线性代数第五版答案(全).pdf

第一章行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 1 381 141 102 解 381 141 102 2 4 3 0 1 1 1 1 8 0 1 3 2 1 8 1 4 1 24 8 16 4 4 2 bac acb cba 解 bac acb cba acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3 3 222 111 cba cba 解 222 111 cba cba bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 a b b c c a 4 yxyx xyxy yxyx 解 yxyx xyxy yxyx x x y y yx x y x y yx y3 x y 3 x3 3xy x y y3 3x2y x3 y3 x3 2 x3 y3 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 1 1 2 3 4 解逆序数为 0 2 4 1 3 2 解逆序数为 4 41 43 42 32 3 3 4 2 1 解逆序数为 5 3 2 3 1 4 2 4 1 2 1 4 2 4 1 3 解逆序数为 3 2 1 4 1 4 3 5 1 3 2n 1 2 4 2n 解逆序数为 2 1 nn 3 2 1 个 5 2 5 4 2 个 7 2 7 4 7 6 3 个 2n 1 2 2n 1 4 2n 1 6 2n 1 2n 2 n 1 个 6 1 3 2n 1 2n 2n 2 2 解逆序数为n n 1 3 2 1 个 5 2 5 4 2 个 2n 1 2 2n 1 4 2n 1 6 2n 1 2n 2 n 1 个 4 2 1 个 6 2 6 4 2 个 2n 2 2n 4 2n 6 2n 2n 2 n 1 个 3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解含因子a11a23的项的一般形式为 1 ta11a23a3ra4s 其中rs是 2 和 4 构成的排列 这种排列共有两个 即 24 和 42 所以含因子a11a23的项分别是 1 ta11a23a32a44 1 1a11a23a32a44 a11a23a32a44 1 ta11a23a34a42 1 2a11a23a34a42 a11a23a34a42 4 计算下列各行列式 1 7110 02510 2021 4214 解 7110 02510 2021 4214 0100 142310 2021 10214 7 32 34 cc cc 34 1 14310 221 1014 14310 221 1014 0 141717 200 109932 32 1 1 cc cc 2 2605 2321 1213 1412 解 2605 2321 1213 1412 2605 0321 2213 0412 24 cc 0412 0321 2213 0412 24 rr 0 0000 0321 2213 0412 14 rr 3 efcfbf decdbd aeacab 解 efcfbf decdbd aeacab ecb ecb ecb adf abcdefadfbce4 111 111 111 4 d c b a 100 110 011 001 解 d c b a 100 110 011 001 d c b aab arr 100 110 011 010 21 d c aab 10 11 01 1 1 12 010 11 123 cdc adaab dcc cd adab 11 1 1 1 23 abcd ab cd ad 1 5 证明 1 111 22 22 bbaa baba a b 3 证明 111 22 22 bbaa baba 001 222 2222 12 13 ababa abaaba cc cc abab abaab 22 1 222 13 21 aba abab a b 3 2 yxz xzy zyx ba bzaybyaxbxaz byaxbxazbzay bxazbzaybyax 33 证明 bzaybyaxbxaz byaxbxazbzay bxazbzaybyax bzaybyaxx byaxbxazz bxazbzayy b bzaybyaxz byaxbxazy bxazbzayx a bzayyx byaxxz bxazzy b ybyaxz xbxazy zbzayx a 22 zyx yxz xzy b yxz xzy zyx a 33 yxz xzy zyx b yxz xzy zyx a 33 yxz xzy zyx ba 33 3 0 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2222 2222 2222 2222 dddd cccc bbbb aaaa 证明 2222 2222 2222 2222 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 dddd cccc bbbb aaaa c4 c3 c3 c2 c2 c1得 523212 523212 523212 523212 2 2 2 2 dddd cccc bbbb