教案5_线性方程组.doc

第二章 线性方程组2.1 消元法解线性方程组求解线性方程组是线性代数最主要的任务。为了寻求出一般线性方程组的求解方法，并讨论解的存在性以及解的情况，本节我们主要讨论一般线性方程组的解法。一、 消元法实质引例：用消元法求解线性方程组： ()用消元法解题步骤如下： 步骤一：将方程组中(1)的倍加到(2)上，即 ，以消去，得： ()步骤二：将方程组中(3)的两边同乘，即 ，以解出，得：步骤三：将方程组中(4)的倍加到(1)上，即 ，以消去，再解出，得： () 显然，上述方程组() 、()、 ()均为同解方程组，从而()的解即为()的解。实质上，用消元法解线性方程组，就是对线性方程组作同解变换。而对线性方程组作同解变换只是使“未知量系数与常数项改变，而未知量符号不会变”。现将上述接题过程描述如下：简化阶梯矩阵阶梯矩阵还原为线性方程组为： 对应的同解方程为： 此即为线性方程组的解。用消元法解线性方程组实质是：对该方程组的增广矩阵反复施以初等行变换的过程。二、 线性方程组矩阵形式1、 矩阵形式由前面可知，由个线性方程构成元线性方程组如下：将上式写成矩阵形式： （此为线性方程组的矩阵形式）其中： 系数矩阵 未知量矩阵 常数项矩阵2、 增广矩阵增广矩阵由未知量系数与常数项构成的行列矩阵，称为线性方程组的增广矩阵，简记作：， 三、 线性方程组有解充要条件1、 消元法解线性方程组步骤具体步骤如下： 写出线性方程组的增广矩阵，将用初等行变换化为阶梯形矩阵； 将阶梯形矩阵继续用初等行变换化为简化阶梯形矩阵； 将简化阶梯形矩阵还原为线性方程组，从而写出同解方程，即可求出相应的解。例1： 解线性方程组 解：写出增广矩阵： ( )还原为线性方程组： ， 即为所求的唯一解。例2： 解线性方程组 解：写出增广矩阵： 将简化阶梯矩阵还原为线性方程组： 最后一个方程已化为“”，说明是“多余”的方程，不用再写出来了。 改写成如下形式： 说明，任意取定的值，就可以唯一确定对应的的值，得到一组解。因此，原方程组有无穷多组解。 此时我们称为自由未知量。可令 ，得一般解： （解不唯一）例3 ： 解线性方程组 解：写出增广矩阵：将简化阶梯矩阵还原为线性方程组：第三个方程为： ， 矛盾！ 说明原方程组有互相矛盾的地方，故原方程组无解。 分析例3发现： 系数矩阵秩 而增广矩阵的秩即：2、 线性方程组有解的充要条件一般线性方程组解有三种情况： 定理：线性方程组有解的充要条件是：系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即：且当 2.2 非齐次线性方程组一、 非齐次线性方程组1、 非齐次线性方程组由前面可知，由个线性方程构成元线性方程组如下： 也称此为非齐次线性方程组：即：。2、 非齐次线性方程组全部解求法当解非齐线性方程组遇到，此时原方程组有无穷多解的情况，必有自由未知量，可以根据题意合理设自由未知量，写出全部解。步骤如下： 将增广矩阵用初等行变换化为简化阶梯形矩阵； 判断非齐次线性方程组是否有无穷多解，即 将简化阶梯形矩阵还原为线性方程组，得到同解方程组； 写出其全部解。例1 ： 解线性方程组 解： 写出增广矩阵： 判断解的情况 原线性方程组有无穷多解。 还原线性方程组得同解方程将简化阶梯矩阵还原为线性方程组：得到同解方程为： ， 其中为自由未知量 写出全部解可令，故全部解为： 也可令，故全部解为： 学生自练3：讨论为何值时，线性方程组 有唯一解？无解？有无穷多解？当有无穷多解时，求出它的全部解。解：写出增广矩阵：判断： 当时，此时方程组有唯一解。 当时，此时方程组无解。 当时，此时方程组有无穷多解。 继续化简化阶梯形矩阵： 还原成对应方程组为： ， 其中为自由未知量可令，故原方程组的全部解为： 2.3 齐次线性方程组一、 齐次线性方程组当线性方程组的常数项均为零时即： 称为齐次线性方程组。 其矩阵形式为： 其增广矩阵： 即比只多一个元素全为“”的列，故它们的秩一定是相等的，即： 说明：齐次线性方程组一定有解（零解or非零解）！二、 齐次线性方程组非零解1、齐次线性方程组有非零解的充要条件 定理：系数矩阵的秩小于未知量的个数，即： 1、 齐次线性方程组非零解求法步骤如下：(1) 将系数矩阵用初等行变换化为简化阶梯形矩阵；(2) 判断齐次线性方程组是否有非零解，即(3) 将简化阶梯形矩阵还原为线性方程组，得到同解方程组；(4) 写出全部非零解。例1： 解齐次线性方程组： 。解： 对系数矩阵施以初等行变换，化为简化阶梯形矩阵 判断解情况 ， 齐次线性方程组有非零解，且含个“自由未知量”。 还原成方程组形式得到同解方程组 其中为自由未知量，可令 写出全部非零解则齐次方程组全部解为：学生自练4： 求齐次线性方程组 的非零解。解： 对系数矩阵施