甘肃省八年(2004年—2011年)高考数学试卷分类汇编及详.doc

甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 57 第九章第九章直线 平面和简单的几何体直线 平面和简单的几何体 考试内容考试内容 平面及其基本性质 平面图形直观图的画法 平行直线 直线和平面平行的判定与性质 直线和平面垂直的判定 三垂线定理及其逆定理 两个平面的位置关系 空间向量及其加法 减法与数乘 空间向量的坐标表示 空间向量的数量积 直线的方向向量 异面直线所成的角 异面直线的公垂线 异面直线的距离 直线和平面垂直的性质 平面的法向量 点到平面的距离 直线和平面所成的角 向 量在平面内的射影 平行平面的判定和性质 平行平面间的距离 二面角及其平面角 两个平面垂直的判 定和性质 多面体 正多面体 棱柱 棱锥 球 考试要求考试要求 1 理解平面的基本性质 会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图 能够 画出空间两条直线 直线和平面的各种位置关系的图形 能够根据图形想象它们的位置关 系 2 掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理 理解直线和平面垂直的概念 掌握 直线和平面垂直的判定定理 掌握三垂线定理及其逆定理 3 理解空间向量的概念 掌握空间向量的加法 减法和数乘 4 了解空间向量的基本定理 理解空间向量坐标的概念 掌握空间向量的坐标运 算 5 掌握空间向量的数量积的定义及其性质 掌握用直角坐标计算空间向量数量积的 公式 掌握空间两点间距离公式 6 理解直线的方向向量 平面的法向量 向量在平面内的射影等概念 7 掌握直线和直线 直线和平面 平面和平面所成的角 距离的概念 对于异面直 线的距离 只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质 定理掌握两个平面平行 垂直的判定定理和性质定理 8 了解多面体 凸多面体的概念 了解正多面体的概念 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 58 9 了解棱柱的概念 掌握棱柱的性质 会画直棱柱的直观图 10 了解棱锥的概念 掌握正棱锥的性质 会画正棱锥的直观图 11 了解球的概念 掌握球的性质 掌握球的表面积 体积公式 八年试题汇编八年试题汇编 一 选择题 共一 选择题 共 2222 题 题 1 1 2004 2004 年理年理 7 7 对于直线 m n 和平面 下面命题中的真命题是 A 如果 n 是异面直线 那么mnm n B 如果 n 是异面直线 那么相交mnm 与n C 如果 n 共面 那么mnm nm D 如果 n 共面 那么mnm nm 2 2 2005 2005 年理年理 1111 文文 11 11 不共面的四个定点到平面的距离都相等 这样的平面共有 A 3 个 B 4 个 C 6 个 D 7 个 解 共有 7 个 它们是由四个定点组成的四面体的三对异面直线间的公垂线的三个中垂面 四面体的四条高的四个中垂面 选 D 3 3 2006 2006 年理年理 7 7 如图 平面 平面 A B AB 与两平面 所成的角分别为 和 过 A B 分别作两平面交线的垂线 垂足为 4 6 A B 则 AB A B A 2 1 B 3 1 C 3 2 D 4 3 解析 连接 设 AB a 可得 AB 与平面所成的角为 在ABA B 和 4 BAB 同理可得 AB 与平面所成的角为 所以 2 2 Rt BABABa 中有 6 ABA 因此在 所以 1 2 A Aa 22 211 222 Rt AA BA Baaa 中 1 2 1 2 AB A Baa 故选 A A B A B 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 59 A B A B 本题主要考察直线与平面所成的角以及线面的垂直关系 要用到勾股定理及直角三角形中的 边角关系 有一定的难度 4 4 2006 2006 年文年文 7 7 如图 平面平面 与两平面 ABAB 所成的角分别为和 过 A B 分别作两平面交线的垂线 垂足为 4 6 若 AB 12 则 A B A B A 4 B 6 C 8 D 9 解析 连接 设 AB 12 可得 AB 与平面所成的角为 在ABA B 和 4 BAB 同理可得 AB 与平面所成的角为 所以 因 6 2Rt BABAB 中有 6 ABA 6A A 此在 故选 B 6Rt AA BA B 中 本题主要考察直线与平面所成的角以及线面的垂直关系 要用到勾股定理及直角三角形中的 边角关系 有一定的难度 5 5 2007 2007 年理年理 7 7 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等 则 AB1与侧面 ACC1A1所成角的正弦等于 A B C D 6 4 10 4 2 2 3 2 解 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等 