aaaa c4 c3 c3 c2得 0 2212 2212 2212 2212 2 2 2 2 dd cc bb aa 4 4444 2222 1111 dcba dcba dcba a b a c a d b c b d c d a b c d 证明 4444 2222 1111 dcba dcba dcba 0 0 0 1111 222222222 addaccabb addaccabb adacab 111 222 addaccabb dcbadacab 0 0 111 abdbddabcbcc bdbcadacab 11 abddabcc bdbcadacab a b a c a d b c b d c d a b c d 5 1221 1 000 00 10 00 01 axaaaa x x x nnn L xn a1xn 1 an 1x an 证明用数学归纳法证明 当n 2 时 21 2 12 2 1 axax axa x D 命题成立 假设对于 n 1 阶行列式命题成立 即 Dn 1 xn 1 a1xn 2 an 2x an 1 则Dn按第一列展开 有 1 11 00 1 00 01 1 1 1 x x axDD n nnn xDn 1 an xn a1xn 1 an 1x an 因此 对于n阶行列式命题成立 6 设n阶行列式D det aij 把D上下翻转 或逆时针旋转 90 或依副对角线翻转 依次得 n nnn aa aa D 111 1 1 111 1 2 n nnn aa aa D 111 1 3 aa aa D n nnn 证明DDD nn 2 1 21 1 D3 D 证明因为D det aij 所以 n nnn n n n nnn aa aa aa aa aa D 221 1 111 1 111 1 1 1 1 1 331 1 221 111 21 n nnn n n nn aa aa aa aa DD nn nn 2 1 1 2 21 1 1 同理可证 nnn n nn aa aa D 1 1 111 2 1 2 DD nn T nn 2 1 2 1 1 1 DDDDD nn nnnnnn 1 2 1 2 1 2 2 1 3 1 1 1 1 7 计算下列各行列式 Dk为k阶行列式 1 a a Dn 1 1 其中对角线上元素都是a 未写出的元素 都是 0 解 a a a a a Dn 0 001 0 000 00 00 00 00 10 00 按第n行展开 1 1 1 0 000 00 00 00 00 10 000 1 nn n a a a 1 1 2 1 nn n a a a n nn nn a a a 2 2 1 1 1 an an 2 an 2 a2 1 2 xaa axa aax Dn 解将第一行乘 1 分别加到其余各行 得 axxa axxa axxa aaax Dn 000 0 0 0 0 再将各列都加到第一列上 得 ax ax ax aaaanx Dn 0000 0 00 0 00 1 x n 1 a x a n 1 3 1 11 1 1 1 111 1 naaa naaa naaa D nnn nnn n 解根据第 6 题结果 有 nnn nnn nn n naaa naaa naaa D 1 1 1 1 11 1 111 2 1 1 此行列式为范德蒙德行列式 11 2 1 1 1 1 1 jin nn n jaiaD 11 2 1 1 jin nn ji 11 2 1 1 2 1 1 1 jin nn nn ji 11 jin ji 4 nn nn n dc dc ba ba D 11 11 2 解 nn nn n dc dc ba ba D 11 11 2 按第 1 行展开 n nn nn n d dc dc ba ba a 0 00 0 11 11 11 11 L 0 0 1 11 11 11 11 12 c dc dc ba ba b n nn nn n n 再按最后一行展开得递推公式 D2n andnD2n 2 bncnD2n 2 即D2n andn bncn D2n 2 于是 n i iiiin DcbdaD 2 22 而 1111 11 11 2 cbda dc ba D 所以 n i iiiin cbdaD 1 2 5 D det aij 其中aij i j 解aij i j 0 4321 4 0123 3 1012 2 2101 1 3210 det nnnn n n n n aD ijn 0 4321 1 1111 1 1111 1 1111 1 1111 21 32 nnnn rr rr 1 5242321 0 2221 0 0221 0 0021 0 0001 12 13 nnnnn cc cc 1 n 1 n 1 2n 2 6 n n a a a D 1 11 1 11 1 11 2 1 其中a1a2 an 0 解 n n a a a D 1 11 1 11 1 11 2 1 nn nn aa aa aa aa a cc cc 10 000 1 000 100 0 100 0 100 00 11 33 22 1 21 32 1 1 1 1 3 1 2 1 1 21 110 000 11 000 00 110 00 011 00 001 n n n a a a a a aaa n i i n n a a a a a aaa 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 