江苏省常州市武进区2013届高三上学期期中考试数学文试卷.doc

武进区教育学会20122013学年度第一学期期中高三文科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知集合，则集合= 2已知向量，则向量与的夹角为 3设直线是曲线上的一条切线，则切线斜率最小时对应的倾斜角为 4的周期是 5公比为的等比数列的各项都是正数，且，则 6若实数满足，则= 7已知向量满足，.若与垂直，则 8一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上.如果正四棱柱的底面边长为，那么该棱柱的表面积为 9等差数列中，已知，则的取值范围是 10已知A、B、C是直线l上的三点，向量满足，则函数的表达式为 11已知，若实数满足则的最小值为 12过点C(2，5)且与轴，轴都相切的两个圆的半径分别为，则= 13给出以下命题： （1）在ABC中，是的必要不充分条件；（2）在ABC中，若，则ABC一定为锐角三角形；（3）函数与函数是同一个函数；（4）函数的图象可以由函数的图象按向量平移得到.则其中正确命题的序号是 （把所有正确的命题序号都填上）14数列满足，则的前项和为 二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分14分）设函数.图像的一条对称轴是直线（1）求函数的解析式；（2）若，试求的值.16（本题满分14分）长方体中， ，、分别是和的中点，求证：（1）；（2）面.17（本题满分14分） 已知，其中是自然常数， (1)当时，求的单调区间和极值； (2)若恒成立，求的取值范围.18（本题满分16分）已知曲线C：. （1）证明：不论取何实数，曲线C必过定点； （2）当时，若曲线C与直线相切，求的值.； （3）对所有的且，是否存在直线与曲线C总相切？如果存在，求出的方程；如果不存在，请说明理由.19（本题满分16分）各项均为正数的数列中，前项和.(1)求数列的通项公式；（2）若恒成立，求k的取值范围；(3)对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.20（本题满分16分）设函数是奇函数，且当时，取得极小值.（1）求函数的解析式；（2）求使得方程仅有整数根的所有正实数的值；（3）设，（），求的最大值武进区20122013学年度第一学期期中调研测试高三文科数学试题评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13（2）、（3） 14420 二、解答题：（本大题共6道题，计90分）15（本小题满分14分）解：（1）是函数的图象的对称轴，2分， 4分故 6分（2）因为，所以， 8分故 11分而.所以，. 14分16（本题满分14分）证明： 取中点，连接、.、分别是和的中点，2分，四边形是平行四边形，5分又，. 7分， ， 10分又长方体，12分又，面.14分17（本题满分14分）解：(1) 2分当时，此时为单调递减；当时，此时为单调递增. 4分当的极小值为，无极大值6分（2）法一：，在上恒成立，即在上恒成立，8分令，10分令，则，当时，此时为单调递增，当时，此时为单调递减， 12分，. 14分法二：由条件：在上恒成立令， 8分时，恒成立，在上递减，；由条件知 与矛盾. 10分时，令，当时，此时为单调递增，当时，此时为单调递减， 12分即. 14分18（本题满分16分）解：(1)证明:曲线C的方程可变形为，由， 2分解得，点满足C的方程，故曲线C过定点. 4分(2)原方程配方得;由于，所以，所以C的方程表示圆心是，半径是的圆. 6分由题意得圆心到直线距离， 8分，解得. 10分（3）法一：由（2）知曲线C表示圆设圆心坐标为，则有，消去得，故圆心必在直线上.又曲线C过定点，所以存在直线与曲线C总相切， 12分直线过点且与直线垂直；方程为即. 16分法二：假设存在直线满足条件，显然不垂直于轴，设，圆心到直线距离， 对所有的且都成立，12分即恒成立 存在直线：即与曲线C总相切. 16分19（本题满分16分）解：(1) ，两式相减得， 2分整理得， 数列的各项均为正数，是公差为的等差数列， 4分又得，. 5分（2）由题意得， 8分 10分 (3)对任意，则，而，由题意可知， 12分于是 ， 即. 16分20（本题满分16分）解：（1）为奇函数， 2分又由及，得， ； 4分 当时，当时，在时取得极小值，为所求 5分（2）方程化简得： ，因为方程仅有整数解，故为整数，又由及知，. 7分又，故为16的正约数， 9分所以，进而得到. 10分（3）因为是偶函数，所以只要