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2020届高考数学大二轮复习冲刺经典专题第二编讲专题专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题课件文201912270268.ppt
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第1讲直线与圆考情研析1.考查直线间的平行和垂直的条件，与距离有关的问题2.考查直线与圆相切和相交的问题，与直线被圆所截得的弦长有关的问题.核心知识回顾1.直线的斜率直线过点a(x1，y1)，b(x2，y2)，其倾斜角为，则斜率ktan.2直线的两种位置关系3三种距离公式(1)两点间的距离：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab| .(2)点到直线的距离：点p(x0，y0)到直线axbyc0的距离d.(3)两平行线的距离：若直线l1，l2的方程分别为l1：axbyc10，l2：axbyc20(c1c2)，则两平行线的距离d.4圆的方程(1)标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)一般方程：方程x2y2dxeyf0表示圆的充要条件是d2e24f0，其中圆心是，半径r.5直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r.d与r的关系直线与圆的关系dr相离dr相切d0. 1在平面直角坐标系xoy中，已知a(1,0)，b(0,1)，则满足|pa|2|pb|24且在圆x2y24上的点p的个数为()a0 b1 c2 d3答案c解析设p(x，y)，则由|pa|2|pb|24，得(x1)2y2x2(y1)24，所以xy20.求满足条件的点p的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条故选d(2)一条光线从点(1，1)射出，经y轴反射后与圆(x2)2y21相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为()a bc d答案c解析由题意可知，反射光线必过(1，1)点，设反射光线斜率为k，则反射光线为kxyk10，由题意可知1，0k0)，若圆c上存在点p，使得apb90，则m的最大值为()a7 b6 c5 d4答案a解析由题意知，点p在以原点o(0,0)为圆心，以m为半径的圆上，又因为点p在圆c上，所以只要两个圆有交点即可圆心c(3,4)到o(0,0)的距离为5，所以|m2|5m2，解得3m7，即m的最大值为7.故选a2直线ykx3被圆(x2)2(y3)24截得的弦长为2，则k()a b c d答案a解析圆(x2)2(y3)24的圆心坐标为(2,3)，半径r2，圆心(2,3)到直线ykx3的距离d，直线ykx3被圆(x2)2(y3)24截得的弦长为2，由勾股定理得r2d22，即43，解得k.故选a3(2019朝阳区高三第一次模拟)已知圆c：(x2)2y22，直线l：ykx2，若直线l上存在点p，过点p引圆的两条切线l1，l2，使得l1l2，则实数k的取值范围是()a0,2)(2，)b2，2c(，0)d0，)答案d解析 圆心c(2,0)，半径r，设p(x，y)，因为两切线l1l2，如右图，papb，由切线性质定理，知paac，pbbc，|pa|pb|，所以四边形pacb为正方形，所以|pc|2，则有(x2)2y24，即点p的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆直线l：ykx2过定点(0，2)，直线方程即kxy20，只要直线l与p点的轨迹(圆)有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即d2，解得k0，即实数k的取值范围是0，)故选d真题押题真题模拟1(2019厦门模拟)“c2”是“点(1，)到直线xyc0的距离为3”的()a充要条件 b充分不必要条件c必要不充分条件 d既不充分也不必要条件答案b解析若点(1，)到直线xyc0的距离为3，则有3，解得c2或c10，故“c2”是“点(1，)到直线xyc0的距离为3”的充分不必要条件，选b2(2019山东省高三第一次大联考)已知直线l：xy0与圆c：x2(y1)21相交于o，a两点，o为坐标原点，则coa的面积为()a b c d2答案a解析由题意，直线l，圆c均过原点，coa为等腰三角形，且|co|ca|1，oca60，所以scoa|co|ca|sinoca12.故选a3(2019唐山市第一中学高三下学期冲刺(一)过点p(1，1)且不垂直于y轴的直线l与圆m：x2y22x30交于a，b两点，点c在圆m上，若abc是正三角形，则直线l的斜率是()a b c d答案d解析根据题意得，圆m：x2y22x30即(x1)2y24，圆心m为(1,0)，半径r2，设正三角形abc的高为h，由题意知m为正三角形abc的中心，m到直线l的距离dh，又h|ab|，即d|ab|，由垂径定理可得d2r24，可得|ab|2，d1，由题意知设直线l的斜率存在且不为0，设为k，则直线l的方程为y1k(x1)，即kxyk10，则有1，解得k或0(舍去)故选d4(2019合肥市高三第二次教学质量检测)在平面直角坐标系xoy中，圆c经过点(0,1)，(0,3)，且与x轴正半轴相切，若圆c上存在点m，使得直线om与直线ykx(k0)关于y轴对称，则k的最小值为()a b c2 d4答案d解析圆c经过(0,1)，(0,3)，圆心在(0,1)，(0,3)的垂直平分线y2上，又圆c与x轴正半轴相切，圆的半径为2.设圆心坐标为(x0,2)，x00，由x(23)24，得x0，圆心坐标为(，2)，设om的斜率为k0，因为k0，所以k00，当k0最大时k最小，设om：yk0x(k00)引切线，若切线长的最小值为，则r的值为()a2 b c d1答案d解析从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心(，0)到直线的距离最小时，切线长也最小圆心(，0)到直线yx1的距离为2，切线长的最小值为，解得r1或r1(舍去)，选d7已知p是直线kxy40(k0)上一动点，pa，pb是圆c：x2y22y0的两条切线，切点分别为a，b，若四边形pacb的最小面积为2，则k的值为()a3 b2 c1 d答案b解析s四边形pacb|pa|ac|pa|，可知当|cp|最小，即cpl时，其面积最小，由最小面积2得|cp|min，由点到直线的距离公式得|cp|min，因为k0，所以k2.选b 配套作业一、选择题1与直线3x2y70关于y轴对称的直线方程为()a3x2y70 b3x2y70c2x3y70 d3x2y70答案b解析由题知，与直线3x2y70关于y轴对称的直线方程是3(x)2y70，即3x2y70，故选b2已知直线3x4y30与直线6xmy140平行，则它们之间的距离是()a b c8 d2答案d解析，m8，直线6xmy140可化为3x4y70，两平行线之间的距离d2.3已知直线l经过圆c：x2y22x4y0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为()ax2y50 b2xy50cx2y50 dx2y30答案c解析圆心c(1,2)，故koc2，|oc|，所以loc，kl，直线l的方程为y2(x1)，即x2y50，故选c4(2019芜湖市四校高二上学期期末联考)圆x2(y3)21上的动点p到点q(2,3)的距离的最小值为()a2 b1 c3 d4答案b解析圆x2(y3)21上的动点p到点q(2,3)的距离的最小值为圆心到点q(2,3)的距离减去半径圆x2(y3)21的圆心坐标为c(0,3)，半径为r1，|cq|r211，圆x2(y3)21上的动点p到点q(2,3)的距离的最小值为1.