2020届皖东县中联盟上学期高三期末考试数学（理）试题（解析版）

2020届安徽省皖东县中联盟上学期高三期末考试数学（理）试题一、单选题1已知是虚数单位，则（ ）ABCD【答案】A【解析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】.故选：A【点睛】本题考查了复数的除法运算，属于基础题.2已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】先分别求出集合，由此能求出.【详解】解：集合，故选：B.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，是基础题.3若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角的正弦即可求解.【详解】因为，所以为第二或第四象限的角；若为第二象限的角，则，；若为第四象限的角，则，.故.故选：B【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.4在内部任取一点，使得的面积与的面积的比值大于的概率为（ ）ABCD【答案】D【解析】首先确定点的位置，根据位置区域，利用几何概型中的面积型概率求解即可.【详解】如图取线段靠近点的三等分点，取线段靠近点的三等分点，连结，当点在线段上运动时，的面积与的面积的比值等于，当点在图中阴影部分运动时，的面积与的面积的比值大于，因为，且相似比为，故使得的面积与的面积的比值大于的概率，故选：D.【点睛】本题考查面积型几何概型，是基础题.5在等比数列中，前三项和，则公比（ ）A1或B1或C1或D1或【答案】C【解析】分类当符合题意，当时，可得和的方程组，解方程组即可.【详解】当时，各项均为，可得，符合题意；当时，解得，综上可得公比的值为：1或故选：C【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了分类讨论的思想，属于基础题.6执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A2B1C2D3【答案】D【解析】由题意，模拟执行程序，依次写出每次循环得到的，当时满足条件，退出循环，输出为3.【详解】由题意模拟执行程序时，第一次循环，此时不满足；第二次循环，此时不满足；第三次循环，此时不满足；第四次循环，此时满足；故选：D【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，读懂流程图是关键，属于基础题.7水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒，半径为3米，水车中心（即圆心）距水面1.5米.若以水面为轴，圆心到水面的垂线为轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点处开始计时，经过秒后转到点的位置，则点到水面的距离与时间的函数关系式为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意求出，再由三角函数的定义即可求解.【详解】由，解得， 设圆的圆心为，由，则， 由正弦函数的定义可得经过秒后转到点的位置，则点到水面的距离与时间的函数关系式为,故选：A【点睛】本题考查了三角函数的应用，需掌握三角函数的定义，属于基础题.8设，则（ ）ABCD【答案】C【解析】根据对数函数的单调性可得，再利用指数函数和幂函数的单调性知，从而比较出大小.【详解】；根据指数函数和幂函数的单调性知，故.故选：C【点睛】本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小，属于基础题.9五经是指：诗经尚书礼记周易春秋，记载了我国古代早期思想文化发展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置.学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共5本进行研读，若每人至少分一本，则5本书的分配方案种数是（ ）A360B240C150D90【答案】C【解析】分两步，第一步分类讨论，求出2人2本，1人1本和2人1本，1人3本的种数，第二步分配给3名学生，再由分步计数乘法原理得答案.【详解】先分堆再分配第一步分堆分两类和，则分堆方法有种；第二步分配给三名学生有种分法；由分步计数乘法原理得：种.故选：C.【点睛】本题考查分配问题，注意分两步，先分堆再分配的原则，是基础题.10如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部分是恰好与四面体四个面都相切的球；顶部为球，其直径与正四面体的棱长相等，若这样设计奖杯，则球与球的半径之比（ ）ABCD【答案】B【解析】设内切球的半径，正四面体的高为，利用等体积得，可得，由即可求出，进而求出比值.【详解】设内切球的半径，正四面体的高为，利用等体积得，所以，又，则，球的半径，所以.故选：B【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，需熟记公式，属于基础题.11已知圆：，直线：与轴，轴分别交于，两点.设圆上任意一点到直线的距离为，若取最大值时，的面积（ ）AB8C6D【答案】B【解析】直线：过定点，当时，圆心到直线的距离最大，求出最大距离以及，进而可得的面积.【详解】直线：过定点，圆：的圆心，半径，当时，圆心到直线的距离最大，即直线方程为，则，到直线的距离为，则到直线的最大距离，此时的面积，故选：B.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系问题，找到当时，圆心到直线的距离最大是关键，是中档题.12已知函数（），若不等式仅有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题意求出，令可得，讨论的取值范围，求出函数的单调区间，由题意有两个整数解为1，2，由，可得且，解不等式组即可.【详解】已知，则，即，当时，单调递减，时，单调递增，且，则有两个整数解为1，2，所以且，解得，故选：C.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.二、填空题13已知向量，满足，若，则与的夹角为_.【答案】【解析】根据向量的夹角公式计算即可.【详解】由知，又，即则，所以，故夹角为，故答案为：.【点睛】本题考查向量的模和夹角公式，是基础题.14一百馒头，一百和尚，大和尚每人每餐个馒头，小和尚每餐每人吃个馒头.