21 100 000 10 000 00 100 00 010 00 001 1 1 1 21 n ii n a aaaL 8 用克莱姆法则解下列方程组 1 01123 2532 242 5 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 解因为 142 11213 5132 4121 1111 D 142 11210 5132 4122 1115 1 D 284 11203 5122 4121 1151 2 D 426 11013 5232 4221 1511 3 D 142 0213 2132 2121 5111 4 D 所以1 1 1 D D x 2 2 2 D D x 3 3 3 D D x 1 4 4 D D x 2 15 065 065 065 165 54 543 432 321 21 xx xxx xxx xxx xx 解因为 665 51000 65100 06510 00651 00065 D 1507 51001 65100 06510 00650 00061 1 D 1145 51010 65100 06500 00601 00015 2 D 703 51100 65000 06010 00051 00165 3 D 395 51000 60100 00510 00651 01065 4 D 212 11000 05100 06510 00651 10065 5 D 所以 665 1507 1 x 665 1145 2 x 665 703 3 x 665 395 4 x 665 212 4 x 9 问 取何值时 齐次线性方程组 02 0 0 321 321 321 xxx xxx xxx 有非 零解 解系数行列式为 121 11 11 D 令D 0 得 0 或 1 于是 当 0 或 1 时该齐次线性方程组有非零解 10 问 取何值时 齐次线性方程组 0 1 0 3 2 042 1 321 321 321 xxx xxx xxx 有 非零解 解系数行列式为 101 112 431 111 132 421 D 1 3 3 4 1 2 1 3 1 3 2 1 2 3 令D 0 得 0 2 或 3 于是 当 0 2 或 3 时 该齐次线性方程组有非零解 第二章矩阵及其运算 1 已知线性变换 3213 3212 3211 323 53 22 yyyx yyyx yyyx 求从变量x1 x2 x3到变量y1 y2 y3的线性变换 解由已知 2 2 1 3 2 1 323 513 122 y y y x x x 故 3 2 1 1 2 2 1 323 513 122 x x x y y y 3 2 1 423 736 947 y y y 3213 3212 3211 423 736 947 xxxy xxxy xxxy 2 已知两个线性变换 3213 3212 311 54 232 2 yyyx yyyx yyx 323 312 211 3 2 3 zzy zzy zzy 求从z1 z2 z3到x1 x2 x3的线性变换 解由已知 2 2 1 3 2 1 514 232 102 y y y x x x 3 2 1 310 102 013 514 232 102 z z z 3 2 1 16110 9412 316 z z z 所以有 3213 3212 3211 1610 9412 36 zzzx zzzx zzzx 3 设 111 111 111 A 150 421 321 B 求 3AB 2A及ATB 解 111 111 111 2 150 421 321 111 111 111 323AAB 2294 20172 22132 111 111 111 2 092 650 850 3 092 650 850 150 421 321 111 111 111 BAT 4 计算下列乘积 1 1 2 7 075 321 134 解 1 2 7 075 321 134 102775 132 2 71 112374 49 6 35 2 1 2 3 321 解 1 2 3 321 1 3 2 2 3 1 10 3 21 3 1 2 解 21 3 1 2 23 1 3 21 1 1 22 1 2 63 21 42 4 204 131 210 131 4311 0412 解 204 131 210 131 4311 0412 6520 876 5 3 2 1 332313 232212 131211 321 x x x aaa aaa aaa xxx 解 3 2 1 332313 232212 131211 321 x x x aaa aaa aaa xxx a11x1 a12x2 a13x3a12x1 a22x2 a23x3 a13x1 a23x2 a33x3 3 2 1 x x x 322331132112 2 333 2 222 2 111 222xxaxxaxxaxaxaxa 5 设 31 21 A 21 01 B 问 1 AB BA吗 解AB BA 因为 64 43 AB 83 21 BA 所以AB BA 2 A B 2 A2 2AB B2吗 解 A B 2 A2 2AB B2 因为 52 22 BA 52 22 52 22 2 BA 2914 148 但 43 01 128 86 114 83 2 22 BABA 2715 1610 所以 A B 2 A2 2AB