故选b5集合a(x，y)|x2y22mxm24，b(x，y)|x2y22x2my8m2，若aba，则实数m的范围是()a1,0 b(1,0) c0,1 d(0,1)答案a解析设a，b表示的两圆的圆心分别为c1，c2，由aba，得ab，则圆(xm)2y24与圆(x1)2(ym)29的关系是内切或内含，则|c1c2|32，得m2m0，即1m0.6已知点p(1,2)和圆c：x2y2kx2yk20，过点p作圆c的切线有两条，则k的取值范围是()akr bkck0 dk0，即k0.k2k920恒成立，k的取值范围是.7(2019内江、眉山等六市高三第二次诊断)若直线xmym0与圆(x1)2y21相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是()a(0,1) b(0,2)c(1,0) d(2,0)答案d解析圆与直线联立整理得(1m2)y22m(m1)ym22m0.直线与圆相交且有两个交点，方程有两个不相等的实数根，即0，4m2(m1)24(m22m)(m21)8m0，得m0.圆(x1)2y21上的点都在y轴右侧及原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限y1y20，解得2m0)，设p：00)上至多有两个点到直线xy30的距离为1，又圆心(1,0)到直线的距离d2，则r213，所以0r3，又p：00)与圆x2y24交于不同的两点a，b，o是坐标原点，且有2，那么k的取值范围是()a(，) b，2)c，) d，2)答案b解析根据题意得，圆x2y24的圆心为(0,0)，半径r2，设圆心到直线xyk0的距离为d，若直线xyk0(k0)与圆x2y24交于不同的两点a，b，则d2，则有k0)内一点，过点p的直线ab交圆c于a，b两点，若abc面积的最大值为4，则正实数m的取值范围为_答案m解析圆的标准方程为(x1)2(ym)28，则圆心坐标为(1，m)，半径r2，sabcr2sinacb4sinacb，当acb90时，abc的面积取得最大值4，此时abc为等腰直角三角形，abr4，则点c到直线ab的距离等于2，故2pc2，即22，41m28，即3m20，m.14(2019宜宾市高三第二次诊断)已知直线l1：3xy60与圆心为m(0,1)，半径为的圆相交于a，b两点，另一直线l2：2kx2y3k30与圆m交于c，d两点，则ab的中点坐标为_，四边形acbd面积的最大值为_答案5解析以m(0,1)为圆心，半径为的圆的方程为x2(y1)25，联立解得a(2,0)，b(1,3)，ab的中点坐标为.直线l2：2kx2y3k30恒过定点，要使四边形的面积最大，只需直线l2过圆心即可，即cd为直径，此时ab垂直cd，|ab|，四边形acbd面积的最大值为s|ab|cd|25.- 16 -第1讲直线与圆 第二编讲专题专题五解析几何 1 核心知识回顾 partone 2 热点考向探究 parttwo 3 真题vs押题 partthree 4 配套作业 partfour 本课结束 第2讲椭圆、双曲线、抛物线考情研析1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质，特别是椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).核心知识回顾1.圆锥曲线的定义式(1)椭圆：|pf1|pf2|2a(2a|f1f2|)；(2)双曲线：|pf1|pf2|2a(2a0，b0)的渐近线方程为yx；焦点坐标f1(c,0)，f2(c,0)；双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，焦点坐标f1(0，c)，f2(0，c)(3)抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，准线方程为x；抛物线x22py(p0)的焦点坐标为，准线方程为y.3弦长问题(1)弦长公式设直线斜率为k，直线与圆锥曲线交于a(x1，y1)，b(x2，y2)时，|ab|x1x2|或|ab|y1y2|.(2)过抛物线焦点的弦长过抛物线y22px(p0)焦点f的弦ab，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|ab|x1x2p.热点考向探究考向1 圆锥曲线的定义和标准方程例1(1)(2019永州市高三第三次模拟)过双曲线c：1(a0，b0)左焦点f的直线l与c交于m，n两点，且3，若omfn，则c的离心率为()a2 b c3 d答案b解析设双曲线的右焦点为f，取mn的中点p，连接fp，fm，fn，如图所示，由3，可知|mf|mp|np|.又o为ff的中点，可知ompf.omfn，pffn.pf为线段mn的垂直平分线|nf|mf|.设|mf|t，由双曲线定义可知|nf|3t2a，|mf|2at，则3t2a2at，解得t2a.在rtmfp中，|pf|2a，|om|pf|a.在rtmfo中，|mf|2|om|2|of|2，4a23a2c2e.故选b(2)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点f的直线依次交抛物线及准线于点a，b，c，若|bc|2|bf|，且|af|3，则抛物线的方程为()ay2xby23xcy2xdy29x答案b解析如图，分别过点a，b作准线的垂线，分别交准线于点e，d，设准线与x轴的交点为g，|bf|a，则由已知得|bc|2a，由定义得|bd|a，故bcd30.在直角三角形ace中，|ae|af|3，|ac|33a，2|ae|ac|，33a6，从而得a1.bdfg，求得p，因此抛物线的方程为y23x.(3)已知f是椭圆e：1(ab0)的左焦点，经过原点o的直线l与椭圆e交于p，q两点，若|pf|2|qf|，且pfq120，则椭圆e的离心率为()a b c d答案c解析解法一：设f1是椭圆e的右焦点，如图，连接pf1，qf1.根据对称性，线段ff1与线段pq在点o处互相平分，所以四边形pfqf1是平行四边形，|fq|pf1|，fpf1180pfq60，根据椭圆的定义，|pf|pf1|2a，又|pf|2|qf|，所以|pf1|a，|pf|a，而|f1f|2c，在f1pf中，由余弦定理，得(2c)2222aacos60，得，所以椭圆e的离心率e.故选c解法二：设f1是椭圆e的右焦点，连接pf1，qf1.根据对称性，线段ff1与线段pq在点o处互相平分，所以四边形pfqf1是平行四边形，|fq|pf1|，fpf1180pfq60，又|fp|2|pf1|，所以fpf1是直角三角形，ff1p90，不妨设|pf1|1，则|fp|2，|ff1|2c，根据椭圆的定义，2a|pf|pf1|123，所以椭圆e的离心率e.