二维形式的柯西不等式.doc

3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式. 教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：及几种变式.2. 练习：已知a、b、c、d为实数，求证 证法：（比较法）=.=二、讲授新课：1. 教学柯西不等式： 提出定理1：若a、b、c、d为实数，则. 即二维形式的柯西不等式 什么时候取等号？ 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法） . （要点：展开配方） 证法三：（向量法）设向量，则，. ，且，则. . 证法四：（函数法）设，则0恒成立. 0，即. 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ 变式： 或 或. 提出定理2：设是两个向量，则. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） 讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者共线） 练习：已知a、b、c、d为实数，求证. 证法：（分析法）平方 应用柯西不等式 讨论：其几何意义？（构造三角形）2. 教学三角不等式： 出示定理3：设，则.分析其几何意义 如何利用柯西不等式证明 变式：若，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 3.1 二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？ 答案：；2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数的最大值? 要点：利用变式.二、讲授新课：1. 教学最大（小）值： 出示例1：求函数的最大值？ 分析：如何变形？ 构造柯西不等式的形式 板演 变式： 推广： 练习：已知，求的最小值. 解答要点：（凑配法）. 讨论：其它方法 （数形结合法）2. 教学不等式的证明： 出示例2：若，求证：.分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 构造） 要点： 讨论：其它证法（利用基本不等式） 练习：已知、，求证：.3. 练习： 已知，且，则的最小值. 要点：. 其它证法 若，且，求的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若，且，求的最大值.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧. 3.2 一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用.教学难点：理解证明中的函数思想.一、复习准备：1. 练习： 2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？ 答案：；二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式： 提问：由平面向量的柯西不等式，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？ 猜想：n维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设，则 讨论：什么时候取等号？（当且仅当时取等号，假设）联想：设，则有，可联想到一些什么？ 讨论：如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式？ （注意分类）要点：令 ，则.又，从而结合二次函数的图像可知，0即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.） 变式：. （讨论如何证明）2. 教学柯西不等式的应用： 出示例1：已知，求的最小值. 分析：如何变形后构造柯西不等式？ 板演 变式： 练习：若，且，求的最小值. 出示例2：若，求证：. 要点：3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1不等式1、已知，则不等式的解是（ ） A. B. C.,或 D.，或2、不等式和同时成立的条件是（ ） A. B. C. D.3、若a、b为实数，则ab0是ab的 （ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4、设，且，则（ ） A. B. C. D.5、下列各式中，最小值等于的是（ ） A B C D 6、已知，则的最小值为（ ） A8 B6 C D7、设，且， ， ，则它们的大小关系是（ ） A B C D 8、若，则函数有（ ）A 最小值 B 最大值 C 最大值 D 最小值 9、若且满足，则的最小值是（ ） A B C D 10、若，则函数的最小值为（ ） A B C D 非上述情况11、设，则函数的最大值是_ 12、若，则的最小值是_ 13、函数的最小值为_ 14、设，求证4-5不等式选讲练习（二）绝对值不等式1、不等式的解集为（ ）A B C D 2、若，则的元素个数为（ ）A0B1C2D33、不等式的解集是（ ） A B. C. D. 4、已知，且，则（ ）A. B. C. D. 5、函数的最小值为（ ）A B C D 6、不等式的所有实数解的集合是（ ）A B C D 7、则的大小关系为 （ ）A. B. C. D. 8、若不等式的解集中的整数有且仅有，则的取值范围为 9、不等式的解集是_。10、不等式的解集是_11、不等式的解集是 . 12、不等式的解集是 . 13、已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 14、如果关于的不等式的解集不是空集，求参数的取值范围 4-5不等式选讲练习（三）比较法1、设都是正数，且则下列不等式中恒成立的是（ ）A B C D 2、设下列不等式中不正确的是（ ） A B C D 3、设则下列关于和的大小关系中正确的是（ ）A B C D 4、如果，且，那么（ ） A B C D 5、已知，则有（ ） A B C D 6、设则的大小关系是_7、设若，则实数应满足的条件是_ 8、设则和的大小关系是_9、若，则和的大小关系是_ 综合法和分析法1、已知且，则的大小关系是（ ）A B C D 的大小和有关2、若，且，则下列四个数中最小的一个是（ ） A B C D 3、设不等的两个正数满足，则的取值范围是（ ） A B C D 4、若，且, ，则与的大小关系是 A B C D 5、的关系是_ 6、已知，比较与的大小关系为 7、设且，则的最大值是_ 8、若是正数，且满足，用表示中的最大者，则的最小值为_ 9、已知，求证：（1） （2）反证法和放缩法1、设, ，则的大小关系是（ ） A B C D 2、设，则的大小顺序是（ ） A B C D 3、，设，则下列判断中正确的是（ ） A B C D 4、若，则, , , 按由小到大的顺序排列为 5、已知，且，则的最大值等于_ 6、若为正整数，求证： 柯西不等式1、若，且，则的取值范围是（ ）A B C D 2、已知则的最大值是（ ）A B C D 3、已知那么的最小值是（ ）A B C D 4、设，且，则的最小值是（ ）A B C D 5、已知，且，则的最小值为（ ）A B C D 6、已知是给定的正数，则的最小值是（ ）A B C D 7、已