线性代数2013-2014第一学期试卷A答案.pdf

1 浙浙 江江 工工 业业 大大 学学 线线 性性 代代 数数 期期 末末 试试 卷卷 答答 案案 A 2013 2014 第第 一一 学学 期期 任课教师任课教师 学院学院 班级班级 编号编号 学号学号 姓名姓名 得分得分 题号题号 一一 二二 三三 四四 得分得分 一一 填空题填空题 每每空空 3 分分 共共 30 分分 1 设 T 1 0 1 1 1 3 则 3 4412 000 4412 2 在多项式 111 211 1 2 xx xf中 x 的一次项系数为 1 3 设 310 110 002 A 则 A 的伴随矩阵 A 220 260 002 4 若向量组 321 可以由向量组 21 线性表示 则向量组 321 一定线性 相 关 5 若方阵 k11 112 101 与 000 010 001 等价 则 k 2 6 设3元非齐次线性方程组b b AX的通解是 TT cX 3 2 1 2 1 1 c为任意常数 系数矩 阵 A 的秩是 2 非齐次线性方程组b b2 AX的通解是 X 2 2 4 T c 1 2 3 T c为任意常数 7 在三维向量空间R3中 向量 T 1 0 2 在基 T 4 2 1 1 T 1 1 1 2 T 8 3 1 3 下的坐标是 2 1 1 8 已知 321 与 321 是三维向量空间R3的两组基 若 3211 322 3 本题得分 2 213 则由基 1 2 3 到基 1 2 3 的过渡矩阵是 011 131 101 9 已知三阶方阵 A B 相似 若 A 的特征值为 1 2 3 则 2 1 BA T 27 二二 单项选择题单项选择题 每小题每小题 2 分分 共共 10 分分 1 设 321 A是 3 阶方阵 则A C A 133221 B 133221 C 21321 2 D 21321 2 设 A B 是 n 阶方阵 则以下结论正确的是 C A OAOAB 或OB B 0 AOA C 00 AAB或0 B D 1 AEA 3 如果向量组 s 21 的秩为 r 则下列命题错误 的是 C A 向量组中存在1 r个向量线性无关 B 向量组中存在 r 个向量线性无关 C 向量组中任意1 r个向量都线性相关 D 向量组中任意1 r个向量都线性相关 4 设 A 为秩是 r 的nm 矩阵 非齐次线性方程组bAX 有解的充分条件是 A A mr B nm C nr D nm 5 设 A 是 4 阶实对称矩阵 且满足OAA 2 若3 AR 则 A 相似于 D A 0000 0100 0010 0001 B 0000 0100 0010 0001 C 0000 0100 0010 0001 D 0000 0100 0010 0001 本题得分 3 三三 计算题计算题 共共 50 分分 1 8 分 已知四阶行列式 8118 4114 2112 4321 D 计算 14131211 AAAA 其中 ij A表示对应元素的代数余子式 解 14131211 AAAA 8118 4114 2112 1111 72 2 10 分 已知 202 030 102 A 000 010 001 B 且满足XBABAX22 求矩阵 X 解 由题意 得 2 2 EABXEA 则 2 2 1 EABEAX 又 002 010 100 2EA 000 010 100 2 EAB 所以 100 010 000 X 1 2 3 4 5 本题总得分本题总得分 4 3 10 分 求向量组 T 3 0 2 1 1 T 6 3 5 2 2 T 0 3 1 0 3 T 7 4 1 2 4 的一个极大线性无关组 并将余下的向量用该极大线性无关组表示 解 因为 7063 4330 1152 2021 4321 0000 1000 0110 0201 r 所以 421 为极大无关组 且 213 2 4 10 分 当 取何值时 线性方程组 2 321 321 321 2 3 xxx xxx xxx 有唯一解 无解 有无穷多解 在有无穷多解的情况下 求出其通解 解 记方程组的系数矩阵为 A 因为 11 11 13 A 2 1 2 所以当0 A时 即1 且2 2 时 原方程组有唯一解 当1 时 0 1 2 000 010 101 1 1 2 111 111 141 r bA 此时方程组有无穷多解 其通解是 1 0 1 0 1 2 1 CX 其中 1 C为任意常数 当2 时 0 2 2 000 110 101 4 2 2 211 121 112 r bA 此时方程组有无穷多解 其 通解是 5 1 1 1 0 2 2 2 CX 其中 2 C为任意常数 当2 时 4 2 2 211 121 152 bA 1 2 4 000 110 211 r 因为 2 3 ARbAR 所以此时无解 5 12 分 设 1 1 1 为方阵 b aA 24 13 115 的一个特征向量 1 求常数 a b 及 对应的特征值 2 矩阵 A 可否相似对角化 若可以 将矩阵 A 相似对角化 若不可以 说明理由 解 1 设 对应的特征值是 则有 A 即 24 13 115 b a 解此方程组 得 3 a 1 b 1 2 因为 23 124 113 115 2 EA 所以得3 1 2 32 若 A 可相似对角化 则2 32 应有 2 个线性无关的特征向量 而 124 113 113 EA 的秩为 2 所以齐次线性方程组 XEA的基础解系只包含一个解向量 6 故对应2 32 的线性无关的特征向量只有一个 因此 A 不可对角化 四四 证明题证明题 每小题每小题 5 分分 共共 10 分分 1 设 n 阶方阵 A 满足OEA 3 2 证明 EA2 可逆 证明 由题意 得 EEA 4 2 即 EEAEA 2 2 所以EA2 可逆 2 设 m 321 m 312 121 mm 其中1 m 证明 向量组 m 21 与向量组 m 21 的秩相等 证明 方法一 由题意 得 1 2121mm m 所以 1 21 1 1 m m 2 21 2 1 m m m m m m 1 21 因此向量组 m 21 与向量组 m 21 等价 故两向量组的秩相等 方法二 1 2 本题总得分本题总得分 7 0