故选c 圆锥曲线的定义、标准方程的关注点(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定(3)焦点三角形的作用：借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建方程组，便于解决问题(4)圆锥曲线基本问题的考查的另一个重点是定义的应用，根据圆锥曲线的定义分析判断一些问题，在椭圆、双曲线中如果已知曲线上一点与一个焦点的连线，则要把另一个焦点也考虑进去 1(2019江西省八所重点中学高三联考)已知曲线c1是以原点o为中心，f1，f2为焦点的椭圆，曲线c2是以o为顶点、f2为焦点的抛物线，a是曲线c1与c2的交点，且af2f1为钝角，若|af1|，|af2|，则af1f2的面积是()a b2 c d4答案c解析画出图形如图所示，adf1d，根据抛物线的定义可知|af2|ad|，故cosf1ad，也即cosaf1f2，在af1f2中，由余弦定理得，解得|f1f2|2或|f1f2|3，由于af2f1为钝角，故|ad|f1f2|，所以|f1f2|3舍去，故|f1f2|2.而sinaf1f2，所以saf1f22.故选c2(2019宣城市高三第二次调研)已知f1，f2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点，点p是椭圆上位于第二象限内的点，延长pf1交椭圆于点q，若pf2pq，且|pf2|pq|，则椭圆的离心率为()a b1 c d2答案a解析pf2pq且|pf2|pq|，可得pqf2为等腰直角三角形，设|pf2|t，则|qf2|t，由椭圆的定义可得|pf1|2at,2tt4a，则t2a，在直角三角形pf1f2中，可得t2(2at)24c2，4(64)a2(128)a24c2，化为c2(96)a2，可得e.故选a3p是双曲线c：y21右支上一点，直线l是双曲线c的一条渐近线，p在l上的射影为q，f1是双曲线c的左焦点，则|pf1|pq|的最小值为()a1 b2c4 d21答案d解析如图所示，设双曲线右焦点为f2，则|pf1|pq|2a|pf2|pq|，即当|pq|pf2|最小时，|pf1|pq|取最小值，由图知当f2，p，q三点共线时|pq|pf2|取得最小值，即f2到直线l的距离d1，故所求最值为2a121.故选d考向2 圆锥曲线的几何性质例2(1)(2019宣城市高三第二次调研)已知双曲线c：1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，o为坐标原点，p是双曲线在第一象限上的点，直线po交双曲线c左支于点m，直线pf2交双曲线c右支于点n，若|pf1|2|pf2|，且mf2n60，则双曲线c的渐近线方程为()ayx byxcy2x dy2x答案a解析由题意得，|pf1|2|pf2|，|pf1|pf2|2a，|pf1|4a，|pf2|2a，由于p，m关于原点对称，f1，f2关于原点对称，线段pm，f1f2互相平分，四边形pf1mf2为平行四边形，pf1mf2，mf2n60，f1pf260，由余弦定理可得4c216a24a224a2acos60，ca，ba.，双曲线c的渐近线方程为yx.故选a(2)已知f1，f2为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，以f1f2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为p，pf1与双曲线相交于点q，且|pq|2|qf1|，则该双曲线的离心率为()a b2 c d答案a解析设|qf1|x，则|pf1|3x，|pq|2x，由双曲线的定义知|pf1|pf2|2a，|qf2|qf1|2a，所以|pf2|3x2a，|qf2|x2a，在rtqpf2中，|qp|2|pf2|2|qf2|2，即(2x)2(3x2a)2(2ax)2，可得xa.在rtpf1f2中，|pf1|2|pf2|2|f1f2|2，即(3x)2(3x2a)2(2c)2，整理可得c25a2，所以e.故选a 1椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求解方法解决此类问题的关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得(2)用法：可得或的值利用渐近线方程设所求双曲线的方程利用渐近线的斜率k求离心率e，双曲线1(a0，b0)渐近线的斜率k与离心率e之间满足关系式e21k2. 1设f1，f2分别是椭圆c：1(ab0)的左、右焦点，过f1的直线l交椭圆于a，b两点，l在y轴上的截距为1，若|af1|2|f1b|，且af2x轴，则此椭圆的短轴的长为()a5 b2 c10 d答案b解析af2x轴，l在y轴上的截距为1，a(c,2)，又|af1|2|f1b|，b(2c，1)，则3，即b25，b，故选b2(2019毛坦厂中学高三联考)已知f是双曲线c：1(a0，b0)的左焦点，过点f作垂直于x轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点m，若|fm|2a，记该双曲线的离心率为e，则e2()a bc d答案a解析由题意得，f(c,0)，该双曲线的一条渐近线为yx，将xc代入yx得y，2a，即bc2a2，4a4b2c2c2(c2a2)，e4e240，解得e2，故选a考向3 直线与圆锥曲线角度1弦中点、弦分点问题例3(1)已知椭圆e：1，直线l交椭圆于a，b两点，若ab的中点坐标为，则l的方程为()a2x9y100 b2x9y100c2x9y100 d2x9y100答案d解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则1，1，两式作差并化简整理得，而x1x21，y1y22，所以，直线l的方程为y1，即2x9y100.经验证可知符合题意故选d(2)已知双曲线c：1(a0，b0)，若存在过右焦点f的直线与双曲线c相交于a，b两点，且3，则双曲线c的离心率的最小值为_答案2解析因为过右焦点f的直线与双曲线c交于a，b两点，且3，故点a在双曲线的左支上，b在双曲线的右支上，如图所示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，右焦点f(c,0)，因为3，所以cx13(cx2)，即3x2x12c，由图可知，x1a，x2a，所以x1a,3x23a，故3x2x14a，即2c4a，故e2，所以双曲线c的离心率的最小值为2. (1)弦中点问题：在涉及圆锥曲线弦中点的问题中，基本的处理方法有两个：一是设出弦的端点坐标，使用“点差法”；二是设出弦所在的直线方程，利用直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程，根据根与系数的关系建立弦的端点坐标与中点坐标间的关系后解决问题(2)弦分点问题：解决与弦分点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为弦端点及弦分点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解 1已知双曲线c：1(a0，b0)，过点p(3,6)的直线l与c相交于a，b两点，且ab的中点为n(12,15)，则双曲线c的离心率为()a2 b c d答案b解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由ab的中点为n(12,15)，则x1x224，y1y230，由两式相减得，则，由直线ab的斜率k1，所以1，则，双曲线的离心率e ，所以双曲线c的离心率为.故选b2(2019汉中市重点中学高三联考)已知抛物线c：y26x，直线l过点p(2,2)，且与抛物线c交于m，n两点，若线段mn的中点恰好为点p，则直线l的斜率为()a b c d答案c解析设m(x1，y1)，n(x2，y2)代入c：y26x，得得(y1y2)(y1y2)6(x1x2)因为线段mn的中点恰好为点p，所以从而4(y1y2)6(x1x2)，即l的斜率为.