若大和尚的人数用表示，则_.【答案】【解析】设大和尚有人，则，解方程即可.【详解】设大和尚有人，则，即，当时，与生活实际不符，所以，解得，即.故答案为：【点睛】本题考查了列方程求函数解析式，属于基础题.15已知双曲线：（，）的左，右焦点分别为，过右支上一点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若的最小值为，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】利用双曲线的定义，从而可得，利用点到直线的距离公式可得，由题意可得，进而求出离心率.【详解】由双曲线定义知，则，所以，过作双曲线一条渐近线的垂线垂足为，交右支于点，此时最小，且最小值为，易求焦点到渐近线的距离为，即，所以，即，可求离心率.故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的定义以及双曲线的几何性质，属于基础题.16已知数列的前项和满足：（），则数列中最大项等于_.【答案】【解析】利用得到，令，可得数列的通项公式，进而可得数列的通项公式，利用的正负来确定数列中最大项.【详解】因为，得时，两式相减得:，即：，令，又，数列是首项，公差为1的等差数列，则，所以，所以，故数列中且最大，故答案为: .【点睛】本题考查构造等差数列，利用递推式求通项公式，考查学生的观察能力和分析能力，对于数列最大或者最小项，可以通过的正负来寻找，是中档题.三、解答题17已知数列的前项和，满足，.（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）利用可得，再证明是定值即可；（2）将代入，然后利用裂项相消法求和.【详解】解：（1）由题可知，当时，得；当时，并整理，得，所以，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）知，则，所以，.【点睛】本题考查等比数列的证明以及裂项相消法求和，是中档题.18在中，角，的对边分别为，满足.（1）求的值；（2）若，则的面积的最大值.【答案】（1）（2）2【解析】（1）利用正弦定理，将边化为角，通过三角公式变形可得；（2）由（1）及余弦定理可得，代入三角形面积公式可得，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可求得最值.【详解】解：（1）由，得，由正弦定理知：，即，；（2）由余弦定理知，则；，即，解得，即的面积的最大值是2.【点睛】本题考查正弦定理余弦定理的应用，考查三角形的面积最值的求解，考查计算能力，是中档题19如图，多面体中，平面平面，四边形为平行四边形.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）先通过平面平面得到，再结合，可得平面，进而可得结论；（2）取的中点，的中点，连接，以点为坐标原点，分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，求这两个法向量的夹角即可得结果.【详解】解：（1）因为平面平面，交线为，又，所以平面，又，则平面，平面，所以，；（2）取的中点，的中点，连接，则平面，平面；以点为坐标原点，分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，已知，则，则，设平面的一个法向量，由得令，则，即；平面的一个法向量为；.所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线线垂直的证明以及空间向量发求面面角，考查学生计算能力以及空间想象能力，是中档题.20已知椭圆：（）的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，满足，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据题意求出，即可写出椭圆的标准方程. （2）当直线不存在斜率时，可求出四点，可验证；当直线存在斜率时，设直线方程为，将直线分别与椭圆方程、抛物线方程联立，利用弦长公式和焦点弦公式求出、，根据解方程即可.【详解】解：（1）由已知椭圆的离心率，得，则，故椭圆的标准方程为（2）当直线不存在斜率时，可求出，所以，不满足条件；当直线存在斜率时，设直线方程为，代入椭圆方程得：，恒成立，设，则将直线：，代入抛物线得，设，则，又因为，由得：，解得，所以直线的方程为.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式，考查了学生的计算能力，属于中档题.21为了鼓励职员工作热情，某公司对每位职员一年来的工作业绩按月进行考评打分；年终按照职员的月平均值评选公司最佳职员并给予相应奖励.已知职员一年来的工作业绩分数的茎叶图如图所示：（1）根据职员的业绩茎叶图求出他这一年的工作业绩的中位数和平均数；（2）若记职员的工作业绩的月平均数为.已知该公司还有6位职员的业绩在100以上，分别是，在这6人的业绩里随机抽取2个数据，求恰有1个数据满足（其中）的概率；由于职员的业绩高，被公司评为年度最佳职员，在公司年会上通过抽奖形式领取奖金.公司准备了9张卡片，其中有1张卡片上标注奖金为6千元，4张卡片的奖金为4千元，另外4张的奖金为2千元.规则是：获奖职员需要从9张卡片中随机抽出3张，这3张卡片上的金额数之和就是该职员所得奖金.记职员获得的奖金为（千元），求的分布列和期望.【答案】（1）中位数是；平均数是（2）详见解析【解析】（1）直接利用中位数和平均数的概念公式来计算即可；（2）找出符合条件的数据，利用古典概型公式求出概率即可.由题意知所有取值为：6，8，10，12，14，利用古典概型公式求出概率，进而可得分布列和期望.【详解】解：（1）由茎叶图可知，所求的中位数是；平均数是；（2）由（1）知，满足的有，所以，所求的概率；由题意知所有取值为：6，8，10，12，14则；.所以的分布列为68101214所以，期望（千元）.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查计算能力，是基础题.22已知函数.其中.（1）讨论函数的单调性；（2）函数在处存在极值1，且时，恒成立，求实数的最大整数.【答案】（1）当时，在上单调递增;当时，在上单调递减，在上单调递增（2）的最大整数为0.【解析】（1）求导，分，讨论的正负值，即函数的单调性；（2）先通过函数在处存在极值1，可求出，将恒成立，转化为，令，利用导数求的最小值.【详解】解：（1），当时，在上单调递增；当时，则时，在上单调递减；时，在上单调递增；综上，当时，在上单调递