数学人教版九年级上册垂径定理.doc

人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径（1）教案民权县城关镇第二初级中学：杨翠萍教学目标：1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；2、在研究过程中，进一步体验“实验归纳猜测证明”的方法；3、让学生感受到“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法教学重点：垂径定理的掌握及运用.教学难点：垂径定理的探索和证明教学方法：自主探究-合作交流-问题驱动式教学教学用具：圆规，三角尺，ppt课件课时设计： 第一课时教学过程：一、 创设情境：问题：你知道赵州桥吗？这是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？学习了今天的这节课，你就知道该怎么做了。二、互动新授探究1 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（学生操作讨论，小组交流，代表发言）归纳1：（1）圆是轴对称图形。（2）对称轴是过圆心的直线（或任何一条直径所在的直线）（3）圆的对称轴有无穷多条【探究2】如图,AB是O的一条弦, 直径CDAB, 垂足为E.（1）这个图形是轴对称图形吗？若是，那么它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧? 为什么?（学生操作讨论，小组交流，代表发言）分析：连结OA、OBOAOBAOB为等腰三角形 直径CDAB直径CD所在直线既是等腰AOB的对称轴又是O的对称轴，因此把圆沿着直径CD所在直线对折时CD两侧的部分可以完全重合。AE与BE重合、即AE=BE，由此可得，用一句话总结你的发现：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧归纳2：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧这是圆中最重要的性质定理：“垂径定理”符号语言： CD是直径，CDAB AE=BE, 老师提示：垂径定理是圆中一个重要的性质定理，注意垂径定理适用的条件。深化：下列图形是否具备垂径定理的条件？ 否 否 是 是 否垂径定理的几个基本图形： CD是直径、AB是弦 AE=BE CDAB 三、应用提高中答：1、如图若CDAB, CD是直径, 则 、 、 口答2：如图，AB是O的直径，CD为弦，CDAB于E，则下列结论中不成立的是（ ）A、COE=DOEB、CE=DEC、OE=AED例1：如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6cm,求AB的长。解：连接OA， OEAB AB=2AE=16cm变式：如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。解：过点O作OEAB于E，连接OA即O的半径为5cm.反思：在 O中，若 O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中，任意知道两个量，可根据垂径定理构造直角三角形求出第三个量。过圆心做弦的垂线来构造直角三角形，这是一条非常重要的辅助线做法。圆心到弦的距离、半径、弦的一半构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。例2、现在你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?分析：解决此问题关键是把实际问题转化为数学问题。解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为r，经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高. AB=37.4m，CD=7.2m AD= AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2解得r27.9（m）即主桥拱半径约为27.9m.练一练：垂径定理在实际生活中的应用1、如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”用几何语言可表述为：CD为O的直径，弦ABCD于点E，若CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长解：连结AO， CD为O的直径，ABCD，AB=10， AE=AB=5，设半径长为x，则OA=x，OE= 直径CD=2=26 答：直径CD的长为26寸2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：ACBD证明：作OEAB于EAE=BE CE=DE AE-CE=BE-DEAC=BD四、课堂小结：这节课你有哪些收获？教师引导学生回顾，思考交流，教师重点关注。1、圆的轴对称性。2、用垂径定理解决一些有关计算或证明问题。过渡语：同学们，你能运用今天所学的知识作对今