2019年高考桂林市贺州市崇左市联合调研考试数学试卷(理科)试题及答案.pdf

数学试卷第页 共4 页 理科 一 选择题 本大题共1 2 小题 每小题5 分 共6 0 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设集合U 3 为全集 集合A x 2 x 2 则 UA A 1 2 B 3 1 2 C 3 1 2 D 1 2 2 已知复数z 3 2 i 则 2 3 i z A 1B 1 3C 1 3 1 3 D 1 3 3 以双曲线 x 2 8 y 2 1右焦点为圆心 且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 A x 3 2 y 2 1B x 3 2 y 2 1 C x 3 2 y 2 8D x 3 2 y 2 8 4 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积等于 A 1 0B 1 3 C 1 0 32D 1 6 25 5 某市气象部门根据2 0 1 8 年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值 单位 C 数据 绘制如下折线图 3 5 3 0 2 5 2 0 1 5 1 0 5 0 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 1 0 月 1 1 月 1 2 月 月份 各月最低气温平均值各月最高气温平均值 那么 下列叙述错误的是 A 各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关 B 全年中 2 月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大 绝密 启用前 数学试卷 理科 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需 改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 写在本试 卷上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 2 0 1 9 年高考桂林市贺州市 崇左市联合调研考试 第4 题图 正视图侧视图 俯视图 2 2 11 1 数学试卷第页 共4 页 理科 C 全年中各月最低气温平均值不高于1 0 的月份有5 个 D 从2 0 1 8 年7 月至1 2 月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势 6 x 1 1 x x 6 的展开式中的一次项系数是 A 2 0B 1 4C 2 0D 3 5 7 已知等比数列 a n的前n项和Sn 3 n 1 1 R 则 2 S 8 1 a 7 A 1 3 B 3C 6D 9 8 函数f x l n x 1 x 1 的大致图象为 y x O 1 y x O 1 1 O x y 1 O x y ABCD 9 已 知 定 义 在R上 的 奇 函 数f x 满 足f x 2 f 2 x 0 且 当x 2 0 时 f x l o g 2 x 3 a 若 f 9 2 f 7 1 则实数a A 4 3 B 3 4 C 4 3 D 3 4 1 0 已知函数f x s i n 2 x R 若f 3 x f x 且f f 2 则函数f x 取 得最大值时x的可能值为 A 6 B 5 C 3 D 2 1 1 2 0 1 8 年9 月2 4 日 英国数学家M F阿帝亚爵在 海德堡论坛 展示了他 证明 黎曼猜想的 过程 引起数学界震动 黎曼猜想来源于一些特殊数列求和 记无穷数列 1 n 2 的各项的和 S 1 1 2 2 1 3 2 1 n 2 那么下列结论正确的是 A 1 S 4 3 B 4 3 S 3 2 C 3 2 S 2D S 2 1 2 已知A B C为椭圆 x 2 2 y 2 1上三个不同的点 O为坐标原点 若 O A O B O C 0 则 A B C的面积为 A 33 8 B 6 3 C 36 4 D 36 2 二 填空题 本题共4 小题 每小题5 分 共2 0 分 1 3 已知 a 4 b 1 a b 2 则向量2 a b在b方向上的投影为 1 4 某校今年计划招聘女教师x 人 男教师y 人 若x y 满足 2 x y 5 x y 2 x 6 则该学校今年计划招 聘的教师人数最多为 1 5 在三棱锥A B C D中 A B A C D B D C A B D B 4 A B B D 则三棱锥A B C D外接球 的体积的最小值为 1 6 已知函数f x x 2 2 x x 0 l n x x 0 函数g x f x a a R有三个不同的零点x 1 x2 x3 则x 1x2x3的取值范围是 2 数学试卷第页 共4 页 理科 三 解答题 共7 0 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第1 7 2 1 题为 必考题 每个试题考生都必须作答 第2 2 2 3 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共6 0 分 1 7 本小题满分1 2 分 在 A B C中 a b c分别是角A B C所对的边 已知b 2 s i n B 且满足t a n A t a n C 2 s i n B c o s A 1 求角C 和边c的大小 2 求 A B C面积的最大值 1 8 本小题满分1 2 分 每年六 七月份 我国长江中下游地区进入持续2 5 天 左右的梅雨季节 如图是江南某地区2 0 0 9 2 0 1 8 年1 0 年 间梅雨季节的降雨量 单位 m m 的频率分布直方图 试用 样本频率估计总体概率 解答下列问题 1 假设每年的梅雨季节天气相互独立 求该地区未 