有过程的概率论与数理统计试卷 供复习考试用 谢谢大家.pdf

北京工业大学北京工业大学 20042004 20052005 年度第年度第 I I 学期学期 概率论与数理统计考试试卷概率论与数理统计考试试卷 经经 A A 卷卷 及参考答案及参考答案 有过程的概率论与数理统计试卷 供复习考试用 谢谢大家的 支持 来自马劭翌电脑工作室 祝大家圣诞新年春节元宵佳节 快乐 一 填空题 每空两分 共 30 分 1 若BA 为随机事件 且6 0 AP 2 0 ABP 当A与B相互独立时 BP 0 5 A与B互不相容时 BP 0 2 P b a 0 4 x 0 2 x 0 5 p b 0 5 p b 与 p a 无关 p b 0 2 2 若每次试验时A发生的概率都是2 0 X表示50次独立试验中事件A发生的 次数 则 XE 10 XVar 8 0 2 50 10 var x Var X 50 0 2 1 0 2 8 3 若随机变量X只取2 1 之三个可能值 且15 0 2 XP 5 0 1 XP 则 XE 0 9 XVar 1 69 P x 2 0 35 e x 2 0 15 1 0 5 2 1 0 15 0 5 0 9 4 若 随机 变量相 互 独 立 且 1 X 2 X 2 1 2 N 令 21 2XXX 则 XE 1 XVar 25 1 XP 0 5 随机变量 x1 x2 相互独立 X X1 2X2 E X E X1 2X2 E X1 E 2X2 E X1 2E X2 3 2 1 Var X Var X1 2X2 Var X1 Var 2X2 Var X1 4E X2 21 X X 3 3 2 N 3 2 4 2 2 25 所以 X 1 25 因此 P X 1 0 5 5 若 n XXX 21 为抽自正态总体 2 N的随机样本 记 n i i X n X 1 1 2 1 2 1 1 XX n S n i i 则 Xn 1 0 N 2 SXn 1 n t 22 1 Sn 2 1 n 进一步 记 Z为标准正态分布上 分位点 m t为自由度为m的t分布上 分位点 2 m为自由度为m的 2 分布上 分位点 m为自然数 10 为常数 当 2 已知时 的置信系数 为 1的置信区间为 2 2 ZnXZnX 当 2 未知时 的置信系数为 1的置信区间为 2 2 11 nn tnSXtnSX 2 的置信系数为 1的置信区间为 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 nn SnSn 注 做以下各题须写出计算步骤 否则不能得分 注 做以下各题须写出计算步骤 否则不能得分 二 计算题 共 70 分 1 1 14 分 盒中装有 8 个乒乓球 其中有 6 个新的 第一次练习时 从中任取 2 个来用 用完后放回盒中 第二次练习时 再从盒中任取 2 个 1 求第二次取出的球都是新球的概率 2 求在第二次取出的球都是新球条件下 第一次取到的球都是新球的概率 解解 设 i A表示第一次取到 i个新球 2 1 0 i B表示第二次取到 2 个新球 则 1 由全概率公式 得 784 225 2 8 2 4 2 8 2 6 2 8 2 5 2 8 1 6 1 2 2 8 2 6 2 8 2 2 2 0 C C C C C C C CC C C C C ABPAPBP i ii 2 由贝叶斯公式 得 5 2 784 225 784 90 22 2 BP ABPAP BAP 2 2 15 分 设二维随机向量 X Y 的联合密度函数为 0 20 其他 xyxyxAx yxf 1 确定常数A 2 求 X 的边缘概率密度函数 X xf 3 求 E X Y 解解 1 由18 2 0 AdyyxAxdxdxdyyxf x x 得 8 1 A 2 20 48 3 X x x dy yxx dyyxfxf x x 3 15 16 4 1 8 1 2 00 22 2 0 22 dyyxxdx dyyxxdx dxdyyxfyxYXE x x x 3 13 分 若 n XXX 21 为抽自正态总体 2 2 N的简单样本 求 1 2 的矩估计 2 2 的极大似然估计 解解 1 由 n i i X n EXXVarEX 1 2222 1 4 得 2 的矩估计为 4 1 1 22 n i i X n 2 建立似然函数 2 2 1 exp 2 2 2 exp 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 n i i ni n i x x L 取其对数后再对 2 求导 得 2 2 1 2 ln 1 2 422 2 n i i x n d Ld 令上式为零 得 n i i x n 1 22 2 1 故 2 的极大似然估计为 n i i X n 1 22 2 1 4 14 分 设随机变量 X 服从标准正态分布 N 0 1 记 X eY 求 1 Y的分布函数 yFY 2 Y的概率密度函数 yfY 3 Y的期望和方差 解解 1 对0 y 有 y xX Y dxeyXPyePyYPyF ln 2 2 2 1 1 ln 2 2 ln 2 2 1 y Y e y yf 0 y 3 2 12 1 2 12 22 2 1 2 1 edxeedxeeEY xxx 再由 22 2 22 22 22 2 1 2 1 edxeedxeeEY xxx 及 22 EYEYYVar 得 eeYVar 2 5 14分 对一批锰的熔点做5次测定 结果为1269 1267 1271 1263 和1265 C o 若锰的熔点服从正态分布 2 N 其中 和 2 为未知常数 对 给定的检验水平05 0 做假设检验 1 1266 0 H 1266 1 H 2 4 2 0 H 4 2 1 H 附附 标准正态分布上 5 分位点为 1 645 上 2 5 分位点为 1 96 定义 nn ttP 22 nn P 有 1318 2 05 0 4 t 7764 2 025 0 4 t 0150 2 05 0 5 t 5706 2 025 0 5 t 143 11 025 0 2 4 488 9 05 0 2 4 711 0 95 0 2 4 484 0 975 0 2 4 833 12 025 0 2 5 071 11 05 0 2 5 145 1 95 0 2 5 831 0 975 0 2 5 解解 由5 n 05 0 1269 1 x 1267 2 x 1265 5 x 得 1267 5 1 5 1 i i xx 10 4 1 2