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小题专题练(四)立体几何1下列命题中,正确的是()a有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱b侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥c侧面都是矩形的直四棱柱是长方体d棱台各侧棱的延长线交于一点2已知a(2,1,3),b(1,2,1),若a(ab),则实数的值为()a2bc.d23.如图所示,在正方体abcda1b1c1d1中,点e为棱bb1的中点,若用过点a,e,c1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为()4若圆锥的侧面展开图是圆心角为120、半径为1的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是()a43 b21 c53 d325已知向量m,n分别是直线l和平面的方向向量和法向量,若cosm,n,则l与所成的角为()a30 b60 c120 d1506某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()a. b. c. d.7在正三棱柱abca1b1c1中,ab4,点d在棱bb1上,若bd3,则ad与平面aa1c1c所成角的正切值为()a. b. c. d.8已知l,m,n为三条不重合的直线,为两个不同的平面,则()a若m,m,则b若lm,ln,m,n,则lc若l,m,ml,则md若mn,m,则n9如图甲所示,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由底面半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体当这个几何体如图乙水平放置时,液面高度为20 cm,当这个几何体如图丙水平放置时,液面高度为 28 cm,则这个简单几何体的总高度为()a29 cm b30 cm c32 cm d48 cm10长方体abcda1b1c1d1中,abbc1,bb1.设点a关于直线bd1的对称点为p,则p与c1两点之间的距离为()a1 b. c. d.11如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为_,几何体中最长棱的长是_第11题图第12题图12如图,已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为1,p是上底面a1b1c1d1内一动点,则三棱锥pabc的正视图与侧视图的面积的比为_,三棱锥pabc 的体积是_13已知正四棱柱的顶点在同一个球面上,且球的表面积为12,当正四棱柱的体积最大时,正四棱柱的高为_14正方体abcda1b1c1d1的棱长为2,点m为cc1的中点,点n为线段dd1上靠近d1的三等分点,平面bmn交aa1于点q,则线段aq的长为_15如图,在正方形abcd中,e,f分别为线段ad,bc上的点,abe20,cdf30.将abe绕直线be、cdf绕直线cd各自独立旋转一周,则在所有旋转过程中,直线ab与直线df所成角的最大值为_第15题图第16题图16如图,在四边形abcd中,cdbd,abd,abbd4,cd2,现将bcd沿bd折起,当二面角abdc的大小处于,的过程时,线段ac长度的最小值是_,最大值是_17已知abc在平面内,acb90,点p,papbpc7,ab10,ac6,则点p到平面的距离等于_,pc与平面pab所成角的正弦值为_小题专题练(四)1解析:选d.直棱柱的侧棱与底面垂直,底面形状不定,故选项a,c都不够准确;选项b中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明,故b不正确2解析:选d.由题意知a(ab)0,即a2ab0,所以1470,解得2.3解析:选c.如图,取dd1的中点f,连接af,fc1,则过点a,e,c1的平面即为面aec1f,所以剩余几何体的侧视图为选项c.4解析:选a.圆锥的侧面积12,圆锥的底面半径212,圆锥的底面积,圆锥的表面积侧面积底面积,所以这个圆锥的表面积与侧面积的比为43.5解析:选a.由于cosm,n,所以m,n120.所以直线l与所成的角为30.6解析:选b.由三视图得,该几何体是从四棱锥pabcd中挖去半个圆锥后剩余的部分,四棱锥的底面是以2为边长的正方形,高是2,圆锥的底面半径是1,高是2,则所求几何体的体积v222122.7.解析:选b.如图,可得()421252cos (为与的夹角),所以cos ,sin ,tan ,又因为be平面aa1c1c,所以所求角的正切值为.8解析:选a.由l,m,n为三条不重合的直线,为两个不同的平面知,在a中,若m,m,则由面面平行的判定定理得,故a正确;在b中,若lm,ln,m,n,则l与相交、平行或l,故b错误;在c中,若l,m,ml,则m与相交,故c错误;在d中,若mn,m,则n或n,故d错误故选a.9解析:选a.设这个简单几何体的总高度为h,图乙简单几何体上面没有充满水的高度为x,图丙简单几何体上面没有充满水的高度为y,则所以h29.10.解析:选a.将长方体中含有abd1的平面取出,过点a作ambd1,延长am,使mpam,则p是a关于bd1的对称点,如图所示,过p作pebc1,垂足为e,依题意ab1,ad1,bd12,abd160,bam30,pbe30,pe,be,所以pc11,故选a.11解析:由三视图可知,该几何体是棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中的三棱锥ma1b1n,如图所示,m是棱ab上靠近点a的一个三等分点,n是棱c1d1的中点,所以vma1b1n222.又a1b12,a1nb1n,a1m,b1m,mn,所以该几何体中最长棱的长是.答案:12解析:作三棱锥pabc的正视图时,点a的正投影是d,点p的正投影在c1d1上,因此三棱锥pabc正视图的面积s正12,作三棱锥pabc的侧视图时,点a的正投影是b,点p的正投影在c1b1上,因此三棱锥pabc的侧视图的面积s侧12,故s正s侧11,三棱锥pabc的体积vsabcaa1.答案:1113解析:设正四棱柱的底面边长为a,高为h,球的半径为r,由题意知4r212,所以r23,又2a2h2(2r)212,所以a26,所以正四棱柱的体积va2hh,则v6h2,由v0,得0h2,由v2,所以当h2时,正四棱柱的体积最大,vmax8.答案:214解析:如图所示,在线段dd1上靠近点d处取一点t,使得dt,因为n是线段dd1上靠近d1的三等分点,故d1n,故nt21,因为m为cc1的中点,故cm1,连接tc,由ntcm,且cmnt1,知四边形cmnt为平行四边形,故ctmn,同理在aa1上靠近a处取一点q,使得aq,连接bq,tq,则有bqctmn,故bq与mn共面,即q与q重合,故aq.答案:15解析:ab不动,因为abcd,故无论直线df运动到哪里,其与cd的夹角不变,与ab的夹角也不变为30.若df不动,ab转动,两者的夹角在旋转过程中先变小再变大,大小不超过固定时的夹角;当ab转动到bf的另一侧且与原始位置共面时,若df不动,可计算出两者的夹角是10,若df转动同一平面的另一边,此时两线的夹角为70,取到最大值因此,本题正确答案是70.答案:7016.解析:设二面角abdc的平面角为,如图,取bd的中点e,连接ae,则ae2.因为,所以2222222124400222cos()208cos ,因为,所以cos ,所以28,32,故线段ac长度的取值范围是2,4答案:2417.解析:如图所示,取ab的中点d,连接pd,cd,因为papb,所以pdab,又abc为直角三角形,所以adcd,又papc,所以apdcpd,所以cdpadp90,所以pddc.又abdcd,则pd,pd为点p到平面的距离,又pa7,ab10,所以ad5,pd2.法一:设点c到平面pab的距离为d,pc与平面pab所成角的大小为,由vpabcvcp
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