数学北师大版九年级下册三角函数.docx

第一章：直角三角形的边角关系课题：1.1从梯子的倾斜程度谈起（1）课型：新授课 授课时间： 执笔：朱 青 审核： 审批：【学习目标】1、理解正切、正弦、余切、余弦的定义；2、会利用直角三角形的各边长求正切、正弦、余切、余弦函数值。【重难点预见】正切、正弦、余切、余弦的理解及应用。【学法指导】结合直角三角形的图形记忆三角函数的定义。【知识链接】自主学习：思考下列问题：问题一：下列两幅图中分别是那个梯子更陡？是你怎么判断的？A：肉眼观察；B：比值描述，A、B的方法那种判断更准确？ 问题二：当一个角一定的情况下，三角形两边的比值是否会变化？问题三：在问题一中的两幅图中可知，三角形两边的比值与梯子的陡峭程度有什么关系？ 合作探究：1、三角函数的定义：如图：在中，如果锐角A确定，那么的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做的 ，记作，即：；的邻边与对边的比叫做的 ，记作，即：；的对边与斜边的比叫做的 ，记作，即：；的邻边与斜边的比叫做的 ，记作，即：。锐角A的正切、余切、正弦、余弦都是的三角函数。2、三角函数值与梯子陡峭程度的关系：（1）的值越大，梯子 ；（2）的值越小，梯子 ；（3）的值越大，梯子 ；（4）的值越小，梯子 ；3、在在中， ， ， ， 。 展示提升：例1、在ABC中，C=90，BC=12cm，AB=20cm，求tanA、sinA、cosA、cotA、tanB、cotB、sinB、cosB的值。例2、已知：，为锐角，求的其它三个三角函数。例3、在ABC中，AB=AC，底边BC=12，求腰长及底角的全部三角函数值。【教学、学法指导】结合图形记定义【注意】1、在初中，正弦、余弦、正切、余切的定义都是在直角三角形中给出的，不能在任意三角形中套用定义。2、sinA、cosA、tanA、cotA分别表示正弦、余弦、正切、余切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin与A、cos与A、tan与A、cot与A的乘积。3、sinA、cosA、tanA、cotA是一个完整的符号，它表示的正弦、余弦、正切、余切，记号里习惯省去角的符号“”，但当角用三个大写字母或数字表示时，角的符号“”不能省略。例如：tanA，tanABC，tan1 都是正确的。4、正弦、余弦、正切、余切的本质是两条线段的比值，它只是数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，而与所在的直角三角形的大小和位置无关。课题：1.1从梯子的倾斜程度谈起（2） 课型：新授课 授课时间： 执笔：朱 青 审核： 审批：【学习目标】1、理解正切、正弦、余切、余弦的性质及其应用；2、会利用直角三角形的正切、正弦、余切、余弦的性质计算；【重难点预见】正切、正弦、余切、余弦的性质极其简单的计算。【自主学习】1、已知中，边是角A、B、C的对边，则 ， ， ， 。2、在中，则 ， ， ， 。3、在中，AB=AC=4，BC=6，则 ， ， ， 。【合作探究】（一）思考下列问题：如图，在中， ， ， ， ，思考：（1）当A为锐角时，sinA和cosA的取值范围是 （2）（3）有什么关系？什么关系？（3）；是否相等？总结：三角函数的性质：（1） ；（即同一个锐角的正、余弦平方和为1）（2）当时，（即当余弦不为0时，同一个锐角的正弦比余弦等于正切或）（3）当，则 ； （即如果两角互余，则其中一个角的正弦与另一个角的余弦值相等，一个角的正切与另一个角的余切值相等，或表示成：；）【展示提升】例1、填空：在中，AC=4，则BC= ；在中，AB=41，则 ；3 ；若，则 ， ， 。若，则 ， 。例2、已知是锐角，且，则求。例3、若锐角A满足，则求。例4、当m为何值时，方程（m+15）x2-（3m+5）x+12=0的两根分别是一个直角三形两锐角的正弦。【教学、学法指导】课题：1.2 角的三角函数值 课型：新授课 授课时间： 执笔：朱 青 审核： 审批：【学习目标】1、能求的三角函数值；2、能利用三角函数的值，求特殊角的度数。【重难点预见】三角函数和其他根式、负指数、0指数的混合运算。【自主学习】1、在中，cosA=0.8746，则sinB= 。2、在RtABC中，tanA=，sinB= 。3、已知，求。【合作探究】（一）如图，已知在中，求的三角函数值并完成下表： 角三角函数（二）计算：1、2、3、 4、【展示提升】例1、计算、化简：(2-) 2-3-(+)0-cos60例2、在ABC中，均为锐角，且，试判断ABC的形状。例3、请设计一种方案计算tan15的值。【教学、学法指导】特殊角的三角函数值的记忆方法：1、图形记忆法2、增减规律记忆法第一节第三节 习题课一、选择题：1、在ABC中，已知AC=3，BC=4，AB=5，那么下列结论正确的是( )A.sinA= B.cosA= C.tanA= D.cosB=2、如图，在ABC中，C=90，sinA=，则等于( )A. B. C. D.3、在RtABC中，C=90，已知cosA=，那么tanA等于( )A. B. C. D.4、在ABC中，C=90，BC=5，AB=13，则sinA的值是（ ）A B C D5、已知甲、乙两坡的坡角分别为、，若甲坡比乙坡更徒些，则下列结论正确的是( )A.tantan B.sinsin C.coscos6、如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA的是( )A. B. C. D.7、某人沿倾斜角为的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是( )m。