数学人教版八年级上册14.2.1 平方差公式.doc

课题14.2.1平方差公式（第1课时）上课时间2016年11月16日课型新授课授课教师抚顺市40中学 高慧一、内容和内容解析内容平方差公式内容解析某些具有特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式。当遇到特殊形式的多项式相乘时，可以直接运用公式写出结果。平方差公式是多项式的乘法公式的一种。平方差公式也是因式分解中公式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用。平方差公式中的符号表示和语言表述揭示了公式的结构特征。平方差公式的得出，以多项式乘法与合并同类项的知识为基础，从一般形式的整式乘法运算到对特殊形式的乘法运算概括出乘法公式，体现了一般到特殊的思想方法。探索平方差公式过程，从具体的具有特殊形式的几组多项式乘法的运算结果中，通过观察、比较、抽象概括出一般的形式，并通过符号推理获得公式的符号表示及语言表述，体现了从具体到抽象地研究问题方法。二、目标和目标解析目标【知识与能力】（1）经历探索平方差公式的过程，熟悉平方差公式；（2）能说出平方差公式的结果特征，会用平方差公式进行简单运算；（3）会推导、验证平方差公式，感知数学结合思想，能灵活运用平方差公式进行运算。【过程与方法】通过创设问题情景，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用。培养学生建模能力，抽象思维能力，感悟换元变换的思想，在运用公式解决实际问题的过程中培养学生的化归思想，从而提高学生灵活运用公式的能力。【情感态度与价值观】让学生感受数学既来源于生活又应用于生活，学习是有价值的学习。培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的意识。【基本活动经验】学生经历：猜想验证用数学符号表示解决问题这一数学活动过程，累计数学活动经验，感受主动探究问题的乐趣.目标解析学生知道由多项式乘法到平方差公式是一般到特殊的过程，能根据多项式的乘法法则推导出平方差公式，理解平方差公式的基本结构与特征，会用符号表示公式，能用文字语言表述公式内容，在字母表示具体的数、单项式、多项式、时能正确地运用公式进行计算。学生在探索平方差公式的过程中，能够体验到由具体到抽象的过程可以更好地发现公式、体会和理解公式；再利用几何图形的面积验证共识的过程中，了解验证平方差公式的具体方法 ，感知数形结合的思想。三、教学问题诊断分析由于公式中的a、b本身可能为负数，而且a、b可以是具体的数、单项式、多项式等，情况比较复杂，这对于初次接触平方差公式的学生来说，找准哪个数或式相当于公式中的“第一个数”a，哪个数或式相当于公式中的“第二个数”b，有时会有困难。作为平方差公式的应用，教科书引入对两个数乘积简捷计算，将两个因数分解成两个数的和与这两个数的差，而且这两个数的平方容易计算是解题的关键，这一内容对一部分学生来说，也有一定的难度。解决上述两个问题的关键是理解平方差公式的结构特征，解决问题时要回到公式本身上来。四、重点和难点重点经历探索并归纳平方差公式的过程，并能熟练运用公式进行简单的运算。难点明确公式的结构特征及对公式的变式运用。五、教法和学法教法启发式，探究式相结合学法自主探究体会换元思想、化归思想，合作交流六、教学辅助手段根据本节课的实际教学需要，我选择多媒体PPT课件、小视频、手工纸等教具、学具等进行辅助教学，激发学生学习兴趣，加深学生对知识理解和掌握.七、教学过程教学内容教师活动预设学生行为设计意图【创设情境、导入新课】师生共同观看小视频速算王PK大赛提问：同学们，你知道他是如何计算的吗？你想不想掌握他的简便、快速的运算招数呢？播放视频，激发学生学习欲望学生看视频，思考通过观看视频，情境创设，引发学生学习的兴趣，同时激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课。【探索新知，尝试发现】问题： （1）请看大屏幕，选择两个你喜欢的式子；请写出这两个数的和，再写出这两个数的差。这两个式子是多项式还是单项式？（2）请将所得的和与差相乘并化简；教师发出指令引导学生操作教师重点关注：提出题后，学生是否积极思考学生独立思考.学生动手操作演算、思考、表达让学生运用前面已掌握的三个乘法法则，自己动手演算，积极思考，尝试数学表述，为后面的抽象概括做好准备。【总结归纳，发现新知】教师叫三或四个学生板演不同的操作演算形式并提出问题（1）你能将发现的规律用式子表示出来吗？（2）你能对发现的规律进行推导吗？（3）你能用一句话概括出你所发现的规律吗?【剖析公式，发现本质】平方差公式的结构特征：1左边为两数的和乘以两数的差，即在左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项(a与a)完全相同，另一项(b与-b)互为相反数。右边为这两个数的平方差即完全相同的项的平方减去符号相反项的平方。