x22或x22，用排除法应选d.2在r上定义运算：abab2ab，则满足x(x2)0的实数x的取值范围为()a0x2 b2x1cx1 d1x2答案b解析x(x2)x(x2)2xx20，x2x20即(x1)(x2)0，解得2x2，则关于x的不等式(xt)2，t，(xt)0，解得xt.4在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示如果要使整个挂图的面积不大于2816 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的不等式是()a(602x)(402x)2816b(60x)(40x)2816c(602x)(40x)2816d(60x)(402x)2816答案a解析“不大于”就是“”，所以根据题意可列出不等式为(602x)(402x)2816.5某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x件与单价p元/件之间的关系为p1602x，生产x件这种风衣所需成本为c50030x元，假设所生产的这种风衣能够全部售出，问：该厂日产量多大时，可使该厂日获利不少于1300元？解设该厂日产量为x件时，日获利为y元，则y(1602x)x(50030x)2x2130x500，由题意可得2x2130x5001300.解得20x45.当该厂日产量x满足20x45时，可使该厂日获利不少于1300元- 11 -2.3 二次函数与一元二次方程、不等式a级：“四基”巩固训练一、选择题1下列不等式中一元二次不等式的个数为()(m1)x2x x25x60(xa)(xa1)0 2x2x2a1 b2 c3 d4答案c解析由一元二次不等式的定义可知，为一元二次不等式2若不等式x24x2axa对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是()a1a4 b4a1ca1 da4答案b解析不等式x24x2axa可变形为x2(42a)xa0，该不等式对一切实数x恒成立，0，即(42a)24(a)0，化简得a25a40，解得4a1，所以实数a的取值范围是4a1.故选b.3关于x的不等式x22ax3a20(a0)的解集为x|x1x0的解集为x|3x0的解集为()a.b.cx|3x0，即(2x1)(3x1)0，解得x.故选b.5如图，在一块长为22 m，宽为17 m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300 m2.设道路宽为x m，根据题意可列出的不等式为()a(22x)(17x)300b(22x)(17x)300c(22x)(17x)300d(22x)(17x)300答案b解析“不小于”就是“”，所以由题意可以列出的不等式为(22x)(17x)300，故选b.二、填空题6若关于x的不等式ax26xa20的解集是x|1xm，则m_.答案2解析ax26xa20的解集是x|1x0；1，m是相应方程ax26xa20的两根解得m2.7已知mx|9x26x10，nx|x23x40，则mn_.答案解析由9x26x10.所以(3x1)20，解得x，即m.由x23x40，得(x4)(x1)0，解得1x4，即nx|1x0.(1)当m3时，解此不等式；(2)若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围解(1)当m3时，不等式为x2x20.即(x2)(x1)0，解得x2.(2)设yx2xm1.不等式x2xm10对于任意x都成立，124(m1)0，解得m.故实数m的取值范围是m.解b级：“四能”提升训练1已知m是关于x的不等式2x2(3a7)x3a2a20的解集，且m中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集解原不等式可化为(2xa1)(x2a3)0，所以a.若a5，所以32a，此时不等式的解集是；若a，由2a3(a1)，所以32a，此时不等式的解集是.2某自来水厂的蓄水池存有400 t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60 t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，x h内供水总量为120(0x24)(1)从供水开始到第几个小时蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80 t时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24 h内，有几个小时出现供水紧张现象？解(1)设x h后蓄水池中的存水量为y t，则y40060x120(0x24)，设u，则u26x(u0,12)，所以y40010u2120u10(u6)240.因为u0,12，故当u6即x6时，ymin40.即从供水开始到第6 h时，蓄水池中的存水量最少，为40 t.(2)依题意，得40010u2120u80，即u212u320，解得4u8，所以16u264.又u26x，所以166x64，所以x.又8，所以每天约有8 h供水紧张- 7 -第二章单元质量测评本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知a0，1b0，则()aaabab0caabab2 dabaab2答案b解析a0，1b0，aab2b，则下列不等式成立的是()a.b2c. da|c|b|c|答案c解析根据不等式的性质，知c正确；若a0b，则，则a不正确；若a1，b2，则b不正确；若c0，则d不正确故选c.3不等式x23x20的解集是()ax|x1bx|x2cx|1x2dx|2x1答案c解析方程x23x20的两根为1和2，所以不等式x23x20的解集为x|1x2故选c.4不等式2的解集为()ax|1x0答案a解析原不等式变形为20，即x(1x)0，且x0，解得1x0，原不等式的解集为x|1x05不等式3b.cx|x1dx|x或x1答案d解析原不等式可以变形为0，故原不等式的解集为x|x或x16已知集合mx|2x12，xr，px，则mp等于()ax|1x3，xzbx|0x3，xzcx|1x0，xzdx|1x0，xz答案a解析mx|1x3，px|1x4，xz，mpx|1x3，xz7若关于x的一元二次不等式x2mx10的解集为r，则实数m的取值范围是()am2或m2 b2m2cm2 d2m1，则x5的最小值为()a8 b8 c16 d16答案b解析x1，x10，x5x16268，当且仅当x2时等号成立故选b.10将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a的取值范围应是()a90a100 b90a110c100a110 d80a100答案a解析设每个涨价x元，则y表示涨价后的利润与原利润之差，则y(10x)(40020x)1040020x2200x.要使商家利润有所增加，则必须使y0，即x210x0，得0x10.售价a的取值范围为90a0的解集为x|2x1，则不等式ax2(ab)xca0的解集为()ax|xbx|3x1cx|1x3dx|x1答案d解析由已知得方程ax2bxc0的两根分别为x12，x21，且a0，1，2.不等式ax2(ab)xca0，即x22x30，解得x1.12已知x0，y0,8x2yxy0，则xy的最小值为()a12 b14 c16 d18答案d解析当x0，y0时，8x2yxy01，xy(xy)10102418，当且仅当即x6，y12时，xy取得最小值18.故选d.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)答案x|x1解析ax2bxc0的解集是，所以方程ax2bxc0的解是和，且a0，由根与系数的关系可得：，解得ba，ca，所以不等式2cx22bxa0变形为ax2axa0，其解集是x|x114当x1时，不等式xa恒成立，则实数a的最大值为_答案3解析xa恒成立mina.x1，x10，xx112 1
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