B2 3 A B A B A2 B2吗 解 A B A B A2 B2 因为 52 22 BA 10 20 BA 90 60 10 20 52 22 BABA 而 71 82 43 01 114 83 22 BA 故 A B A B A2 B2 6 举反列说明下列命题是错误的 1 若A2 0 则A 0 解 取 00 10 A 则A2 0 但A 0 2 若A2 A 则A 0 或A E 解 取 00 11 A 则A2 A 但A 0 且A E 3 若AX AY 且A 0 则X Y 解取 00 01 A 11 11 X 10 11 Y 则AX AY 且A 0 但X Y 7 设 1 01 A 求A2 A3 Ak 解 12 01 1 01 1 01 2 A 13 01 1 01 12 01 23 AAA 1 01 k Ak 8 设 00 10 01 A 求Ak 解首先观察 00 10 01 00 10 01 2 A 2 2 2 00 20 12 3 23 23 23 00 30 33 AAA 4 34 234 34 00 40 64 AAA 5 45 345 45 00 50 105 AAA k A k kk kkk k kk k 00 0 2 1 1 21 用数学归纳法证明 当k 2 时 显然成立 假设k时成立 则k 1 时 00 10 01 00 0 2 1 1 21 1 k kk kkk kk k kk k AAA 1 11 111 00 1 0 2 1 1 k kk kkk k kk k 由数学归纳法原理知 k kk kkk k k kk k A 00 0 2 1 1 21 9 设A B为n阶矩阵 且A为对称矩阵 证明BTAB也是 对称矩阵 证明因为AT A 所以 BTAB T BT BTA T BTATB BTAB 从而BTAB是对称矩阵 10 设A B都是n阶对称矩阵 证明AB是对称矩阵的充分 必要条件是AB BA 证明充分性 因为AT A BT B 且AB BA 所以 AB T BA T ATBT AB 即AB是对称矩阵 必要性 因为AT A BT B 且 AB T AB 所以 AB AB T BTAT BA 11 求下列矩阵的逆矩阵 1 52 21 解 52 21 A A 1 故A 1 存在 因为 12 25 2212 2111 AA AA A 故 1 1 A A A 12 25 2 cossin sincos 解 cossin sincos A A 1 0 故A 1 存在 因为 cossin sincos 2212 2111 AA AA A 所以 1 1 A A A cossin sincos 3 145 243 121 解 145 243 121 A A 2 0 故A 1 存在 因为 21432 1613 024 332313 322212 312111 AAA AAA AAA A 所以 1 1 A A A 1716 2 1 3 2 13 012 4 n a a a O0 0 2 1 a1a2 an 0 解 n a a a A O 0 0 2 1 由对角矩阵的性质知 n a a a A 10 01 1 2 1 1 O 12 解下列矩阵方程 1 12 64 31 52 X 解 12 64 31 52 1 X 12 64 21 53 80 232 2 234 311 111 012 112 X 解 1 111 012 112 234 311 X 033 232 101 234 311 3 1 3 2 5 3 8 122 3 10 13 11 02 21 41 X 解 11 11 02 10 13 21 41 X 21 01 10 13 11 42 12 1 21 01 03 66 12 1 0 4 1 11 4 021 102 341 010 100 001 100 001 010 X 解 11 010 100 001 021 102 341 100 001 010 X 010 100 001 021 102 341 100 001 010 201 431 012 13 利用逆矩阵解下列线性方程组 1 353 2522 132 321 321 321 xxx xxx xxx 解方程组可表示为 3 2 1 153 522 321 3 2 1 x x x 故 0 0 1 3 2 1 153 522 321 1 3 2 1 x x x 从而有 0 0 1 3 2 1 x x x 2 0523 132 2 321 321 321 xxx xxx xxx 解方程组可表示为 0 1 2 523 312 111 3 2 1 x x x 故 3 0 5 0 1 2 523 312 111 1 3 2 1 x x x 故有 3 0 5 3 2 1 x x x 14 设Ak O k为正整数 证明 E A 1 E A A2 Ak 1 证明因为Ak O 所以E Ak E 又因为 E Ak E A E A A2 Ak 1 所以 E A E A A2 Ak 1 E 由定理 2 推论知 E A 可逆 且 E A 1 E A A2 Ak 1 证明一方面 有E E A 1 E A 另一方面 由Ak O 有 E E A A A2 A2 Ak 1 Ak 1 Ak E A A2 A k 1 E A 故 E A 1 E A E A A2 Ak 1 E A 两端同时右乘 E A 1 就有 E A 1 E A E A A2 Ak 1 15 设方阵A满足A2 A 2E O 证明A及A 2E都可逆 并 求A 