2公式中的a,b不仅可以表示具体的数字，还可以是单项式，多项式等代数式。教师引导学生比较、分析几种形式的异同式子的左边具有什么共同特征？它们的结果有什么特征？指导学生发现公式的结构特征学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：学生比较分析几种形式的异同，归纳总结其共性通过几个不同刺激模式，由特殊到一般，通过引导，与学生共同抽象概括出平方差公式，发挥教师的主导作用，学生的主体作用，培养学生抽象概括能力。鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织与表达能力通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果。【巩固运用，内化新知】问题1下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ) （1）(x+1)(1+x) （2）(a+b)(b-a) （3）(-a+b)(a-b) （4）(x2-y)(x+y2) （5）(-a-b)(a-b) （6）(c2-d2)(d2+c2) 教师引导学生以数的眼光去看式子，进行分析讲解学生思考识别解决问题，回答问题1. 根据变式理论，设计了不同形式类型的典型例题，强化平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性。2.这组练习主要是要考察学生有没有掌握平方差公式的结构。【例题解析，巩固新知】问题2 运用平方差公式计算： (3x+2)(3x-2) (2) (-x+2y)(-x-2y)分析：引导学生识别出它们都是两个数的和与这两个数的差的乘积的形式。（1）教师板书，解决书写操作层面问题，提议用不同方法计算，体现学生的创造性。（2）指导学生独立完成，提议用不同方法计算，体现学生的创造性。（1）与老师共同完成解答过程，注意书写和易错点。(2)学生独立完成，可选择不同解题方法。学生代表板书。学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件巩固平方差公式，进一步体会字母a、b可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解。观察体会与公式的对应关系。【拓展应用，强化思维】问题3：填表（详见学案）问题4你出题，我来做同桌间每人利用平方差公式出一道题，然后交换解答，找出对方做错的地方，并通过互助共同解决问题问题5计算(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5); 问题6速算王的秘密（1）10298（2）1001999教师引导学生完成问题的解答分析讲解3）题中指导学生用不同方法改正，体现学生的创造性。提出问题，给学生更大的学习空间教师巡视观察进行个别辅导速算王的秘密正是利用了“平方差公式”这一数学工具。教师揭秘解惑。 口答完成学生思考，回答，寻找不同的方法改正。合作交流学生自己思考做题学生体验当“速算王”的感觉对学生常出现的错误，作具体的分析，以加深学生对公式的理解，进一步掌握平方差公式的本质特征和运用平方差公式必须具备的条件调动学生积极性的同时激发学生思维创造的火花，把课堂学习气氛推向高潮。问题6是平方差公式与一般多项式乘法的综合，注意不能用公式的仍按多项式乘法法则进行问题7把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，此题体现了转化的思想和数式通性；【数形结合，几何说理】问题7：在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下的面积如何表示？提示：a2-b2与(a+b)(a-b)都可表示该图形的面积。问题8：有一位狡猾的地主, 把一块边长为a 米的正方形土地租给李老汉种植.今年,他对李老汉说:“我把你这块地一边增加4米,另一边减少4米,继续租给你,你也没有吃亏,你看如何?”李老汉一听,觉得好象没有吃亏,就答应了.同学们,你们觉得李老汉有没有吃亏?教师引导分析讲解演示教师引导分析讲解演示学生观察思考领悟动手操作小组合作学生听讲思考观察通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系引导学生学会从多角度、多方面来思考问题运用平方差公式解决实际问题，体现了数学来源于生活，服务于生活，学生感受到学习了有用的数学，设计此题与平方差【总结概括，自我评价】本节课同学们有什么收获？教师认真听取学生的小结，帮助学生完善小结的内容.学生积极动脑，回忆本节课的学习内容，说出收获.帮助学生梳理本节课的内容，再次温故本节课的重点知识.【布置作业】布置作业.完成作业.巩固新知识.【课后作业】教师布置课后巩固作业.学生在课后能够积极、认真的完成，并且在遇到困难时寻求同伴的帮助.给学生设置一个课后作业，对于有能力的学生起到了因材施教的作用.