取 A1C1的中点 D1 连接 BD1 AD1 B1AD1是 AB1与侧面 ACC1A1所成的角 选 11 3 6 2 sin 42 B AD A 6 6 2007 2007 年文年文 7 7 已知三棱锥的侧棱长的底面边长的 2 倍 则侧棱与底面所成角的余弦值 等于 A B C D 3 6 3 4 2 2 3 2 解 已知三棱锥的侧棱长的底面边长的 2 倍 设底面边长为 1 侧棱长为 2 连接顶点与底 面中心 则侧棱在底面上的射影长为 所以侧棱与底面所成角的余弦值等于 选 3 33 6 A 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 60 7 7 2008 2008 年理年理 10 10 已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等 是的中点 SABCD ESB 则所成的角的余弦值为 AESD A B C D 1 3 2 3 3 3 2 3 解析解析 连接 AC BD 交于 O 连接 OE 因 OE SD 所以 AEO 为所求 设侧棱长与底 面边长都等于 2 则在 AEO 中 OE 1 AO AE 23122 于是 答案答案 C 3 3 3 1 132 2 1 3 cos 222 AEO 8 8 2009 2009 年理年理 5 5 文文 5 5 已知正四棱柱中 为中点 1111 ABCDABC D 1 2AAAB E 1 AA 则异面直线与所成的角的余弦值为BE 1 CD A B C D 10 10 1 5 3 10 10 3 5 解解 令则 连 异面直线与所成的角即1AB 1 2AA 1 AB 1 C D 1 AB BE 1 CD 1 AB 与所成的角 在中由余弦定理易得 故选故选 C BE 1 ABE 1 3 10 cos 10 ABE 9 9 2010 2010 年文年文 8 8 已知三棱锥中 底面为边长等于 2 的等边三角形 SABC ABC 垂直于底面 3 那么直线与平面所成角的正弦值为SAABCSAABSBC A B C D 3 4 5 4 7 4 3 4 解析解析 D D 本题考查了立体几何的线与面 面与面位置关系及直线与平面所成角 本题考查了立体几何的线与面 面与面位置关系及直线与平面所成角 过过 A A 作作 AEAE 垂直于垂直于 BCBC 交交 BCBC 于于 E E 连结 连结 SESE 过 过 A A 作作 AFAF 垂直于垂直于 SESE 交交 SESE 于于 F F 连 连 BFBF 正三角形正三角形 ABCABC E E 为为 BCBC 中点 中点 BC AEBC AE SA BCSA BC BC BC 面面 SAESAE BC AFBC AF AF SEAF SE AF AF 面面 SBCSBC ABF ABF 为直线为直线 ABAB 与面与面 SBCSBC 所成角 由正三角形边长所成角 由正三角形边长 3 3 AS 3AS 3 SE SE AF AF 3AE 2 3 3 2 3 sin 4 ABF 10 10 2011 2011 年理年理 6 6 已知直二面角 点 A AC C 为垂足 B BD D 为垂足 若 AB 2 AC BD 1 则 D 到平面 ABC 的距离等于 A B C S E F 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 61 A B C D 1 2 3 3 3 6 3 思路点拨 本题关键是找出或做出点 D 到平面 ABC 的距离 DE 根据面面垂直的性质不难 证明平面 进而平面 ABC 所以过 D 作于 E 则 DE 就是要求AC 平平DEBC 的距离 精讲精析 选 C 如图 作于 E 由为直二面角 得DEBC l ACl 平面 进而 又 AC ACDE BCDE BCACC 于是平面 ABC 故 DE 为 D 到平面 ABC 的距离 DE 在中 利用等面积法得 Rt BCD 126 33 BDDC DE BC 1111 2011 2011 年文年文 8 8 已知直二面角 点 A AC C 为垂足 B BD D 为垂足 若 AB 2 AC BD 1 则 CD A 2 B C D 132 思路点拨 解决本题关键是找出此二面角的平面角 然后把要求的线段放在三角形中 求解即可 精讲精析 选 C 在平面内过 C 作 连接 BM 则四边形 CMBD 是平行四边形 CM BD 因为 所以 又 就是二面角BDl CMl ACl ACM 的平面角 l 90ACM 所以代入后不难求出 222222 ABAMMBACBDCD 2CD 12 201012 2010 年理年理 1111 文文 11 11 与正方体 ABCD A1B1C1D1的三条棱 AB CC1 A1D1所在直线 的距离相等的点 A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个 D 有无数个 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 62 13 200413 2004 年理年理 10 