1 及 A 2E 1 证明由A2 A 2E O得 A2 A 2E 即A A E 2E 或EEAA 2 1 由定理 2 推论知A可逆 且 2 1 1 EAA 由A2 A 2E O得 A2 A 6E 4E 即 A 2E A 3E 4E 或EAEEA 3 4 1 2 由定理 2 推论知 A 2E 可逆 且 3 4 1 2 1 AEEA 证明由A2 A 2E O得A2 A 2E 两端同时取行列式得 A2 A 2 即 A A E 2 故 A 0 所以A可逆 而A 2E A2 A 2E A2 A 2 0 故A 2E也可逆 由A2 A 2E O A A E 2E A 1 A A E 2A 1 E 2 1 1 EAA 又由A2 A 2E O A 2E A 3 A 2E 4E A 2E A 3E 4E 所以 A 2E 1 A 2E A 3E 4 A 2E 1 3 4 1 2 1 AEEA 16 设A为 3 阶矩阵 2 1 A 求 2A 1 5A 解因为 1 1 A A A 所以 5 2 1 5 2 111 AAAAA 2 5 2 1 11 AA 2A 1 2 3 A 1 8 A 1 8 2 16 17 设矩阵A可逆 证明其伴随阵A 也可逆 且 A 1 A 1 证明由 1 1 A A A 得A A A 1 所以当A可逆时 有 A A n A 1 A n 1 0 从而A 也可逆 因为A A A 1 所以 A 1 A 1 A 又 1 11 1 AAA A A 所以 A 1 A 1 A A 1 A A 1 A 1 18 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A 证明 1 若 A 0 则 A 0 2 A A n 1 证明 1 用反证法证明 假设 A 0 则有A A 1 E 由此得 A A A A 1 A E A 1 O 所以A O 这与 A 0 矛盾 故当 A 0 时 有 A 0 2 由于 1 1 A A A 则AA A E 取行列式得到 A A A n 若 A 0 则 A A n 1 若 A 0 由 1 知 A 0 此时命题也成立 因此 A A n 1 19 设 321 011 330 A AB A 2B 求B 解由AB A 2E可得 A 2E B A 故 321 011 330 121 011 332 2 1 1A EAB 011 321 330 20 设 101 020 101 A 且AB E A2 B 求B 解由AB E A2 B得 A E B A2 E 即 A E B A E A E 因为01 001 010 100 EA 所以 A E 可逆 从而 201 030 102 EAB 21 设A diag 1 2 1 A BA 2BA 8E 求B 解由A BA 2BA 8E得 A 2E BA 8E B 8 A 2E 1 A 1 8 A A 2E 1 8 AA 2A 1 8 A E 2A 1 8 2E 2A 1 4 E A 1 4 diag 2 1 2 1 2 1 1 2 1 diag4 2diag 1 2 1 22 已知矩阵A的伴随阵 8030 0101 0010 0001 A 且ABA 1 BA 1 3E 求B 解由 A A 3 8 得 A 2 由ABA 1 BA 1 3E得 AB B 3A B 3 A E 1 A 3 A E A 1 1 A 11 2 6 2 1 3 AEAE 1030 0606 0060 0006 6030 0101 0010 0001 6 1 23 设P 1 AP 其中 11 41 P 20 01 求A11 解由P 1 AP 得A P P 1 所以A11 A P 11P 1 P 3 11 41 P 11 41 3 1 1 P 而 11 11 11 20 01 20 01 故 3 1 3 1 3 4 3 1 20 01 11 41 11 11 A 684683 27322731 24 设AP P 其中 111 201 111 P 5 1 1 求 A A8 5E 6A A2 解 8 5E 6 2 diag 1 1 58 diag 5 5 5 diag 6 6 30 diag 1 1 25 diag 1 1 58 diag 12 0 0 12diag 1 0 0 A P P 1 1 PP P 121 303 222 000 000 001 111 201 111 2 111 111 111 4 25 设矩阵A B及A B都可逆 证明A 1 B 1 也可逆 并 求其逆阵 证明因为 A 1 A B B 1 B 1 A 1 A 1 B 1 而A 1 A B B 1 是三个可逆矩阵的乘积 所以A 1 A B B 1 可逆 即A 1 B 1 可逆 A 1 B 1 1 A 1 A B B 1 1 B A B 1 A 26 计算 3000 3200 1210 1301 3000 1200 1010 0121 解设 10 21 1 A 30 12 2 A 12 13 1 B 30 32 2 B 则 2 1 2 1 BO BE AO EA 22 2111 BAO BBAA 而 42 25 30 32 12 13 10 21 211 BBA 90 34 30 32 30 12 22B A 所以 2 1 2 1 BO BE AO EA 22 2111 BAO BBAA 9000 3400 4210 2521 即 3000 3200 1210 1301 3000 1200 1010 0121 9000 3400 4210 