离散型随机变量的均值.ppt

2 3 1离散型随机变量的均值 复习回顾 1 离散型随机变量的分布列 2 离散型随机变量分布列的性质 1 1 pi 0 i 1 2 2 p1 p2 pi 1 引入 对于离散型随机变量 可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率 但在实际问题中 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征 例如 要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平 很重要的是看平均分 要了解某班同学数学成绩是否 两极分化 则需要考察这个班数学成绩的方差 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征 最常用的有期望与方差 问题 某人射击10次 所得环数分别是 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 则所得的平均环数是多少 把环数看成随机变量的概率分布列 权数 加权平均 按3 2 1的比例混合 18元 kg 24元 kg 36元 kg 定价为混合糖果的平均价格才合理 按3 2 1的比例混合 18元 kg 24元 kg 36元 kg 平均价格为 按3 2 1的比例混合 18元 kg 24元 kg 36元 kg 把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列 离散型随机变量取值的平均值 数学期望 一般地 若离散型随机变量X的概率分布为 则称 为随机变量X的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 理解概念 可能取值的算术平均数为 随机变量x的均值与x可能取值的算术平均数何时相等 举例随机抛掷一个骰子 求所得骰子的点数X的均值 随机变量的均值是常数 而样本的平均值随着样本的不同而变化 因而样本的平均值是随机变量 对于简单随机样本 随着样本容量的增加 样本的平均值越来越接近总体的平均值 因此 我们常用样本的平均值来估计总体的平均值 设Y aX b 其中a b为常数 则Y也是随机变量 1 Y的分布列是什么 2 EY 思考 一 离散型随机变量取值的平均值 数学期望 二 数学期望的性质 基础训练 1 随机变量 的分布列是 1 则E 2 随机变量 的分布列是 2 4 2 若 2 1 则E 5 8 E 7 5 则a b 0 4 0 1 例1 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 罚不中得0分 已知某运动员罚球命中的概率为0 7 则他罚球1次的得分X的均值是多少 一般地 如果随机变量X服从两点分布 则 小结 例2 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 罚不中得0分 已知某运动员罚球命中的概率为0 7 他连续罚球3次 1 求他得到的分数X的分布列 2 求X的期望 解 1 X B 3 0 7 2 一般地 如果随机变量X服从二项分布 即X B n p 则 小结 证明 所以 若 B n p 则E np 证明 若 B n p 则E np 知识应用 例6 14年四川高考 一款击鼓小游戏的规则如下 每盘游戏都需要击鼓三次 每次击鼓要么出现一次音乐 要么不出现音乐 每盘游戏击鼓三次后 出现一次音乐获得10分 出现两次音乐获得20分 出现三次音乐获得100分 没有出现音乐则扣除200分 即获得 200分 设每次击鼓出现音乐的概率为 且各次击鼓出现音乐相互独立 设每盘游戏获得的分数为 求的分布列 玩三盘游戏 至少有一盘出现音乐的概率是多少 玩过这款游戏的许多人发现 若干盘游戏后 与最初的分数相比 分数没有增加反而减少了 请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因 解 例3 一次数学单元测验由20个选择题构成 每个选择题有4个选项 其中有且只有一个选项是正确答案 每题选择正确答案得5分 不作出选择或选错不得分 满分100分 学生甲选对任一题的概率为0 9 学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个 求学生甲和乙在这次数学单元测验中的成绩的期望 甲选对题数为 乙选对题数为 归纳求离散型随机变量均值的步骤 确定离散型随机变量可能的取值 写出分布列 并检查分布列的正确与否 求出均值 例4 决策问题 根据气象预报 某地区近期有小洪水的概率为0 25 有大洪水的概率为0 01 该地区某工地上有一台大型设备 遇到大洪水时要损失60000元 遇到小洪水时要损失10000元 为保护设备 有以下种方案 方案1 运走设备 搬运费为3800元 方案2 建保护围墙 建设费为2000元 但围墙只能挡住小洪水 方案3 不采取措施 希望不发生洪水 试比较哪一种方案好 决策的准则由于结果的不确定性 原则之一就是 比较各种决策的 平均 好处 哪种决策的平均好处大 就选哪一种 即哪个决策的期望值大 就选择哪一种 例 在一个潮湿的双休日早晨 你想步行会一个朋友 由于担心可能会下雨 准备带上雨伞 可能采取的行动有两种 带上雨伞或把雨伞留在家里 决策模型中称之为 策略或方案 碰到的天气情况也有两个 下雨和不下雨 决策模型中称之为 状态或事件 面对以上两个策略和两种状态 有且仅有四种结果 带了雨伞 下雨了 带了雨伞 没下雨 把雨伞留下 下雨了 把雨伞留下 没下雨 类似这样的决策问题 我们称之为 风险型 决策问题 特点是 决策中可能碰到的各种自然状态 为决策者所不可控因素 其发生的概率是已知的 或者是可以估算出来 决策的准则就是 期望值 原则 对收益来说 期望值越大越好 对损失来说 期望值越小越好 当然这类决策问题是存在一定的风险的 析 审清题意是解决该题的关键 1 抓住蝇子一个个有顺序地飞出 易联想到把8只蝇子看作8个元素有序排列 由于 0 表示 最后一只必为果蝇 所以有 1 表示 P 0 同理有P 1 2 表示 有P 2 3 表示 有P 3 4 表示 有P 4 5 表示 有P 5 6 表示 有P 6 例7 07 重庆 某单位有三辆汽车参加某种事故保险 单位年初向保险公司交纳900元的保险金 对在一年内发生此种事故的每辆汽车 单位可获9000元的赔偿 假设每辆车最多只赔偿一次 设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为1 9 1 10 1 11 且各车