浙江省2019年专升本高等数学考试真题卷及参考答案.pdf

第 1 页 共 11 页 浙江省浙江省 20192019 年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试 高等数学高等数学 请考生按规定用笔将所有试题答案涂 写在答题卡上请考生按规定用笔将所有试题答案涂 写在答题卡上 选择题部分选择题部分 注意事项 注意事项 1 答题前答题前 考生务必将自己的姓名考生务必将自己的姓名 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在 答题纸规定的位置上答题纸规定的位置上 2 每小题选出答案后 用每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题纸上对应的题目的答案标号涂黑 如需铅笔把答题纸上对应的题目的答案标号涂黑 如需 改动用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 不能答在试题卷上 改动用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 不能答在试题卷上 一 一 选择题 本大题共选择题 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 20 分 在每小题给出的四个选分 在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的 项中 只有一项是符合题目要求的 1 设 axn n lim 则说法不正确的是 A 对于正数 2 一定存在正整数 N 使得当Nn 时 都有2 n aX B 对于任意给定的无论多么小的正数 总存在整数N 使得Nn 时 不等 式 aXn成立 C 对于任意给定的a的邻域 aa 总存在正整数N 使得当Nn 时 所 有的点 N X都落在 aa 内 而只有有限个 至多只有N个 在这个区间外 D 可以存在某个小的整数 0 使得有无穷多个点 0 落在这个区间 00 aa 外 2 设在点 0 x的某领域内有定义 则在点 0 x处可导的一个充分条件是 A h xfhxf h 00 0 2 lim 存在 B h hxfxf 00 0h lim存在 C h hxfhxf 00 0h lim存在 D 00 1 limxf h xfh h 存在 第 2 页 共 11 页 3 n n nnn x sin1 2 sin1sin1 1 lim等于 A 1 0 sindxx B 1 0 sin1dxx C 1 0 sin1dxx D 1 0 sin1dxx 4 下列级数或广义积分发散的是 A 1 1 100 1 n n n B 1 2 cos n n C dx x 2 12 4 1 D dx x 1 2 2 1 1 5 微分方程044 yyy的通解为 A x ecxcxy 2 21 B x excxcxy 2 21 C x excxcxy 2 21 D x xexccxy 2 21 第 3 页 共 11 页 非选择题部分非选择题部分 注意事项 注意事项 1 用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上 不能答在试题卷上 用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上 不能答在试题卷上 2 在答题纸上作图在答题纸上作图 可先用可先用 2B 铅笔铅笔 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或确定后必须使用黑色字迹的签字笔或 钢笔填写钢笔填写 二 二 填空题 本大题共填空题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 40 分 分 6 极限 n n n 1 sin1lim 7 设一雪堆的高度h与时间t的关系为 2 100tth 则雪堆的高度在时空5 t 时的变化率等于 8 当a 时 极限 x x ea x x 3 0 1ln cos1 lim存在且不等于 0 9 设 ty tx cos sin 则 2 2 dx yd 10 设 dttxg x 2 0 sin 且当0 x时 xg与 n x是同阶无穷小 则 n 11 定积分 dxx 1 0 2 1 12 设函数 xyy 由方程0 xye yx 确定 则 dx dy 13 曲线 23 3xxxy 的拐点是 14 由曲线xy 1 x 2 x及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所围成 的旋转体体积 15 设 x y 2 3 则 n y 第 4 页 共 11 页 三 三 计算题 本大题共计算题 本大题共 8 小题 其中小题 其中 16 19 小题每小题小题每小题 7 分 分 20 23 小题每小小题每小题题 8 分 共分 共 60 分 计算题必须写出计算过程 只写答案不给分 分 计算题必须写出计算过程 只写答案不给分 16 极限 2 0 1ln lim x xx x 17 设 x xxxy cos2ln 求函数 xy在1 x处的微分 18 求不定积分dxx sin 19 设 2 2 0 cos xx xx xf 求 x dttfxp 0 在 0上的表达式 第 5 页 共 11 页 20 一物体由静止开始以速度 1 3 t t tv 米 秒 作直线运动 其中t表示运动 的时间 求物体运动到 8 秒时离开出发点的距离 21 问是否存在常数a使得函数 0 1 0 2 xe xax xf ax 在0 x处可导 若存在 求 出常数a 若不存在 请说明原因 22 求过点 2 0 1A且与两平面01 1 zyx 0 2 zx 都平行的直线的 方程 第 6 页 共 11 页 23 求幂级数 1 1 1 n n x n 的收敛区间及和函数 并计算级数 1 1 2 11 n n n 四 综合题 本大题共四 综合题 本大题共 3 题 每小题题 每小题 10 分 共分 共 30 分 分 24 设 xfy 是第一象限内连接点 4 0M 0 2N的一段连续曲线 yxP 为 该曲线上任意一点 点B为P在x轴上的投影 O为坐标原点 若梯形OBPM的 面积与曲边三角形BPM的面积之和等于另一曲线 324 4 xx y 在点 324 4 xx x处 的切线斜率 求曲线 xf的方程 注 曲边三角形BPM是指由直线段BP x轴 以及曲线段PN所围成的封闭图形 第 7 页 共 11 页 