故选c角度2弦长问题例4(2019宜宾市高三第二次诊断)已知点m到定点f(4,0)的距离和它到直线l：x的距离的比是常数.(1)求点m的轨迹c的方程；(2)若直线l：ykxm与圆x2y29相切，切点n在第四象限，直线与曲线c交于a，b两点，求证：fab的周长为定值解(1)设m(x，y)，由题意得，1为点m的轨迹c的方程(2)证明：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由题知k0，m0，x1x2，x1x2，|ab|x1x2| ，|fa|fb|5x15x210(x1x2)1010，|fa|fb|ab|10，fab的周长为定值10. 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解(2)弦长计算公式：直线ab与圆锥曲线有两个交点a(x1，y1)，b(x2，y2)，则弦长|ab|，其中k为弦ab所在直线的斜率 (2019云南省高三第一次统一检测)已知椭圆e的中心在原点，左焦点f1、右焦点f2都在x轴上，点m是椭圆e上的动点，f1mf2的面积的最大值为，在x轴上方使2成立的点m只有一个(1)求椭圆e的方程；(2)过点(1,0)的两直线l1，l2分别与椭圆e交于点a，b和点c，d，且l1l2，比较12(|ab|cd|)与7|ab|cd|的大小解(1)根据已知设椭圆e的方程为1(ab0)，c.在x轴上方使2成立的点m只有一个，在x轴上方使2成立的点m是椭圆e的短轴的端点当点m是短轴的端点时，由已知得解得椭圆e的方程为1.(2)12(|ab|cd|)7|ab|cd|.若直线ab的斜率为0或不存在时，|ab|2a4且|cd|3或|cd|2a4且|ab|3.由12(|ab|cd|)12(34)84，7|ab|cd|73484，得12(|ab|cd|)7|ab|cd|.若ab的斜率存在且不为0时，设直线ab：yk(x1)(k0)，由得(4k23)x28k2x4k2120，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，x1x2，于是|ab|x2x1|.同理可得|cd|.12(|ab|cd|)7|ab|cd|.综上，12(|ab|cd|)7|ab|cd|.真题押题真题模拟1(2019天津高考)已知抛物线y24x的焦点为f，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点a和点b，且|ab|4|of|(o为原点)，则双曲线的离心率为()a b c2 d答案d解析由已知易得，抛物线y24x的焦点为f(1,0)，准线l：x1，所以|of|1.又双曲线的两条渐近线的方程为yx，不妨设点a，b，所以|ab|4|of|4，所以2，即b2a，所以b24a2.又双曲线方程中c2a2b2，所以c25a2，所以e.故选d2(2019全国卷)已知椭圆c的焦点为f1(1,0)，f2(1，0)，过f2的直线与c交于a，b两点若|af2|2|f2b|，|ab|bf1|，则c的方程为()ay21 b1c1 d1答案b解析设椭圆的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义可得|af1|ab|bf1|4a.|ab|bf1|，|af2|2|f2b|，|ab|bf1|af2|， |af1|3|af2|4a.又|af1|af2|2a，|af1|af2|a，点a是椭圆的短轴端点，如图不妨设a(0，b)，由f2(1,0)，2，得b.由点b在椭圆上，得1，得a23，b2a2c22.椭圆c的方程为1.故选b3(2019全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()a2 b3 c4 d8答案d解析抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，椭圆1的焦点坐标为.由题意得，解得p0(舍去)或p8.故选d4(2019凯里市第一中学高三下学期模拟)已知f是椭圆1(ab0)的右焦点，a是椭圆短轴的一个端点，若f为过af的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为()a b c d答案b解析延长af交椭圆于点b，设椭圆左焦点为f，连接af，bf.根据题意|af|a，|af|2|fb|，所以|fb|.根据椭圆定义|bf|bf|2a，所以|bf|.在aff中，由余弦定理得cosfaf.在afb中，由余弦定理得cosfab，所以，解得ac，所以椭圆离心率为e.故选b5(2019全国卷)双曲线c：1的右焦点为f，点p在c的一条渐近线上，o为坐标原点，若|po|pf|，则pfo的面积为()a b c2 d3答案a解析双曲线1的右焦点坐标为(，0)，一条渐近线的方程为yx，不妨设点p在第一象限，由于|po|pf|，则点p的横坐标为，纵坐标为，即pfo的底边长为，高为，所以它的面积为.故选a金版押题6已知点f为椭圆c：y21的左焦点，点p为椭圆c上任意一点，点q的坐标为(4,3)，则|pq|pf|取最大值时，点p的坐标为_答案(0，1)解析设椭圆的右焦点为e，|pq|pf|pq|2a|pe|pq|pe|2.当p为线段qe的延长线与椭圆的交点时，|pq|pf|取最大值，此时，直线pq的方程为yx1，qe的延长线与椭圆交于点(0，1)，即点p的坐标为(0，1)7已知双曲线c：1(a0，b0)的右焦点为f，过点f向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为m，交另一条渐近线于n，若2，则双曲线的离心率为_答案解析设右焦点f(c,0)，渐近线om，on的方程分别为yx，yx.不失一般性，设过f的垂线为xyc.由得yn.由得ym.因为2m，所以2ymyn，即，易解得，所以e .配套作业一、选择题1(2019抚顺市高三第一次模拟)已知双曲线c：y21(a0)的右顶点为a，o为坐标原点，若|oa|0)中，右顶点为a(，0)，|oa|2，1a21，c2a211a22，c，e，e，即e.故选c2若圆锥曲线c：x2my21的离心率为2，则m()a b c d答案c解析因为圆锥曲线c的离心率为2，故为双曲线，所以mb0)的左、右焦点为f1，f2，若在椭圆上存在一点p，使得pf1f2的内心i与重心g满足igf1f2，则椭圆的离心率为()a b c d答案d解析设p(x0，y0)，又f1(c,0)，f2(c,0)，则pf1f2的重心g.因为igf1f2，所以pf1f2的内心i的纵坐标为.即pf1f2的内切圆半径为.由pf1f2的面积s(|pf1|pf2|f1f2|)r，s|f1f2|y0|及椭圆定义|pf1|pf2|2a，得(2a2c)，解得e.故选d5过双曲线1(b0)的左焦点的直线交双曲线的左支于a，b两点，且|ab|6，这样的直线可以作2条，则b的取值范围是()a(0,2 b(0,2) c(0， d(0，)答案d解析因为双曲线过焦点的弦中与轴垂直的弦是最短的弦，且过一个焦点只能作一条，所以过左焦点的直线与双曲线的左支交于a，b两点，|ab|6，且可作两条，则要求6，a2，即b20，故b的取值范围为(0，)，故选d6已知抛物线y24x的焦点为f，过焦点f的直线交抛物线于a，b两点，o为坐标原点，若aob的面积为2，则|ab|()a24 b8 c12 d16答案a解析由题意可知斜率k存在，设直线斜率为k，即yk(x1)，与y24x联立，得k2x2(2k24)xk20，x1x2，x1x21.o到ab的距离d，|ab|x1x2p，2，k2，|ab|24.