2521 27 取 10 01 DCBA 验证 DC BA DC BA 解4 10 01 20 02 1010 0101 0020 0002 1010 0101 1010 0101 DC BA 而0 11 11 DC BA 故 DC BA DC BA 28 设 22 02 34 43 O O A 求 A8 及A4 解令 34 43 1 A 22 02 2 A 则 2 1 AO OA A 故 8 2 18 AO OA A 8 2 8 1 AO OA 168 2 8 1 8 2 8 1 8 10 AAAAA 46 4 4 4 4 2 4 14 22 02 50 05 O O AO OA A 29 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆 求 1 1 OB AO 解 设 43 21 1 CC CC OB AO 则 OB AO 43 21 CC CC s n EO OE BCBC ACAC 21 43 由此得 s n EBC OBC OAC EAC 2 1 4 3 1 2 1 4 1 3 BC OC OC AC 所以 OA BO OB AO 1 1 1 2 1 BC OA 解设 43 21 1 DD DD BC OA 则 s n EO OE BDCDBDCD ADAD DD DD BC OA 4231 21 43 21 由此得 s n EBDCD OBDCD OAD EAD 42 31 2 1 1 4 11 3 2 1 1 BD CABD OD AD 所以 111 1 1 BCAB OA BC OA 30 求下列矩阵的逆阵 1 2500 3800 0012 0025 解设 12 25 A 25 38 B 则 52 21 12 25 1 1 A 85 32 25 38 1 1 B 于是 8500 3200 0052 0021 2500 3800 0012 0025 1 1 1 1 B A B A 2 4121 0312 0021 0001 解设 21 01 A 41 03 B 21 12 C 则 111 1 1 1 4121 0312 0021 0001 BCAB OA BC OA 4 1 12 1 24 5 8 1 0 3 1 6 1 2 1 00 2 1 2 1 0001 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 1 把下列矩阵化为行最简形矩阵 1 3403 1302 1201 解 3403 1302 1201 下一步 r2 2 r1 r3 3 r1 0200 3100 1201 下一步 r2 1 r3 2 0100 3100 1201 下一步 r3 r2 3000 3100 1201 下一步 r3 3 1000 3100 1201 下一步 r2 3r3 1000 0100 1201 下一步 r1 2 r2 r1 r3 1000 0100 0001 2 1740 3430 1320 解 1740 3430 1320 下一步 r2 2 3 r1 r3 2 r1 3100 3100 1320 下一步 r3 r2 r1 3r2 0000 3100 10020 下一步 r1 2 0000 3100 5010 3 12433 02322 14533 34311 解 12433 02322 14533 34311 下一步 r2 3r1 r3 2r1 r4 3r1 1010500 66300 88400 34311 下一步 r2 4 r3 3 r4 5 22100 22100 22100 34311 下一步 r1 3r2 r3 r2 r4 r2 00000 00000 22100 32011 4 34732 03823 42021 73132 解 34732 03823 42021 73132 下一步 r1 2r2 r3 3r2 r4 2r2 118770 129880 42021 11110 下一步 r2 2r1 r3 8r1 r4 7r1 41000 41000 20201 11110 下一步 r1 r2 r2 1 r4 r3 00000 41000 11110 20201 下一步 r2 r3 00000 41000 30110 20201 2 设 987 654 321 100 010 101 100 001 010 A 求A 解 100 001 010 是初等矩阵E 1 2 其逆矩阵就是其本身 100 010 101 是初等矩阵E 1 2 1 其逆矩阵是 E 1 2 1 100 010 101 100 010 101 987 654 321 100 001 010 A 287 221 254 100 010 101 987 321 654 3 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵 1 323 513 123 解 100 010 001 323 513 123 101 011 001 200 410 123 101200 211010 2 102 3023 2 102 1100 211010 2 922 7003 2 102 1100 211010 2 33 26 7001 故逆矩阵为 2 1 0 2 1 211 2 3 3 2 6 7 2 1210 2321 1220 1023 解 1000 0100 0010 0001 1210 2321 1220 1023 0010 