25 假设某公司生产某产品x千件的总成本是 2130122 23 xxxxc 万元 售出该产品x千件的收入是 xxr60 万元 为了使公司取得最大利润 问公 司应生产多少千件产品 注 利润等于收入减总成本 26 设 xf在 11 上具有二阶连续的导数 且 00 f 1 写出 xf的带拉格朗日型余项的一阶麦克劳林公式 2 设M m分别为 x f 在 11 上的最大值与最小值 证明 33 1 1 M dxxf m 3 证明 在 11 上至少存在一点 使得 1 1 3dxxff 第 8 页 共 11 页 浙江省 2019 年专升本高等数学试卷参考答案 一 选择题 每个小题给出的选项中 只有一项符合要求 本题共有 5 个小题 每小题 4 分 共 20 分 1 D 解析 根据极限的精确定义 若axn n lim 则对于 0 0 N 当Nn 时 axn 即只有有限个点落在区间 aa外 2 A 解析 本题考查可导的极限定义 B 答案 0h错误 改成0 h C 答案 h hxfhxf 00 0h lim存在 不能推出 h xfhxf 00 0h lim 和 h hxfxf lim 00 0h 存 在 因此不能推出 xf在 0 xx 处可导 D 答案和 B 答案类似 应改成 h 3 B 解析 根据定积分的定义 dxx nn i n i n 1 0 1 sin1 1 sin1lim 4 B 解析 A 答案为交错级数 根据莱布尼茨判别法可得 该级数收敛 B 答案根据常数 项级数发散的充分条件0coslim 2 n n 可得 C 答案为瑕积分 2 x为瑕点 dx x 2 12 4 1 3622 arcsin 2 1 x 收敛 D 答案为无穷积分 令txtan 4sec 1 1 1 2 0 2 0 22 dt t dx x 显然收敛 5 C 解析 其特征方程为044 2 rr 即2 r 所以通解为 x exccy 2 21 二 填空题 只须在横线上直接写出答案 不必写出计算过程 本题共有 10 个小题 每小 题 4 分 共 40 分 6 e解析 原式 ee n n n n n n n n 1 sinlim 1 sin 1 sin 1 1 sin1 lim 7 10 解析 导数定义可以看出导数反映了因变量随着自变量变化的快慢程度 瞬时速度 就是该时间点上的导数10 5 2 htth 8 1解析 x ea ea x x ea x x x x x x x x 2 lim 2 1 lim 1ln cos1 lim 0 3 2 0 3 0 因为极限存在且不 第 9 页 共 11 页 等于 0 且02lim 0 x x 所以0 lim 0 x x ea 解得1 a 9 t 3 sec 解析 t t t dt dx dt dy dx dy tan cos sin t t t dx yd 3 2 2 sec cos tan 10 3解析 由同阶无穷小定义 C nx x nx x x dtt x xg n x n x n x x n x 1 2 0 1 2 0 0 2 00 lim sin lim sin lim lim 又 CC且0 则3 21 nn 11 4 解析 原式 4 1 4 1 2 12 xe ey yx yx 解析 对已知方程两边同时求导 0 xyyxe yx 即0 1 xyyye yx 整理得 xe ey y yx yx 13 2 1 解析 066 xy所以1 x 当1 x时 0 y 当1 x时 0 y 所以在1 x处取得拐点 拐点为 2 1 14 2 3 解析 2 1 2 2 1 2 3 xdxdxxVx 15 nnx 2 3 ln32 解析 nxnx aaa ln 原式 nnx 2 3 ln32 三 计算题 本题共有 8 个小题 共 60 分 16 解 2 1 21 2 1 lim 1 2 1 1 lim 2 1 1 1 lim 1ln lim 000 2 0 xxx x x x x xx xxxx 17 解 xx exxy ln cos2ln 则 ln ln cos2 cos2 1 xxex x y xx ln1 sin cos2 1 xxx x x 1 1 x y dxdy x 1 18 解 令tx 则tdtdxtx2 2 ttdtdtttdttcos2sin22sin原式 CxxxCttttdttt sincos 2 sincos 2 coscos 2 第 10 页 共 11 页 19 解 当 2 0 x时 xttdtxp x x sinsincos 0 0 当 x 2 时 82 1 1 2 1 sincos 2 2 2 2 2 0 2 0 2 xtttdttdtxp x x 20 解 设距离为S 则根据运动学的知识 位移的导数为速度可得 dt t t S 8 0 1 3 令 2 1 1 2 ududtuttu 当0 t时 1 u 当8 t时 3 u 3 1 2 8 0 3 1 2 40 1 62 1 3 1 3 duuudu u u dt t t S 答 物体运动到 8 秒时离开出发点的距离为 40 米 21 解 若 xf在0 x处可导 则可导必连续 即 xf在0 x处连续 故 0 lim lim 00 fxfxf xx 解得0 a 此时 0 0 0 2 x xx xf 0lim 0 0 lim 0 2 00 x x x fxf f xx 0 0 lim 0 0 lim 0 00 xx fxf f xx xf 在0 x处可导 综上所述 0 a 22 解 设直线的方向向量为s 平面 1 的法向量为 1 1 1 1 n 平面 2 的法向量为 1 0 1 2 n 故由题意有 1 2 1 2121 nnsnsns 所以直线方程为 1 2 2 0 1 1 zyx 23 解 1 1 lim lim 1 1 x x n n x xu xu n n n n n n 所以收敛区间为 1 1 设和函数 1 1 1 n n x n xS 当0 x时 1ln 1 1 11111 00 1 1 1 x x dt tx dtt x x nx xS xx n nn n 当0 x时 1 0 S 0 1 1 0 0 1 1ln 1 x xx xxS 第 11 页 共 11 页 令 2 1 x 则2ln2 2 1 1 1 1 n n n 24 解 由题意可得 3 1 6 1 4 2 1 3 2 xdttfxxf x 对上式两边求导 可得 2 2 1 2 1 4 2 1 xxfxxfxf 即 x xxf x xf 4 1 4 4 4 2 11 CxxC x xxCe x xexf dx x dx x 25 解 设利润为 xf 则 0 2130122 60