2020届淮南市高三第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）

2020届安徽省淮南市高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1若集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】先求出集合，集合中元素的范围，然后求交集即可.【详解】解：由已知，故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.2已知，为虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（ ）AB0C1D2【答案】A【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.【详解】为纯虚数.则 所以 故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题3已知a，b都是实数，那么“”是“”的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用对数函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论【详解】都是实数，由“”有成立，反之不成立，例如.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B【点睛】本题考查了对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线己知的顶点，且，则的欧拉线方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】由于，可得：的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上，求出线段的垂直平分线，即可得出的欧拉线的方程【详解】因为，可得：的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上，则的中点为,所以的垂直平分线的方程为：，即.故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了对新知识的理解应用，属于中档题5淮南市正在创建全国文明城市，某校数学组办公室为了美化环境，购买了5盆月季花和4盆菊花，各盆大小均不一样，将其中4盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种数为（ ）A960B1080C1560D3024【答案】B【解析】分两类：第一类一盆菊花都没有，第二类只有一盆菊花，将两类种数分别算出相加即可.【详解】解：一盆菊花都没有的摆法种数为，只有一盆菊花的摆法种数为，则至多有一盆菊花的摆法种数为，故选：B.【点睛】本题考查分类加法原理，考查排列组合数的计算，是基础题.6函数的大致图象为（ ）ABCD【答案】C【解析】由得到为偶函数，所以当时，求导讨论其单调性，分析其极值就可以得到答案.【详解】因为，所以为偶函数, 则当时，.此时，当时， 当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.在上，当时函数有最小值.由为偶函数，根据选项的图像C符合.故选：C【点睛】本题考查根据函数表达式选择其图像的问题，这类问题主要是分析其定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性和一些特殊点即可,属于中档题.7在中， ，点满足，点为的外心，则的值为（ ）A17B10CD【答案】D【解析】将用向量和表示出来，再代入得，求出代入即可得出答案.【详解】取的中点，连接，因为为的外心，同理可得，故选：D.【点睛】本题考查数量积的运算，关键是要找到一对合适的基底表示未知向量，是中档题.8已知的展开式中所有项的系数和等于，则展开式中项的系数的最大值是（ ）ABC7D70【答案】C【解析】令，可得，将展开式中的奇数项求出来，观察大小即可得答案.【详解】解：令得，的展开式通项公式为，要求展开式中项的系数的最大值则必为偶数，故选：C.【点睛】本题考查二次项定理的应用，其中赋值法求出很关键，是基础题.9已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于、两点，若是等腰三角形，且则的周长为（ ）ABCD【答案】A【解析】利用双曲线的定义以及三角形结合正弦定理，转化求解三角形的周长即可.【详解】双曲线的焦点在轴上，则；设，由双曲线的定义可知：，由题意可得：，据此可得：，又 ，由正弦定理有:,即所以，解得：，所以的周长为：=故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力10已知是函数（，）的一个零点，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则函数的单调递增区间是（ ）A，B，C，D，【答案】D【解析】通过条件可得，结合，可求出，即可得，令，求出的范围即为函数的单调递增区间.【详解】解：由已知，得，又，即，；又，所得图象关于轴对称，将代入消去得，时，令，故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，考查计算能力和分析能力，是中档题.11已知是函数的极值点，数列满足，记表示不超过的最大整数，则（ ）A1008B1009C2018D2019【答案】A【解析】利用函数的导数通过函数的极值，得到数列的递推关系式，求出数列的通项公式，化简数列求和，推出结果即可.【详解】解：，是函数的极值点，可得：，即，累加可得，则.故选：A.【点睛】本题考查数列递推式求通项公式，以及数列求和的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题.12己知与的图象有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】依题意，方程有三个不相等的实根，令，利用导数研究函数的单调性及最值情况，再分类讨论得解.【详解】解：方程即为，则方程有三个不相等的实根，令得，且，函数在上单增，在上单减，故，且时，时，方程的两个根的情况是：（i）若，则与的图象有四个不同的公共点，不合题意；（ii）若且或，则与的图象有三个不同的公共点，令，则，此时另一根为，舍去；令，则，此时另一根为，舍去；（iii）若且，则与的图象有三个不同的公共点，令，则，解得.故选：C.【点睛】本题考查函数图像的交点与方程根的关系，考查分类讨论思想，旨在锻炼学生的推理论证能力，属于中档题.二、填空题13已知，则的值为_【答案】【解析】根据角的范围，先求出的值，然后用角变换可求解.【详解】由，所以 故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的关系和利用角变换求解三角函数值，属于中档题.14若实数，满足，且的最小值为1，则实数的值为_【答案】【解析】画出不等式组表示的可行域，根据目标函数得出取最优解时点的坐标，再根据分析列出含有参数的方程组，由最小值求出的值.