故选a7已知双曲线y21的右焦点是抛物线y22px(p0)的焦点，直线ykxm与抛物线相交于a，b两个不同的点，点m(2,2)是ab的中点，则aob(o为坐标原点)的面积是()a4 b3 c d2答案d解析双曲线右焦点为(2,0)，抛物线焦点为(2,0)，y28x，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，2.直线ab斜率为2，又过点m(2,2)，直线ab方程为y2x2.将直线ab方程与y28x联立得x24x10，x1x24，x1x21，|ab|2.又o到ab的距离d.saob22.故选d8(2019南开中学高三第三次教学质量检测)如图，抛物线c1：y24x，圆c2：(x1)2y21，过c1的焦点f的直线从上至下依次交c1，c2于点a，b，c，d若|fd|ab|，o为坐标原点，则()a2 b1 c4 d2答案b解析由题可设a(a2,2a)，d(d2,2d)，其中a0，d0.又焦点f(1,0)，所以|fd|1d2，|fa|1a2，所以|ab|fa|fb|a2，由题得1d2a2，所以a2d21.所以(1,0)(a2d2,2a2d)a2d21，所以1.故选b二、填空题9(2019长沙市长郡中学高三上学期第一次适应性考试)已知抛物线e：x22py(p0)的焦点为f，其准线与y轴交于点d，过点f作直线交抛物线e于a，b两点，若abad且|bf|af|4，则p的值为_答案2解析当k不存在时，直线与抛物线不会交于两点当k存在时(如图)，设直线ab的方程为ykx，a(x1，y1)，b(x2，y2)，d.则有x2py1，x2py2，联立直线与抛物线方程得整理得x22pkxp20，所以x1x2p2，x1x22pk，所以y1y2，又abad，所以x1(x1)0，整理得xy，即2py1y，解得y1p.因为y1y2，所以y2p，又|af|y1，|bf|y2，代入|bf|af|4得，y2y14.解得p2.10已知椭圆1上的两点a，b关于直线2x2y30对称，则弦ab的中点坐标为_答案解析设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，弦ab的中点m(x0，y0)，由题意得两式相减得0，因为点a，b关于直线2x2y30对称，所以kab1，故0，即x04y0.又点m(x0，y0)在直线2x2y30上，所以x02，y0，即弦ab的中点坐标为.三、解答题11(2019甘肃省高三第一次高考诊断)已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，且经过点m.(1)求椭圆c的方程；(2)与x轴不垂直的直线l经过n(0，)，且与椭圆c交于a，b两点，若坐标原点o在以ab为直径的圆内，求直线l斜率的取值范围解(1)由题意可得解得a2，b1，椭圆c的方程为y21.(2)设直线l的方程为ykx，代入椭圆方程y21整理可得(14k2)x28kx40，(8k)216(14k2)0，解得k或k，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，又x1x2，x1x2，y1y2k2x1x2k(x1x2)2，坐标原点o在以ab为直径的圆内，0，x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)2(1k2)k20，解得k.故直线l斜率的取值范围为.12(2019湖州三校普通高等学校招生全国统一模拟考试)如图，已知抛物线l：y22px(p0)的焦点为f，过点m(5,0)的动直线l与抛物线l交于a，b两点，直线af交抛物线l于另一点c，|ac|的最小值为4.(1)求抛物线l的方程；(2)记abc，afm的面积分别为s1，s2，求s1s2的最小值解(1)由已知及抛物线的几何性质可得|ac|min2p4，p2，抛物线l的方程为y24x.(2)如图，设直线ab：xty5，直线ac：xmy1，a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，由整理得y24ty200，y1y24t，y1y220，同理可得y1y34，从而c，点c到ab的距离d，|ab|y1y2|，s12(y20)又s24|y1|2|y1|，s1s24(y20)44(824)9632.当且仅当y4，即a(，2)时，s1s2有最小值9632.13(2019河南省顶级名校高三联合质量测评)已知椭圆o：1(ab0)的左、右顶点分别为a，b，点p在椭圆o上运动，若pab面积的最大值为2，椭圆o的离心率为.(1)求椭圆o的标准方程；(2)过b点作圆e：x2(y2)2r2(0r0)上在第一象限内的点h(1，t)到焦点f的距离为2.(1)若m，过点m，h的直线与该抛物线相交于另一点n，求|nf|的值；(2)设a，b是抛物线e上分别位于x轴两侧的两个动点，且(其中o为坐标原点)求证：直线ab必过定点，并求出该定点q的坐标；过点q作ab的垂线与该抛物线交于g，d两点，求四边形agbd面积的最小值解(1)点h(1，t)在抛物线e上，12，解得p2，故抛物线e的方程为y24x，所以当x1时，t2或t2(舍去)，直线mh的方程为yx，联立y24x可得，xn，|nf|xn1.(2)证明：设直线ab：xmyt，a，b，联立抛物线方程可得y24my4t0，y1y24m，y1y24t，由得，y1y2，解得y1y218或y1y22(舍去)，即4t18，可得t，所以直线ab过定点q.由得|ab|y2y1|.同理得，|gd|y4y3|.则四边形agbd的面积s|ab|gd|4 .令m2(2)，则s4是关于在2，)上的增函数，故当2时，smin88.当且仅当m1时取到最小值88.- 24 -第3讲圆锥曲线的综合问题考情研析1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.核心知识回顾1.最值问题求解最值问题的基本思路是选择变量，建立求解目标的函数解析式，然后利用函数知识、基本不等式等知识求解其最值2范围问题求参数范围的问题，牢记“先找不等式，有时需要找出两个量之间的关系，然后消去另一个量，保留要求的量”不等式的来源可以是0或圆锥曲线的有界性或题目条件中的某个量的范围等3定点问题在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题4定值问题在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题5存在性问题的解题步骤(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在热点考向探究考向1 最值与范围问题角度1最值问题例1已知抛物线c的方程为y22px(p0)，点r(1，2)在抛物线c上(1)求抛物线c的方程；(2)过点q(1,1)作直线交抛物线c于不同于r的两点a，b，若直线ar，br分别交直线l：y2x2于m，n两点，求|mn|最小时直线ab的方程解(1)点r(1,2)在抛物线c：y22px(p0)上，42p，解得p2，抛物线c的方程为y24x.(2)设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，直线ab的方程为xm(y1)1，m0，由消去x并整理得y24my4(m1)0，y1y24m，y1y24(m1)，设直线ar的方程为yk1(x1)2，由解得点m的横坐标xm，又k1，xm，同理点n的横坐标xn，|y2y1|4，|mn|xmxn|28 2 ，令m1t，t0，则mt1，|mn|2 ，当t2，即m1时，|mn|取得最小值，此时直线ab的方程为xy20. 