来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过3 5 0m m的概 率 2 老李在该地区承包了2 0 亩土地种植杨梅 他过去种植的甲品种杨梅 平均每年的总利 润为2 8 万元 而乙品种杨梅的亩产量n k g 亩 与降雨量之间的关系如下面统计表所示 又知 乙品种杨梅的单位利润为3 2 0 0 1 n 元 k g 请你帮助老李分析 他来年应该种植哪个品种的杨 梅可以使总利润 万元 的期望更大 并说明理由 降雨量 亩产量 1 0 0 2 0 0 5 0 0 2 0 0 3 0 0 7 0 0 3 0 0 4 0 0 6 0 0 4 0 0 5 0 0 4 0 0 1 9 本小题满分1 2 分 已知三棱柱A B C A 1B1C1中 A C A A1 4 B C 2 A C B 9 0 A1B A C1 1 求证 平面A 1A C C1 平面A B C 2 若 A 1A C 6 0 P为线段A C上一点 且平面B A1P和平 面A 1A C C1所成角的余弦值为 3 4 求 A P P C的值 第1 9 题图 频率 组距 0 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 1 1 0 02 0 03 0 04 0 05 0 0 降雨量 3 数学试卷第页 共4 页 理科 2 0 本小题满分1 2 分 已知抛物线y 2 2 x 过点A 2 4 的直线l交抛物线于B C两点 设O为坐标原点 P m 0 m 0 且t a n P A O 2 2 1 1 求m的值 2 若 P A B P B C P A C的面积成等比数列 求直线l的方程 2 1 本小题满分1 2 分 已知函数f x x 2 x a 1 x a l n x R 1 求f x 的极值 2 若关于x的不等式f x 1在 1 e 上的解集非空 求实数a的取值范围 二 选考题 共1 0 分 请考生在第2 2 2 3 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题 计分 2 2 本小题满分1 0 分 选修4 4 极坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为 x 3 t y 7 3 t t 为参数 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极 轴建立极坐标系 曲线C的极坐标方程为 a 2s i n2 4 c o s2 2 a a 0 1 求曲线C的直角坐标方程 2 已知点P 0 4 直线l与曲线C交于M N两点 且 P M P N 1 4 求a的值 2 3 本小题满分1 0 分 选修4 5 不等式选讲 设函数f x x a 2 x 2 b 2 a b R 1 若a 1 b 0 求f x 2的解集 2 若f x的最小值为8 求a 2 b的最大值 4 理科数学试卷参考答案第页 共4 页 一 选择题 每题5 分 共6 0 分 评分说明 1 第一题选择题 选对得分 不选 错选或多选一律得0 分 2 第二题填空题 不给中间分 3 解答与证明题 本答案给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要考 查内容比照评分参考制订相应的评分细则 4 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度 可视影响的 程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后继部分的解答有较严重的 错误 就不再给分 5 解答右侧所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 6 只给整数分数 2 0 1 9 年高考桂林市贺州市 崇左市联合调研考试 理科数学参考答案及评分标准 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 D 5 D 6 C 7 D 8 A 9 C 1 0 A 1 1 C 1 2 C 二 填空题 每题5 分 共2 0 分 1 3 31 4 1 01 5 82 3 1 6 0 e 三 解答题 本大题共6 小题 共7 0 分 解答应给出文字说明 证明进程或演算步骤 1 7 解 1 t a n A t a n C 2 s i n B c o s A s i n A c o s A s i n C c o s C 2 s i n B c o s A 1 分 即 s i n A c o s C c o s A s i n C c o s A c o s C 2 s i n B c o s A s i n A C c o s A c o s C 2 s i n B c o s A A C B s i n B c o s A c o s C 2 s i n B c o s A 即 s i n B c o s C 2 s i n B 2 分 0 B s i n B 0 c o s C 1 2 0 C C 3 3 分 b 2 s i n B b s i n B 2 c s i n C b s i n B 2 5 分 c 2 s i n 3 6 2 综上可知 C 3 c 6 2 6 分 2 由 I 知C 3 c 6 2 由余弦定理得 c 2 a 2 b 2 2 a b c o s C 3 2 a 2 b 2 a b 2 a b a b a b 当且仅当a b时取等号 8 分 即a b 3 2 当且仅当a b 6 2 时 等号成立 9 分 A B C的面积S 1 2 a b s i n C 3 4a b 33 8 当且仅当a b 6 2 时 等号成立 1 1 分 A B C的面积S的最大值为 33 8 1 2 分 1 理科数学试卷参考答案第页 共4 页 1 8 解 1 频率分布直方图中第四组的频率为1 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 