10 已知球的表面积为 20 球面上有 A B C 三点 如果 AB AC 2 BC 则球心到平面 ABC 的距离为 32 A 1 B C D 223 1414 2004 2004 年文年文 3 3 正三棱柱侧面的一条对角线长为 2 且与底面成 45 角 则此三棱柱的 体积为 A B C D 2 6 6 6 6 3 6 1515 2004 2004 年文年文 11 11 已知球的表面积为 20 球面上有 A B C 三点 如果 AB AC BC 2 则球心到平面 ABC 的距离为 3 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 63 A 1B C D 223 1616 2005 2005 年理年理 4 4 文文 4 4 设三棱柱的体积为 分别是侧棱 111 ABCABC VPQ 1 AA 上的点 且 则四棱锥的体积为 1 CC 1 PAQC BAPQC A B C D 1 6 V 1 4 V 1 3V 1 2 V 解 如图 11 1 111 1 1 1 3 AABCB A B CB AC QABC A B C VVVV AF QC1 111 B PCQAB CQAB PCA VVV APQC1 APQC 都是平行四边形 111 B PCQAB CQAB PCA VVV 1 2 11 B CQAB PCA VV 选 C 1 1 1 1 2 2 3 ABC A B C V 1 1 1 1 3 ABC A B C V 1717 2006 2006 年理年理 4 4 过球的一条半径的中点 作垂直于该半径的平面 则所得截面的面积与 球的表面积的比为 A B C D 3 16 9 16 3 8 9 32 解析 设球的半径为 R 过球的一条半径的中点 作垂直于该半径的平面 由勾股定理可得一 个半径为的圆 所以 故选 A 3 2 R 2 1 2 2 3 3 2 416 R S SR 本题主要考察截面的形状和球的表面积公式 难度中等 1818 2008 2008 年理年理 1212 文文 12 12 已知球的半径为 2 相互垂直的两个平面分别截球面得两个 圆 若两圆的公共弦长为 2 则两圆的圆心距等于 A 1 B C D 223 答案答案 C 解析解析 设两圆的圆心分别为 球心为 公共弦为 AB 其中点为 E 则 1 O 2 OO 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 64 为矩形 于是对角线 而 21EO OOOEOO 21 312 2222 AEOAOE 3 21 OO 高考考点高考考点 球的有关概念 两平面垂直的性质 1919 2008 2008 年文年文 8 8 正四棱锥的侧棱长为 侧棱与底面所成的角为 则该棱锥的32 60 体积为 A 3 B 6 C 9 D 18 答案答案 B 解析解析 高 又因底面正方形的对角线等于 底面积为360sin32 h32 体积6332 2 1 2 S636 3 1 V 备考提示备考提示 在底面积的计算时 要注意多思则少算 20 20 2010 2010 年理年理 9 9 已知正四棱锥中 那么当该棱锥的体积最大时 SABCD 2 3SA 它的高为 A 1 B C 2 D 33 21 200921 2009 年理年理 1212 文文 12 12 纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上 下 东 南 西 北 现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开 外面朝上展平 得到右侧的平面图形 则标 的面的方位是 A 南 B 北 C 西 D 下 答案 答案 B 解析 解析 此题用还原立体图方法直接得出结果 使上在正上方依次找此题用还原立体图方法直接得出结果 使上在正上方依次找 上东 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 65 到对应面即可 到对应面即可 2222 2011 2011 年理年理 1111 文文 12 12 已知平面 截一球面得圆 M 过圆心 M 且与 成二面角的 0 60 平面 截该球面得圆 N 若该球面的半径为 4 圆 M 的面积为 4 则圆 N 的面积为 A 7 B 9 C 11 D 13 思路点拨 做出如图所示的图示 问题即可解决 精讲精析 选 D 作示意图如 由圆 M 的面积为 4 易得 22 2 2 3MAOMOAMA 中 Rt OMN 30OMN 故 s303 ONOMin 所以圆 N 的面积为 13 2222 4 3 13NCOCON 二 填空题 共二 填空题 共 7 7 题 题 1 1 2011 2011 年文年文 15 15 已知正方体ABCD A1B1C1D4中 E 为C1 D1的中点 则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为 思路点拨 找出异面直线 AE 与 BC 所成的角是解本题的关键 只要在平面 A1B1C1D1内过 E 作及 B1C1的平行线即可 精讲精析 取 A1B1的中点 