解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法几何法是根据已知的几何量之间的相互关系，结合平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；代数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(利用普通方法、基本不等式法或导数法等)解决的 (2019湘赣十四校高三联考)已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，左焦点为f1，点a是椭圆c上位于x轴上方的一个动点，当直线af1的斜率为1时，|af1|.(1)求椭圆c的方程；(2)若直线af1与椭圆c的另外一个交点为b，点a关于x轴的对称点为a，求f1ab面积的最大值解(1)解法一：e，a22c2，又a2b2c2，bc.当直线af1的斜率为1时，直线af1通过椭圆上的顶点，|af1|a.又a22c2，bc，b1，椭圆c的方程为y21.解法二：设椭圆的右焦点为f2，在af1f2中，|af1|，|af2|2a，|f1f2|2c，(2a)22(2c)222ccos45，即a2ac2c.又e，ac.联立，得a，c1，又a2b2c2，b1.椭圆c的方程为y21.解法三：e，a22c2，又a2b2c2，abc.椭圆c的方程可化为1，即x22y22c2.又直线af1的方程为yxc.联立，得x22(xc)22c2，即3x24cx0，x0或xc.直线af1的斜率为1且a在x轴上方，xa0，a的坐标为(0，b)|af1|a，a，又abc，bc1.椭圆c的方程为y21.(2)如图，a在x轴上方，直线ab的斜率不为0，设直线ab的方程为xmy1.f1，a，b三点能构成三角形，直线ab不垂直于x轴，m0，设a的坐标为(x1，y1)，b的坐标为(x2，y2)，则a的坐标为(x1，y1)联立得(my1)22y22，即(2m2)y22my10，y1y2，y1y2.解法一：sf1absbaasf1aa|aa|x2xf1|y1|x21|y1|my2|my1y2|，当且仅当|m|即|m|时取等号f1ab面积的最大值为.解法二：直线ab的方程为yy1(xx1)，令y0，则xx1112，直线ab过定点(2,0)，设定点为t，则sf1ab|sf1tbsf1ta|y2y1|，当且仅当|m|即|m|时取等号f1ab面积的最大值为.角度2范围问题例2(2019广东高三联考)已知椭圆c1，抛物线c2的焦点均在x轴上，c1的中心和c2的顶点均为原点o，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3，2)，(2,0)，(4，4)，.(1)求c1，c2的标准方程；(2)过点m(0,2)的直线l与椭圆c1交于不同的两点a，b，且aob为锐角(其中o为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围解(1)由题意，抛物线的顶点为原点，所以点(2,0)一定在椭圆上，且a2，则椭圆上任何点的横坐标的绝对值都小于等于2，所以也在椭圆上，1，b21，故椭圆c1的标准方程为y21，所以点(3，2)，(4，4)在抛物线上，且抛物线开口向右，其抛物线c2的方程为y22px,126p，p2，所以抛物线c2的方程为y24x.(2)当直线l斜率不存在时，易知a，o，b三点共线，不合符题意当l斜率存在时，设l：ykx2，a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得x24(kx2)240，即(4k21)x216kx120，令(16k)248(4k21)0，即256k2192k2480，得64k248，即k，x1x2，x1x2，y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，aob为锐角，x1x2y1y20，即4k216，得2kb0)的长轴长为2，p为椭圆c上异于顶点的一个动点，o为坐标原点，a2为椭圆c的右顶点，点m为线段pa2的中点，且直线pa2与直线om的斜率之积恒为.(1)求椭圆c的方程；(2)过椭圆c的左焦点f1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆c于a，b两点，线段ab的垂直平分线与x轴交于点n，点n的横坐标的取值范围是，求线段ab长的取值范围解(1)由已知2a2，a，设点p(x0，y0)，m，直线pa2与om的斜率之积恒为，.y1，b1.故椭圆c的方程为y21.(2)设直线l：yk(x1)，联立直线与椭圆方程得(2k21)x24k2x2k220，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由根与系数的关系可得可得y1y2k(x1x22)，故ab中点q，qn直线方程：yx，n，由已知条件得，0，02k21，|ab| ，|ef|，故q点的轨迹t为以e，f为焦点，长轴长为4的椭圆，则a2，c1，所以b，所以点q的轨迹t的方程为1.(2)证明：分别设直线ab和cd的中点为m，n，当直线ab斜率不存在或为0时，分析可知直线mn与x轴重合，当直线ab的斜率为1时，此时m，n，直线mn的方程为x，联立解得直线mn经过定点.下面证明一般性：当直线ab的斜率存在且不为0,1时，设直线ab的方程为yk(x1)，则直线cd的方程为y(x1)，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，联立消去y得(4k23)x28k2x4k2120，则x1x2，所以y1y2，即m，同理，n，于是直线mn的斜率为kmn，故直线mn的方程为y，显然x时，y0，故直线经过定点. 过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m,0)(2)动曲线c过定点问题，解法：引入参变量建立曲线c的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点 (2019白银市靖远县高三联考)设椭圆c：1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，下顶点为a，o为坐标原点，点o到直线af2的距离为，af1f2为等腰直角三角形(1)求椭圆c的标准方程；(2)直线l与椭圆c交于m，n两点，若直线am与直线an的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标解(1)由题意可知，直线af2的方程为1，即bxcybc0，则.因为af1f2为等腰直角三角形，所以bc，又a2b2c2，解得a，b1，c1，所以椭圆c的标准方程为y21.(2)证明：由(1)知a(0，1)，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxt(t1)，代入y21，得(12k2)x24ktx2t220，所以16k2t24(12k2)(2t22)0，即t22k2b0)的离心率为，点a(2，)在椭圆上，o为坐标原点(1)求椭圆c的方程；(2)已知点p，m，n为椭圆c上的三点，若四边形opmn为平行四边形，证明四边形opmn的面积s为定值，并求出该定值解(1)由题有a28，b24，椭圆c的方程为1.(2)当直线pn的斜率k不存在时，直线pn的方程为x或x，从而有|pn|2，所以四边形opmn的面积s|pn|om|222.当直线pn的斜率k存在时，设直线pn的方程为ykxm(m0)，p(x1，y1)，n(x2，y2)，将直线pn的方程代入椭圆c的方程，整理得(12k2)x24kmx2m280，所以x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2m，由，得m.