A. B.100sin C. D. 100cos8、若A+B=90，则的值等于_A1 B C D89、若三角形三个内角的比是1：2：3，则它们正弦值的比为_A1： B1：2 C1：2 D：210、若是锐角，那么sin+cos的值_A大于1 B等于1 C小于1 D不能确定11、在ABC中，C=90，CDAB于D，则sinB=_A B C D12、在ABC中，C=90，a=8，b=15，sinA+sinB+sinC等于_A B C D13、当锐角A45时，sinA的值是_A小于 B大于 C小于 D大于14、在ABC中，若sinA-1+，则C的度数是_A75 B60 C45 D3015、为锐角，且关于x的方程，有两个相等的实根，则=_A60 B45 C30 D30或6016、若是锐角，sincos=p，则sin+cos的值是_A1+2p B C1-2p D二、填空题1、在ABC中，C=90，AC=2，BC=1，那么cosB=_2、等腰三角形底边长是10，周长是40，则其底角的正弦值是_3、若某人沿坡度i3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高_米。4、如图，菱形的两条对角线分别是16和12，较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为，则tan_5、在RtABC中，C=90，AB=3，BC=1，则tanA=_6、在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，则tanA=_7、在ABC中，AB=AC=3，BC=4，则tanC=_8、在RtABC中， C=90，tanA=，则sinB=_，tanB=_ _9、在RtABC中，C=90，AB=41，sinA=，则AC=_，BC=_10、在ABC中，AB=AC=10，sinC=，则BC=_11、(1+sin30-cos45)(1+sin30+cos45)= _12、设直角三角形的两条直角边的比为5：12，则较大锐角的正弦值等于_13、若cosB=，则锐角B=_度；已知cosA=，则锐角A=_14、在ABC中，C=90，若cosA=，则sinA=_15、在ABC中，C=90，3a=，则sinA=_16、计算：sin60cos45=_；=_17、在ABC中，C=90，a=8，b=，则sinA+sinB+sinC=_18、在ABC中，AB=1，AC=，BC=1，则sinA=_，A=_19、已知在ABC中，C=90，且2BC=AC，那么sinA=_20、按从小到大的顺序排列cos3714、cos812、cos5317的结果是_三、解答题：1、计算：cos45-cos60+sin60cos302、AD是RtABC斜边BC上的高，若 BD2，DC8，求tanC的值。3、在RtABC中，C90，若，求，。4、在等腰三角形ABC中，AB=AC5，BC=6，求sinB，cosB，tanB。5、如图，在菱形ABCD中，AEBC于E，EC=1，tanB=，求菱形的边长和四边形AECD的周长。6、在ABC中，C=90，若tanA=，求sinA、cosA的值。7、如图ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cosDAC。（1）求证：AC=BD；（2）若sinC=，BC=12，求AD的长。8、如图，ACBC，cosADC，B30AD10，求 BD的长。9、如图，在于点D，AD4， 、的值。10、在，斜边，两直角边的长是关于的一元二次方程的两个根，求较小锐角的正弦值。课题：1.4船有触礁的危险吗 课型：新授课 授课时间： 执笔：朱 青 审核： 审批：【学习目标】1、利用三角函数解决有关航海问题；2、利用三角函数解决有关建筑物的宽度、高度等问题；【重难点预见】应用题中对题目的分析及对三角函数知识的应用。【自主学习】1、在中，cosA=，则= 。2、ABC中，设，则ABC为 三角形。3、计算：铅垂线视线仰角俯角水平线视线【合作探究】一、几个相关概念：1、仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。2、俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角。3、方位角：目标方向线与指南或指北的方向所成的锐角称为方位角。4、坡角：坡面与水平方向所成的锐角，称为坡角。5、坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比）。用字母i表示坡度；即为坡角的正切值。i例如，1、有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m，那么山坡的坡度i(即tan)就是: 2、如图，某人从山脚下的点A走了130m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为50m，求山的坡度。【展示提升】例1、如图，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A点测得某岛C在北偏东方向上，航行半小时后到B点，测得该小岛在北偏东方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁。（1）试说明B点是否在暗礁区域内？（2）若继续向东航行，船有无触礁危险？请说明理由。（）例2、如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60，那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果带根号)。例3、如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得ABC=45，ACB=30，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。（）【教学、学法指导】三角函数解决实际问题：1.一般步骤：（1）弄清题意，画出示意图；（2）选择合适的三角函数解题。2.