0301 1000 0100 1220 5940 1210 2321 2010 4301 1000 0100 1200 1100 1210 2321 10612 4301 1000 0100 1000 1100 1210 2321 10612 6311 10 10 2211 1000 0100 0010 0021 10612 6311 1010 4211 1000 0100 0010 0001 故逆矩阵为 10612 6311 1010 4211 4 1 设 113 122 214 A 13 22 31 B 求X使AX B 解因为 13 22 31 113 122 214 BA 412 315 210 100 010 001 r 所以 412 315 210 1B AX 2 设 433 312 120 A 132 321 B 求X使XA B 解考虑ATXT BT 因为 13431 32312 21320 TT BA 41100 71010 42001 r 所以 41 71 42 1TTT BAX 从而 474 112 1 BAX 5 设 101 110 011 A AX 2X A 求X 解原方程化为 A 2E X A 因为 101101 110110 011011 2 AEA 011100 101010 110001 所以 011 101 110 2 1A EAX 6 在秩是r的矩阵中 有没有等于0的r 1阶子式 有没有 等于 0 的r阶子式 解在秩是r的矩阵中 可能存在等于 0 的r 1 阶子式 也 可能存在等于 0 的r阶子式 例如 0100 0010 0001 A R A 3 00 00 是等于 0 的 2 阶子式 010 001 000 是等于 0 的 3 阶子式 7 从矩阵A中划去一行得到矩阵B 问A B的秩的关系怎 样 解R A R B 这是因为B的非零子式必是A的非零子式 故A的秩不会 小于B的秩 8 求作一个秩是 4 的方阵 它的两个行向量是 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 解用已知向量容易构成一个有 4 个非零行的 5 阶下三角 矩阵 00000 01000 00101 00011 00001 此矩阵的秩为 4 其第 2 行和第 3 行是已知向量 9 求下列矩阵的秩 并求一个最高阶非零子式 1 4431 1211 2013 解 4431 1211 2013 下一步 r1 r2 4431 2013 1211 下一步 r2 3r1 r3 r1 5640 5640 1211 下一步 r3 r2 0000 5640 1211 矩阵的2秩为 4 11 13 是一个最高阶非零子式 2 81507 31312 13123 解 81507 31312 23123 下一步 r1 r2 r2 2r1 r3 7r1 152733210 591170 14431 下一步 r3 3r2 00000 591170 14431 矩阵的秩是 2 7 7 7 7 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 23 3 3 3 是一个最高阶非零子式 3 02301 08523 57032 73812 解 02301 08523 57032 73812 下一步 r1 2r4 r2 2r4 r3 3r4 02301 02420 53630 71210 下一步 r2 3r1 r3 2r1 02301 140000 160000 71210 下一步 r2 16r4 r3 16r2 02301 00000 10000 71210 00000 10000 71210 02301 矩阵的秩为 3 070 023 085 570 是一个最高阶非零子式 10 设A B都是m n矩阵 证明A B的充分必要条件是 R A R B 证明根据定理 3 必要性是成立的 充分性 设R A R B 则A与B的标准形是相同的 设A 与B的标准形为D 则有 A D D B 由等价关系的传递性 有A B 11 设 32 321 321 k k k A 问k为何值 可使 1 R A 1 2 R A 2 3 R A 3 解 32 321 321 k k k A 2 1 00 110 11 kk kk k r 1 当k 1 时 R A 1 2 当k 2 且k 1 时 R A 2 3 当k 1 且k 2 时 R A 3 12 求解下列齐次线性方程组 1 0222 02 02 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 解对系数矩阵A进行初等行变换 有 A 2122 1112 1211 3 4100 1310 0101 于是 44 43 42 41 3 4 3 3 4 xx xx xx xx 故方程组的解为 1 3 4 3 3 4 4 3 2 1 k x x x x k为任意常数 2 05105 0363 02 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 解对系数矩阵A进行初等行变换 有 A 51105 3163 1121 0000 0100 1021 于是 44 3 22 421 0 2 xx x xx xxx 故方程组的解为 1 0 0 1 0 0 1 2 21 4 3 2 1 kk x x x x k1 k2为任意常数 3 0742 0634 0723 0532 