将m点的坐标代入椭圆c的方程得m212k2.又点o到直线pn的距离为d，|pn|x1x2|，四边形opmn的面积sd|pn|m|x1x2| 2.综上，平行四边形opmn的面积s为定值2. 定值问题的两种解法(1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项相抵消或分子、分母约分得定值 已知抛物线e：y22px(p0)，直线xmy3与e交于a，b两点，且6，其中o为坐标原点(1)求抛物线e的方程；(2)已知点c的坐标为(3,0)，记直线ca，cb的斜率分别为k1，k2，证明：2m2为定值解(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，整理得y22pmy6p0，由根与系数的关系可知，y1y22pm，y1y26p，则x1x2，由x1x2y1y2y1y296p6，解得p，所以y2x.(2)证明：由题意得k1，k2，所以m，m，所以2m2222m22m212m362m22m212m362m2，由(1)可知，y1y22pmm，y1y26p3，所以2m22m212m362m224，所以2m2为定值考向3 探索性问题例5如图，椭圆c：1(ab0)经过点p，离心率e，直线l的方程为x4.(1)求椭圆c的方程；(2)线段ab是经过右焦点f的任一弦(不经过点p)，设直线ab与直线l相交于点m，记直线pa，pb，pm的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由解(1)由p在椭圆上，得1，因为e，所以a2c，则代入解得c21，a24，b23.故椭圆c的方程为1.(2)由题意可设直线ab的斜率为k，则直线ab的方程为yk(x1)，代入椭圆方程并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1x21，则有x1x2，x1x2，在方程中令x4得，m的坐标为(4,3k)从而k1，k2，k3k.因为a，f，b三点共线，所以kkafkbf，即有k.所以k1k22k2k2k1，又k3k，所以k1k22k3.故存在常数2符合题意 解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在 (2019南通市高三阶段测试)已知a(2,0)，b(2,0)，点c，d依次满足|2，()(1)求点d的轨迹；(2)过点a作直线l交以a，b为焦点的椭圆于m，n两点，线段mn的中点到y轴的距离为，且直线l与点d的轨迹相切，求该椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，设点q的坐标为(1,0)，是否存在椭圆上的点p及以q为圆心的一个圆，使得该圆与直线pa，pb都相切，若存在，求出p点坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由解(1)设c(x0，y0)，d(x，y)，则(x02，y0)，(4,0)，()(x2，y)，则有代入|2(x02)2y4得x2y21.点d的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆(2)由题意可知直线l斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)，椭圆的方程1(a24)，由l与圆相切得1，即k2，将代入得(a2k2a24)x24a2k2x4a2k2a44a20，又k2，可得(a23)x2a2xa44a20，设m(x1，y1)，n(x2，y2)，|x1x2|，解得a28或a2(舍去)，椭圆方程为1.(3)假设存在椭圆上的一点p(x0，y0)，使得直线pa，pb与以q为圆心的圆相切，则q到直线pa，pb的距离相等，又a(2,0)，b(2,0)，则直线pb的方程为(x02)yy0x2y00，直线pa的方程为(x02)yy0x2y00.设d1为q到直线pb的距离，d2为q到直线pa的距离，则d1d2，化简整理得x5x04y0.p点在椭圆上，x2y8.解得x02或x08(舍去)x02时，y0，r1.椭圆上存在点p，其坐标为(2，)或(2，)，使得直线pf1，pf2与以q为圆心的圆(x1)2y21相切真题押题真题模拟1(2019全国卷)已知曲线c：y，d为直线y上的动点，过d作c的两条切线，切点分别为a，b(1)证明：直线ab过定点；(2)若以e为圆心的圆与直线ab相切，且切点为线段ab的中点，求四边形adbe的面积解(1)证明：设d，a(x1，y1)，则x2y1.因为yx，所以切线da的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设b(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线ab的方程为2tx2y10.所以直线ab过定点.(2)由(1)得直线ab的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|ab| |x1x2| 2(t21)设d1，d2分别为点d，e到直线ab的距离，则d1，d2.因此，四边形adbe的面积s|ab|(d1d2)(t23) .设m为线段ab的中点，则m.因为，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0，解得t0或t1.当t0时，s3；当t1时，s4.因此，四边形adbe的面积为3或4.2(2019天津市高三4月联考)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，左、右顶点分别为a，b，过右焦点f2且垂直于长轴的直线交椭圆于g，h两点，|gh|3，f1gh的周长为8.过a点作直线l交椭圆于第一象限的m点，直线mf2交椭圆于另一点n，直线nb与直线l交于点p.(1)求椭圆的标准方程；(2)若amn的面积为，求直线mn的方程；(3)证明：点p在定直线上解(1)由题意知|gh|3,4a8，解得a2，b，所以椭圆方程为1.(2)设m(x1，y1)，n(x2，y2)当直线mn斜率k存在时，设直线mn方程为yk(x1)，代入椭圆方程并整理，得(4k23)x28k2x4k2120，144(k21)0，x1x2，x1x2，|mn|.a(2,0)到直线mn：kxyk0的距离为d，samnd|mn|，化简得17k4k2180，解得k1.当k1时，直线mn过点f2(1,0)，直线mn与椭圆的交点不在第一象限(舍去)所以直线mn的方程为xy10.当直线mn斜率k不存在时，则直线mn的方程为x1，samn(ac)(舍去)综上，直线mn的方程为xy10.(3)证明：设直线am：yk1(x2)(k10)，与椭圆方程联立得(4k3)x216kx16k120，xm，ym同理设直线bn：yk2(x2)(k20)，可得xn，yn，所以直线mn的方程为，以及直线mn方程过点f2(1,0)，将f2，m，n坐标代入可得，(4k1k23)(k23k1)0，k1k20，k23k1.又因为直线am与直线nb交于p点，即xp，将k23k1代入得xp4，所以点p在定直线x4上3(2019江西省八所重点中学高三4月联考)已知椭圆e：1(ab0)，f1，f2为其左、右焦点，b1，b2为其上、下顶点，四边形f1b1f2b2的面积为2.