3 0 1 1 分 该地区在梅雨季节的降雨量超过3 5 0m m的概率为5 0 0 0 0 3 0 1 0 2 5 2 分 所以该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过3 5 0m m的概率为 C 2 3 1 4 2 1 1 4 C 3 3 1 4 3 9 6 4 1 6 4 5 3 2 或0 1 5 6 2 5 5 分 2 据题意 总利润为2 0 n 3 2 0 0 1 n 元 其中n 5 0 0 7 0 0 6 0 0 4 0 0 7 分 所以随机变量 万元 的分布列如下表 P 2 7 0 2 3 5 0 4 3 1 2 0 3 2 2 4 0 1 9 分 故总利润 万元 的期望 E 2 7 0 2 3 5 0 4 3 1 2 0 3 2 2 4 0 1 5 4 1 4 0 9 3 6 2 2 4 3 1 万元 1 1 分 因为3 1 2 8 所以老李应该种植乙品种杨梅可使总利润 万元 的期望更大 1 2 分 1 9 解 1 证明 连接A 1C 由题意知A1C1 A C A A1 C C1 四边形A 1A C C1是菱形 A1C A C1 1 分 又 A 1B A C1 A1B A1C A1 A C 1 平面A1C 2 分 A C B 9 0 A C B C 又 A C 1 A1C A B C 平面A 1A C C1 4 分 平面A 1A C C1 平面A B C 5 分 2 如图 以点C为原点 C A C B所在直线分别为x轴 y轴 平面 A 1A C C1上过点C垂直于A C的直线为z轴 建立空间直角坐标 系 设点P的坐标为 t 0 0 0 t 4 A 1 2 0 23 B 0 2 0 B P t 2 0 B A 1 2 2 23 6 分 设平面B A 1P的法向量为n x y z 则 B P n 0 B A 1 n 0 t x 2 y 0 2 x 2 y 23 z 0 令x 1 得y t 2 z t 2 23 即 n 1 t 2 t 2 23 是平面B A 1P的一个法向量 8 分 易知 平面A 1A C C1的一个法向量为m 0 1 0 9 分 c o s m n m n m n t 2 1 t 2 4 t 2 2 1 2 3 4 解得t 1或t 4 3 舍去 P的坐标为 1 0 0 P为A C上靠近点C的四等分点 1 1 分 故 A P P C 3 1 2 分 2 理科数学试卷参考答案第页 共4 页 2 0 解 1 据题直线A O A P斜率均存在 且k A O 2 kA P 4 m 2 1 分 t a n P A O t a n A P x A O P t a n A P x t a n A O P 1 t a n A P x t a n A O P k A P kA O 1 k A PkA O 4 m 2 2 1 4 m 2 2 2 2 1 3 分 另解 t a n P A O k A O kA P 1 k A O kA P 2 4 m 2 1 2 4 m 2 2 m m 1 0 2 2 1 3 分 故 m 1 2 4 分 2 由 1 知点P为抛物线的焦点 据题意 直线 的斜率存在且不为0 故可设直线 的方程为y 4 k x 2 k 0 由 y 4 k x 2 y 2 2 x k 2x2 4 k 2 8 k 2 x 2 k 4 2 0 5 分 设B x 1 y1 C x 2 y2 则有x 1 x 2 4 k 2 8 k 2 k 2 x 1x2 2 k 4 2 k 2 4 k 2 8 k 2 2 4 k 2 2 k 4 2 4 4 k 2 8 k 1 0 6 分 若 P A B P B C P A C的面积成等比数列 则 A B B C A C 成等比数列 A B B C B C A C 即 x 1 2 x 2 x1 x 2 x1 x 2 2 8 分 x 2 x1 2 5 x 2x1 2 x 2 x1 4 9 分 4 k 2 8 k 2 k 2 2 5 2 k 4 2 k 2 2 4 k 2 8 k 2 k 2 4 则9 k 2 8 k 1 0 1 0 分 解得 k 1或k 1 9 均满足 0 1 1 分 故直线 的方程为x y 2 0或x 9 y 3 8 0 1 2 分 2 1 解 1 函数f x 的定义域为 0 f x 1 a 1 x 2 a x x a 1 x 1 x 2 1 分 当a 1时 即a 1 0 f x 0 f x 在 0 上单调递增 f x 在 0 上无极值 2 分 当a 1时 即a 1 0 当x 0 a 1 时 f x 0 当x a 1 时 f x 0 当x a 1时 f x 在 0 上有极小值f a 1 a 1 a l n a 1 无极大值 4 分 故 当a 1时 f x 在 0 上无极值 当a 1时 f x 在 0 上有极小值f a 1 a 1 a l n a 1 无极大值 5 分 2 设g x x a 1 x a l n x 则 不等式f x 1在 1 e 上的解集非空 不等式g x 0在 1 e 上的解集非空 存在x 0 1 e 使g x 0 0 gm i n x 0 6 分 由 1 知g x x a 1 x 1 x 2 x 0 7 分 当a e 1时 即a 1 e 当x 1 e 时 g x 0 g x 在 1 e 单调递减 g m i n x g e e a 1 e a 0 即a e 2 1 e 1 8 分 3 理科数学试卷参考答案第页 共4 页 当a 0时 即a 1 1 当x 1 e 时 g x 0 g x 在 1 e 单调递增 g m i n x g 1 1 1 a 0 即a 2 9 分 当0 a e 1时 即1 a 1 e 当x 1 a 1 时 g x 0 当x a 1 e 时 g x 0 则g x 在 1 a 1 单调递减 在 a 1 e 单调递增 g m i n x g a 1 2 a a l n a 1 令h a 2 a a l n a 1 0 a e 1 h a 2 a 1 l n a 1 0 a e 1 1 a 1