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 解对系数矩阵A进行初等行变换 有 A 7421 6314 7213 5132 1000 0100 0010 0001 于是 0 0 0 0 4 3 2 1 x x x x 故方程组的解为 0 0 0 0 4 3 2 1 x x x x 4 0327 01613114 02332 07543 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 解对系数矩阵A进行初等行变换 有 A 3127 1613114 2332 7543 0000 0000 17 20 17 19 10 17 13 17 3 01 于是 44 33 432 431 17 20 17 19 17 13 17 3 xx xx xxx xxx 故方程组的解为 1 0 17 20 17 13 0 1 17 19 17 3 21 4 3 2 1 kk x x x x k1 k2为任意常数 13 求解下列非齐次线性方程组 1 8311 10213 224 21 321 321 xx xxx xxx 解对增广矩阵B进行初等行变换 有 B 80311 10213 2124 6000 3411100 8331 于是R A 2 而R B 3 故方程组无解 2 694 13283 542 432 zyx zyx zyx zyx 解对增广矩阵B进行初等行变换 有 B 6914 13283 5421 4132 0000 0000 2110 1201 于是 zz zy zx 2 12 即 0 2 1 1 1 2 k z y x k为任意常数 3 12 2224 12 wzyx wzyx wzyx 解对增广矩阵B进行初等行变换 有 B 11112 21224 11112 00000 01000 2 102 12 11 于是 0 2 1 2 1 2 1 w zz yy zyx 即 0 0 0 2 1 0 1 0 2 1 0 0 1 2 1 21 kk w z y x k1 k2为任意常数 4 2534 4323 12 wzyx wzyx wzyx 解对增广矩阵B进行初等行变换 有 B 25341 43123 11112 00000 7 57 97 510 7 67 17 101 于是 ww zz wzy wzx 7 5 7 9 7 5 7 6 7 1 7 1 即 0 0 7 5 7 6 1 0 7 9 7 1 0 1 7 5 7 1 21 kk w z y x k1 k2为任意常数 14 写出一个以 1 0 4 2 0 1 3 2 21 ccx x x x 为通解的齐次线性方程组 解根据已知 可得 1 0 4 2 0 1 3 2 21 4 3 2 1 cc x x x x 与此等价地可以写成 24 13 212 211 43 2 cx cx ccx ccx 或 432 431 43 2 xxx xxx 或 043 02 432 431 xxx xxx 这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组 15 取何值时 非齐次线性方程组 2 321 321 321 1 xxx xxx xxx 1 有唯一解 2 无解 3 有无穷多个解 解 2 11 11 111 B 2 2 1 1 2 1 00 1 110 11 r 1 要使方程组有唯一解 必须R A 3 因此当 1 且 2 时方程组有唯一解 2 要使方程组无解 必须R A R B 故 1 2 0 1 1 2 0 因此 2 时 方程组无解 3 要使方程组有有无穷多个解 必须R A R B 3 故 1 2 0 1 1 2 0 因此当 1 时 方程组有无穷多个解 16 非齐次线性方程组 2 321 321 321 2 2 22 xxx xxx xxx 当 取何值时有解 并求出它的解 解 2 211 121 2112 B 2 1 000 1 3 2 110 121 要使方程组有解 必须 1 2 0 即 1 2 当 1 时 1211 1121 2112 B 0000 0110 1101 方程组解为 32 31 1 xx xx 或 33 32 31 1 xx xx xx 即 0 0 1 1 1 1 3 2 1 k x x x k为任意常数 当 2 时 4211 2121 2112 B 0000 2110 2101 方程组解为 2 2 32 31 xx xx 或 33 32 31 2 2 xx xx xx 即 0 2 2 1 1 1 3 2 1 k x x x k为任意常数 17 设 1 5 42 24 5 2 122 2 321 321 321 xxx xxx xxx 问 为何值时 此方程组有唯一解 无解或有无穷多解 并在有 无穷多解时求解 解B 1542 2452 1222 4 1 10 1 00 1110 2452 要使方程组有唯一解 必须R A R B 3 即必须 1 10 0 所以当 1 且 10 时 方程组有唯一解 要使方程组无解 必须R A R B 即必须 1 10 0 且 1 4 0 所以当 10 时 方程组无解 要使方程组有无穷多解 必须R A R B 3 即必须 1 10 0 且 1 4 0 所以当 1 时 方程组有无穷多解 此时 增广矩阵为 B 0000 0000 1221 方程组的解为 33 22 321 1 xx xx xxx 或 0 0 1