M 连接 EM AM AE 则就是异面直线 AE 与 BC 所 2 3 AEM 成的角 在中 AEM 22 2352 cos 2 2 33 AEM 2 2 2011 2011 年理年理 16 16 己知点 E F 分别在正方体ABCD A1B2C3D4的棱BB1 CC1上 且 B1E 2EB CF 2FC1 则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 思路点拨 本题应先找出两平面的交线 进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题 的关键 延长 EF 必与 BC 相交 交点为 P 则 AP 为面 AEF 与面 ABC 的交线 精讲精析 延长 EF 交 BC 的延长线于 P 则 AP 为面 AEF 与面 ABC 的交线 因为 2 3 所以为面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的平面角 90CAP FCA 2 2 3 tan 32 FC FCA CA 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 66 3 3 2006 2006 年文年文 14 14 圆是以为半径的球的小圆 若圆的面积和球的表面积 1 o RO 1 o 1 S O 的比为 则圆心到球心的距离与球半径的比 S1 2 9SS 1 o O1 OOR 解 设圆的半径为 r 则 由得 r R 3 1 O 1 S 2 r S 2 4 R 1 2 9SS 2 2 又 可得1 3 222 1 rOOR 1 OOR 4 4 2007 2007 年理年理 1515 文文 15 15 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上 如果正四 棱柱的底面边长为 1cm 那么该棱柱的表面积为 cm 2 解 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上 正四棱柱的对角线的长为球的 直径 现正四棱柱底面边长为 1cm 设正四棱柱的高为 h 2R 2 解得 222 11h h 那么该棱柱的表面积为 2 4cm2 22 5 5 2008 2008 年理年理 1616 文文 16 16 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个 如两组对 边分别平行 类似地 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件 充要条件 充要条件 写出你认为正确的两个充要条件 答案答案 两组相对侧面分别平行 一组相对侧面平行且全等 对角线交于一点 底面是平 行四边形 注 上面给出了四个充要条件 如果考生写出其他正确答案 同样给分 6 6 2008 2008 年理年理 1515 文文 16 16 设 OA 是球 O 的半径 M 是 OA 的中点 过 M 且与 OA 成 45 角 的平面截球 O 的表面得到圆 C 若圆 C 的面积等于 则球 O 的表面积等于 4 7 答案 答案 8 解析 本题考查立体几何球面知识 注意结合平面几何知识进行运算解析 本题考查立体几何球面知识 注意结合平面几何知识进行运算 设球半径为 圆的半径为 因为RCr 22 77 44 4rr 得由 由得 故球的表面积等于 22 224 R OCR 2222 217 484 RRrR 2 2R O 8 7 7 2010 2010 年理年理 1616 文文 16 16 已知球的半径为 4 圆与圆为该球的两个小圆 为OMNAB 圆与圆的公共弦 若 则两圆圆心的距离 MN4AB 3OMON MN 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 67 答案 3 命题意图 本试题主要考查球的截面圆的性质 解三角形问题 解析 设 E 为 AB 的中点 则 O E M N 四点共面 如图 4AB 所以 2 2 AB OER2 3 2 ME 3 由球的截面性质 有OMME ONNE 3OMON 所以MEO 与NEO 全等 所以 MN 被 OE 垂直平分 在直角三角形 中 由面积相等 可得 ME MO MN 23 OE 三 解答题 共三 解答题 共 8 8 题 题 1 1 2004 2004 年理年理 2020 文文 21 21 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 AB 8 AD 4 侧面 PAD 为等边三角形 并且与3 底面所成二面角为 60 求四棱锥 P ABCD 的体积 证明 PA BD 本小题主要考查棱锥的体积 二面角 异面直线所成的角等知识和空间想象能力 分析 问题能力 满分 12 分 解 如图 1 取 AD 的中点 E 连结 PE 则 PE AD 作 PO 平面在 ABCD 垂足为 O 连结 OE 根据三垂线定理的逆定理得 OE AD 所以 PEO 为侧面 PAD 与底面所成的二面角的平面角 由已知条件可知 