主要类型：（1）已知两边，求其他边和角；（2）已知一边一角，求其他边和角。课题：1.5测量物体的高度 课型：新授课 授课时间： 执笔：朱 青 审核： 审批：【学习目标】1、测量底部可以到达的物体的高度；2、测量底部不可以到达的物体的高度；【重难点预见】测量底部不可以到达的物体的高度时的步骤和计算。【自主学习】1、仰角与俯角：2、直角三角形的边角关系：， ， 3、在高为的山坡上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为，则用表示这个建筑物的高度为 【合作探究】1、下表是小明同学填写活动报告的部分内容:课题在两岸近似平行的河段上测量河宽测量目标图示测得数据CAD=60，AB=30m，CBD=45，BDC=90请你根据以上的条件，计算出河宽CD(结果保留根号)。2、如图，AB和CD是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45，楼底D的俯角为30求楼CD的高(结果保留根号)。36A30BD45C【展示提升】例1、如图：一只船以每小时20千米的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60，2小时后，船在C处看见这个灯塔在船的北偏东45，求灯塔B到船的航海线AC的距离。例2、如图，小山上有一座铁塔AB，在D处测得点A的仰角为ADC=60，点B的仰角为BDC=45；在E处测得A的仰角为E=30，并测得DE=90米，求小山高BC和铁塔高AB。例3、如图，青岛位于北纬364，通过计算可以求得：在冬至日正午时分的太阳入射角为 3030，因此，在规划建设楼高为20米的小区时，两楼间的距离最小为_米，才能保证不挡光？（结果保留四个有效数字）（提示：tan30300.5890，cot30301.698）【教学、学法指导】第四节第五节 习题课1、如图，从山顶A望地面C、D两点，它们的俯角分别为、，若测得CD = 100米，求AB的高度。 A C D B2、如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成45夹角，且DB6m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?3、如图，某货船以20海里时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货。此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里时的速度由A向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响。(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由。(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：1.4，1.7)4、有一拦水坝是等腰楼形，它的上底是6米，下底是10米，高为2米，求此拦水坝斜坡的坡度和坡角。5、如图,太阳光线与地面成60角,一棵大树倾斜后与地面成30角, 这时测得大树在地面上的影长约为10米，求大树的长(精确到0.1米)。6、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN=30，点A处有一所学校，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN的方向行驶时，学校是否会受到噪声影响?请说明理由。7、某市为促进本地经济发展，计划修建跨河大桥，需要测出河的宽度AB，在河边一座高度为300米的山顶观测点D处测得点A，点B的俯角分别为=30，=60，求河的宽度。课题：本章回顾 课型：复习 课 授课时间： 执笔：朱 青 审核： 审批：【学习目标】1、掌握直角三角形的边角关系等概念；2、熟练应用相关知识，解决应用问题。【重难点预见】三角函数的定义，应用问题的解决方法与步骤。【自主学习】1、直角三角的边角关系（1）直角三角形三边的关系: 勾股定理a2+b2=c2（2）直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数， ， （3）互余两角之间的三角函数关系:当A+B=90时，sinA=cosB，tanA=cotB。（4）同角之间的三角函数关系：sin2A+cos2A=12、特殊角300，450，600角的三角函数值： 角三角函数【合作探究】1.在RtABC中，C=90，a，b，c分别是A，B，C的对边。(1)已知a=3，b=3，求A； (2)已知c=8，b=4，求a及A；(3)已知c=8，A=45，求a及b。2.计算:(1)sin45-cos60+tan60 3.已知cosA=0.6，求sinA，tanA。4.如图，甲，乙两楼相距30m，甲楼高40m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为30，乙楼有多高?【展示提升】例1、如图，水库大坝的横断面积是梯形，坝顶宽是，坝高为，斜坡的坡度为，斜坡的坡度为i=1：2，求斜坡的坡角，坝度宽和斜坡的长。例2、如图，大楼高30m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60，爬到楼顶D处测得塔顶的仰角为30，求塔高BC及大楼与塔之间的距离AC(结果精确到0.01m，).【教学、学法指导】九年级数学解直角三角形测试题 一、选择题(41040分)1、在中，C=90，AC=4，BC=3，的值为（ ）A、 B、 C、 D、2、已知A +B = 90，且=，则的值为（ ）A、 B、 C、 D、3、在菱形ABCD中，ABC=60 ， AC=4，则BD的长是（ ）A、 B、 C、 D、4、在中，C=90 ，=3，AC=10，则SABC 等于（ ）A、