【详解】解：不等式组表示的可行域如图所示：必有，；由图可得，当目标函数过点时，有最小值；，解得，故答案为：.【点睛】本题考查了约束条件中含有参数的线性规划问题，解题时应先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），解出代入目标式，即可求出参数的值.15已知函数，满足（，均为正实数），则的最小值为_【答案】【解析】通过题目发现，然后利用倒序相加法求出，将转化为，展开，利用基本不等式即可求得最值.【详解】解：，两式相加得：，故答案为：.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，关键是要发现以及倒序相加求和，难度不大.16设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且，点是坐标原点，则的面积为_【答案】【解析】由题意不妨设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，然后结合可得，结合方程的根与系数关系及向量的坐标表示可求，然后根据求面积即可.【详解】解：解：由题意不妨设直线的方程为，联立方程可得，设，则，即，故答案为：.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，解题的关键是坐标关系的应用，属于中档试题.三、解答题17在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（）求角C的大小；（）已知点P在边BC上，求的面积【答案】（）；（）【解析】（）由正弦定理可得，可得答案.|（）由条件为等边三角形，则，由余弦定理得，可得，从而得到三角形的面积.【详解】（），由正弦定理可得，又A是内角，（）根据题意，为等边三角形，又在中，由于余弦定理得，解得，的面积【点睛】本题考查正弦和余弦定理以及求三角形的面积，属于中档题.18已知等差数列的首项为1，公差为1，等差数列满足（1）求数列和数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】（1）由等差数列的通项公式及对数的运算可得数列的通项公式，根据条件中的递推式求出，利用它们成等差数列列方程求出，进而可得数列的通项公式；（2）利用错位相减法求数列的前项和.【详解】解：（1）由条件可知，.， ，.由题意为等差数列，解得，；（2）由（1）知，则-可得，.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，考查错位相减法求和，是基础题.192018年反映社会现实的电影我不是药神引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：研发费用（百万元）2361013151821销量（万盒）1122.53.53.54.56（1）求与的相关系数精确到0.01，并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：时，可用线性回归方程模型拟合）；（2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测第一次检测时，三类剂型，合格的概率分别为，第二次检测时，三类剂型，合格的概率分别为，两次检测过程相互独立，设经过两次检测后，三类剂型合格的种类数为，求的数学期望附：（1）相关系数（2），【答案】（1）0.98;可用线性回归模型拟合（2）【解析】（1）根据题目提供的数据求出，代入相关系数公式求出，根据的大小来确定结果；（2）求出药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次检测后，三类剂型合格的种类数为，服从二项分布，利用二项分布的期望公式求解即可.【详解】解：（1）由题意可知，由公式，与的关系可用线性回归模型拟合；（2）药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为，由题意， ，.【点睛】本题考查相关系数的求解，考查二项分布的期望，是中档题.20已知椭圆的离心率为，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，且的周长为12（）求椭圆的方程（）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，试判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，或【解析】（）由椭圆的离心率为和的周长为12可得，可求椭圆方程.（）的中点为,由条件有，即,设，用直线的斜率把表示出来，可求解其范围.【详解】（1）由题意可得，所以，所以椭圆的方程为.（2）直线的解析式为，设，的中点为假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则由得，故，所以，因为，所以，即，所以当时，所以；当时，所以综上：m取值范围是或.【点睛】本题考查由椭圆的几何性质求方程，满足条件的动点的坐标的范围的探索，属于难题.21已知函数，在区间有极值（1）求的取值范围；（2）证明：【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）在区间有极值转化为在区间上不是单调函数，利用导数，分类讨论，研究在1,2上的单调性即可；（2）将证明转化为证明.先证，然后再证，进而可得.【详解】解：（1）由 得，当即时，所以在1,2上单调递增，无极值；当即时，所以在1,2上单调递减，无极值；当即，由得；由得，所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意，；（2）要证成立，只需证成立，即证，先证：.设，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以，则，即，再证：.设，则.所以在上单调递增，则，即.因为，所以，由可，所以.【点睛】本题考查函数极值的存在性问题，考查函数不等式的证明，关键是要将问题进行转化，考查计算能力，是一道难度较大的题目.22在直角坐标系中，直线，圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积【答案】(1),；(2)【解析】试题分析：（1）将代入的直角坐标方程，化简得，；（2）将代入，得得， 所以，进而求得面积为.试题解析：（1）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为（2）将代入得得， 所以因为的半径为1，则的面积为【考点】坐标系与参数方程.23 已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1，2，求a的取值范围【答案】(1) x|x4或x1；(2) 3，0.【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并