PEO 60 PE 6 所以 PO 3 四棱锥 P ABCD 的体积3 VP ABCD 9633348 3 1 解法一 如图 1 以 O 为原点建立空间直角坐标系 通过计算可得 P 0 0 3 A 2 3 0 B 2 5 0 D 2 3 0 3333 所以 0 8 34 33 3 32 BDPA 因为 所以 PA BD 002424 BDPA 解法二 如图 2 连结 AO 延长 AO 交 BD 于点 F 通过计算可得 EO 3 AE 2 3 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 68 Z Z Y Y X X O O D D C C B B A A V V 又知 AD 4 AB 8 3 得 AB AD AE EO 所以 Rt AEO Rt BAD 得 EAO ABD 所以 EAO ADF 90 所以 AF BD 因为 直线 AF 为直线 PA 在平面 ABCD 内的身影 所以 PA BD 2 2 2005 2005 年理年理 1818 文文 19 19 如图 在四棱锥 V ABCD 中 底面 ABCD 是正方形 侧面 VAD 是正三角形 平面 VAD 底面 ABCD 证明 AB 平面 VAD 求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小 方法一 证明 ABAD AB ABABCD ADVADABCD 平面VAD平面ABC D 平面VAD 平面 平面平面 解 取 VD 的中点 E 连结 AE BE VAD 是正三角形 AE VD AF AD 3 2 AB 平面 VAD AB AE 又由三垂线定理知 BE VD 因此 是所求二面角的平面角AEB 于是 即得所求二面角的大小为 2 3 tan 3 AB AEB AE 2 3 arctan 3 方法二 以 D 为坐标原点 建立如图所示的坐标系 证明 不妨设 则 10 0A 110B 13 0 22 V 13 0100 22 ABVA 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 69 由 得0AB VA ABVA 又 因而与平面内两条相交直线都垂直 ABAD ABVADVAVD 平面AB VAD 解 设为中点 则EDV 13 0 44 E 333313 010 444422 EAEBDV 由 得 又0EB DV EBDV EADV 因此 是所求二面角的平面角 AEB 21 cos 7 EA EB EAEB EAEB 解得所求二面角的大小为 21 cos 7 arc 3 3 2006 2006 年理年理 1919 文文 20 20 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB BC D E 分别为 BB1 AC1的中点 证明 ED 为异面直线 BB1与 AC1的公垂线 设 AA1 AC AB 求二面角 A1 AD C1的大小 2 解法一 设 O 为 AC 中点 连接 EO BO 则 EOC1C 又 C1CB1B 所以 1 2 EODB EOBD 为平行四边形 ED OB 2 分 AB BC BO AC 又平面 ABC 平面 ACC1A1 BO 面 ABC 故 BO 平面 ACC1A1 ED 平面 ACC1A1 BD AC1 ED CC1 ED BB1 ED 为异面直线 AC1与 BB1的公垂线 6 分 连接 A1E 由 AA1 AC AB 可知 A1ACC1为正方形 2 A1E AC1 又由 ED 平面 ACC1A1和 ED 平面 ADC1知平面 ADC1 平面 A1ACC1 A1E 平面 ADC1 作 EF AD 垂足为 F 连接 A1F 则 A1F AD A1FE 为二面角 A1 AD C1的平面角 A BC D E A1 B1 C1 A BC D E A1 B1 C1 O F 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 70 不妨设 AA1 2 则 AC 2 AB ED OB 1 EF 2 AE ED AD 2 3 tan A1FE A1FE 60 3 所以二面角 A1 AD C1为 60 12 分 解法二 如图 建立直角坐标系 O xyz 其中原点 O 为 AC 的中点 设 A a 0 0 B 0 b 0 B1 0 b 2c 则 C a 0 0 C1 a 0 2c E 0 0 c D 0 b c 3 分 0 b 0 0 0 2c ED BB 1 0 ED BB1 EDBB 1 又 2a 0 2c AC 1 0 ED AC1 6 分 EDAC 1 所以 ED 是异面直线 BB1与 AC1的公垂线 不妨设 A 1 0 0 则 B 0 1 0 C 1 0 0 A1 1 0 2 1 1 0 1 1 0 0 0 2 BCAB AA 1 0 0 即 BC AB BC AA1 又 AB AA1 A BC ABBCAA 1 BC 平面 A1AD 又 E 0 0 1 D 0 1 1 C 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 