(1)求椭圆e的长轴a1a2的最小值，并确定此时椭圆e的方程；(2)对于(1)中确定的椭圆e，设过定点m(2,0)的直线l与椭圆e相交于p，q两点，若，当时，求opq面积s的取值范围解(1)依题意，四边形f1b1f2b2的面积为2bc，2bc2，因为长轴a1a22a222，此时bc1，a，故长轴a1a2的最小值为2，此时椭圆e的方程为y21.(2)依题意，可设l：xty2，联立得(t22)y24ty20，设p(x1，y1)，q(x2，y2)，由16t242(t22)8t2160，可得t22，且且已知m(2,0)，由，可得y1y2，2，2，t20，ssomqsomp|om|y1y2|y1y2|，设m，m，t2m2，s，m在m上单调递减，故s关于m在上单调递增，s.4(2019玉溪市第一中学高三下学期第五次调研)已知抛物线x22py(p0)，准线方程为y20，直线l过定点t(0，t)(t0)，且与抛物线交于a，b两点，o为坐标原点(1)求抛物线方程；(2)是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)当t1时，设，记|ab|f()，求f()的最小值及取最小值时对应的.解(1)2，p4，x28y.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，根据题意知直线l的斜率存在，设l：ykxt(t0)，联立得x28kx8t0，x1x28k，x1x28t.y1y2(kx1t)(kx2t)k2x1x2kt(x1x2)t2t2，x1x2y1y2t28t.由于t(0，t)为定点，故t为定值，为定值(3)t(0,1)，(x1,1y1)，(x2，y21)，x1x2,1y1(y21)，x1x2，由(2)知x1x28t8，x8，x，且0，又x1x2(1)x28k，(1)2x64k2，当k0时，1，x，k2.当k0时，1，符合上式，且|ab|4.|ab| ，令m，则m2，|ab|，当m2即1时，|ab|min4.金版押题5已知直线l1：axy10，直线l2：x5ay5a0，直线l1与l2的交点为m，点m的轨迹为曲线c(1)当a变化时，求曲线c的方程；(2)已知点d(2,0)，过点e(2,0)的直线l与c交于a，b两点，求abd面积的最大值解(1)由消去a，得曲线c的方程为y21.y1，即点(0，1)不在曲线c上，此步对考生不作要求(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，l为xmy2，由得(m25)y24my10，则y1y2，y1y2，abd的面积s2|y2y1|22 ，设t，t1，)，则s，当t(t1，)，即t2，m时，abd的面积取得最大值.6已知抛物线c：y22px(p0)与直线xy40相切(1)求该抛物线的方程；(2)在x轴的正半轴上，是否存在某个确定的点m，过该点的动直线l与抛物线c交于a，b两点，使得为定值如果存在，求出点m的坐标；如果不存在，请说明理由解(1)联立方程有有y22py8p0，由于直线与抛物线相切，得8p232p0，p4，所以y28x.(2)假设存在满足条件的点m(m,0)(m0)，直线l：xtym，有整理得y28ty8m0，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，有y1y28t，y1y28m，|am|2(x1m)2y(t21)y，|bm|2(x2m)2y(t21)y，当m4时，为定值，所以m(4,0)配套作业1已知抛物线x22py(p0)的焦点为f，直线x4与x轴的交点为p，与抛物线的交点为q，且|qf|pq|.(1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过f的直线l与抛物线相交于a，d两点，与圆x2(y1)21相交于b，c两点(a，b两点相邻)，过a，d两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点m，求abm与cdm面积之积的最小值解(1)由已知p(4,0)，q，|qf|.因为|qf|pq|，所以，得p2.所以抛物线方程为x24y.(2)由题意可知，l斜率存在设l：ykx1.a(x1，y1)，d(x2，y2)设m(x0，y0)，则过a，d的弦方程可设为：xx02y02y即yxy0，即m(2k，1)m到l的距离d2.sabmscdm|ab|cd|d2(|af|1)(|df|1)d2y1y2d2d2，又由联立得，x24kx40，x1x24.sabmscdm(2)21k21.当且仅当k0时取等号当k0时，abm与cdm面积之积的最小值为1.2(2019福建省高三3月质量检测)在平面直角坐标系xoy中，圆f：(x1)2y21外的点p在y轴的右侧运动，且点p到圆f上的点的最小距离等于它到y轴的距离，记点p的轨迹为e.(1)求e的方程；(2)如图，过点f的直线交e于a，b两点，以ab为直径的圆d与平行于y轴的直线相切于点m，线段dm交e于点n，证明：amb的面积是amn的面积的4倍解解法一：(1)设p(x，y)，依题意x0，f(1,0)因为点p在圆f外，所以点p到圆f上的点的最小距离为|pf|1，依题意得|pf|1x，即1x，化简得点p的轨迹e的方程为y24x(x0)(2)证明：设n(x0，y0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则d.依题意可知直线ab的斜率存在，设直线ab的方程yk(x1)(k0)，由得k2x2(2k24)xk20.因为(2k24)24k416k2160，所以x1x2，x1x21，则有y1y2，故d，由抛物线的定义知|ab|x1x22.设m(xm，ym)，依题意得ym，所以|md|xm.又因为|md|，所以xm，解得xm1，所以m，因为n在抛物线上，所以x0，即n，所以samb|md|y1y2|y1y2|，samn|mn|y1yd|y1y2|y1y2|，故samb4samn.解法二：(1)设p(x，y)，依题意x0.因为点p在圆f外，所以点p到圆f上的点的最小距离为|pf|1.依题意得，点p到圆f(1,0)的距离|pf|等于p到直线x1的距离，所以点p在以f(1,0)为焦点，x1为准线的抛物线上所以e的方程为y24x(x0)(2)证明：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，因为直线ab过f(1,0)，依题意可设其方程xty1(t0)，由得y24ty40，因为16t2160，所以y1y24t，则有x1x2(ty11)(ty21)4t22.因为d是ab的中点，所以d(2t21,2t)由抛物线的定义得|ab|(x11)(x21)4t24，设圆d与l：xm相切于m，因为dm与抛物线相交于n，所以mb0)上两点(1)求椭圆c的标准方程；(2)设o为坐标原点，m为椭圆c上一动点，点p(3,0)，线段pm的垂直平分线交y轴于点q，求|oq|的最小值解(1)代入a，b两点坐标得1，1，解得a26，b22，所以椭圆c的标准方程为1.(2)设点m的坐标为(x0，y0)，则1，可得x63y，线段pm的中点n，kqnkpm1，可得kqn，所以lqn：y.令x0，并结合式得yq，|oq|yq|y0|2，当且仅当|y0|，y0时取等号，所以|oq|的最小值为.4(2019郴州市高三第二次教学质量监测)已知抛物线c：x22py(p0)的焦点为f，过f的直线交抛物线于a，b两点(1)若以a，b为直径的圆的方程为(x2)2(y3)216，求抛物线c的标准方程；(2)过a，b分别作抛物线的切线l1，l2，证明：l1，l2的交点在定直线上解(1)设ab的中点为m，a到准线的距离为d1，b到准线的距离为d2，m到准线的距离为d.则dy
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