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第四节角平分线 一 还记得角平分线上的点有什么性质吗 你是怎样得到的 请你尝试证明这一性质 并与同伴交流 定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 已知 如图 OC是 AOB的平分线 点P在OC上 PD OA PE OB 垂足分别为D E 求证 PD PE 已知 如图 OC是 AOB的平分线 点P在OC上 PD OA PE OB 垂足分别为D E 求证 PD PE 证明 PD OA PE OB 垂足分别为D E PDO PEO 90 1 2 OP OP PDO PEO AAS PD PE 全等三角形的对应边相等 想一想你能写出这个定理的逆命题吗 它是真命题吗 定理在一个角的内部 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 已知 如图 点P为 AOB内一点 PD OA PE OB 垂足分别为D E 且PD PE 求证 OP平分 AOB 已知 如图 点P为 AOB内一点 PD OA PE OB 垂足分别为D E 且PD PE 求证 OP平分 AOB ODP OEP 90 证明 PD OA PE OB 垂足分别为D E PD PE OP OP Rt DOP Rt EOP HL 1 2 全等三角形对应角相等 OP平分 AOB 例1 如图 在 ABC中 BAC 600 点D在BC上 AD 10 DE AB DF AC 垂足分别为E F 且DE DF 求DE的长 解 DE AB DF AC 垂足分别为E F 且DE DF AD平分 BAC 在一个角的内部 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 又 BAC 60 BAD 300 在Rt ADE中 AED 900 AD 10 在直角三角形中 如果一个锐角等于30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 1 如图 AD AE分别是 ABC中 A的内角平分线外角平分线 它们有什么关系 练习 2 如图 一目标在A区 到期公路 铁路距离相等 离公路与铁路的交叉处500m 在图上标出它的位置 比例尺1 20000 利用尺规作出三角形三个内角的平分线 你发现了什么 已知 如图 在 ABC中 AD是它的角平分线 且BD CD DE AB DF AC 垂足分别是E F 求证 EB FC 如图 求作一点P 使PC PD 并且点P到 AOB的两边的距离相等 如图 在 ABC中 C 900 A 300 作AB的垂直平分线 交AB于点D 交AC于点E 连接BE 则BE平分 ABC 请你证明这一结论 你有几种证明方法 课堂小结 畅谈收获 一 角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 二
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