ECAEED 0 0 即 EC AE EC ED 又 AE ED E EC AEEC ED EC 面 C1AD 10 分 cos 即得和的夹角为 60 ECBC 1 2ECBC 所以二面角 A1 AD C1为 60 12 分 4 4 2007 2007 年理年理 1919 文文 20 20 如图 在四棱锥 S ABCD 中 底面 ABCD 为正方形 侧棱 SD 底面 ABCD E F 分别是 AB SC 的中点 1 求证 EF 平面 SAD A B C D P E F A B C D E A1 B1 C1 O z x y 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 71 2 设 SD 2CD 求二面角 A EF D 的大小 解法一 1 作交于点 则为的中点 FGDC SDGGSD 连结 又 1 2 AGFGCD CDAB 故为平行四边形 FGAEAEFG 又平面平面 EFAG AG SADEF SAD 所以平面 EF SAD 2 不妨设 则为等2DC 42SDDGADG 腰直角三角形 取中点 连结 则 AGHDHDHAG 又平面 所以 而 AB SADABDH ABAGA 所以面 DH AEF 取中点 连结 则 EFMMHHMEF 连结 则 DMDMEF 故为二面角的平面角DMH AEFD 2 tan2 1 DH DMH HM 所以二面角的大小为 AEFD arctan2 解法二 1 如图 建立空间直角坐标系 Dxyz 设 则 0 0 0 0 A aSb 0 00 B aaCa 00 22 2 aa b E aF 0 2 b EFa 取的中点 则 SD0 0 2 b G 0 2 b AGa 平面平面 EFAGEFAGAG SADEF SAD 所以平面 EF SAD A A EB C F S D G M y z x 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 72 2 不妨设 则 10 0 A 11 110 010 0 0 2 1001 22 BCSEF 中点EF 1 1 1111 101 0 2 2 2222 MMDEFMD EFMDEF 又 1 00 2 EA 0EA EFEAEF 所以向量和的夹角等于二面角的平面角 MD EA AEFD 3 cos 3 MD EA MD EA MD EA 所以二面角的大小为 AEFD 3 arccos 3 5 5 2008 2008 年理年理 1919 文文 20 20 如图 正四棱柱中 1111 ABCDABC D 点在上且 1 24AAAB E 1 CCECEC3 1 证明 平面 1 AC BED 求二面角的大小 1 ADEB 解法一 依题设知 2AB 1CE 连结交于点 则 ACBDFBDAC 由三垂线定理知 3 分 1 BDAC 在平面内 连结交于点 1 ACAEF 1 ACG 由于 1 2 2 AAAC FCCE 故 1 RtRtA ACFCE 1 AACCFE 与互余 CFE 1 FCA 于是 1 ACEF 与平面内两条相交直线都垂直 1 ACBEDBDEF 所以平面 6 分 1 AC BED A B CD E A1 B1 C1 D1 A B C D E A1 B1 C1 D1 F H G 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 73 作 垂足为 连结 由三垂线定理知 GHDE H 1 AH 1 AHDE 故是二面角的平面角 8 分 1 AHG 1 ADEB 22 3EFCFCE 2 3 CECF CG EF 22 3 3 EGCECG 1 3 EG EF 12 315 EFFD GH DE 又 22 11 2 6ACAAAC 11 5 6 3 AGACCG 1 1 tan5 5 AG AHG HG 所以二面角的大小为 12 分 1 ADEB arctan5 5 解法二 以为坐标原点 射线为轴的正半轴 DDAx 建立如图所示直角坐标系 Dxyz 依题设 1 2 2 0 0 2 0 0 21 2 0 4 BCEA 0 21 2 2 0 DEDB 3 分 11 2 24 2 0 4 ACDA 因为 1 0AC DB 1 0AC DE 故 1 ACBD 1 ACDE 又 DBDED 所以平面 6 分 1 AC DBE 设向量是平面的法向量 则 xyz n 1 DAE DE n 1 DA n 故 20yz 240 xz 令 则 9 分1y 2z 4x 412 n A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 74 等于二面角的平面角 1 AC n 1 ADEB 1 1 1 14 cos 42 AC AC AC n n n 所以二面角的大小为 12 分 1 ADEB 14 arccos 42 6 6 2009 2009 年理年理 1818 文文 19 19 如图 直三棱柱中 分别为 111 ABCABC ABAC D E 的中点 平面 w w w k s 5 u c o m 1 AA 1 BCDE 1 BCC I 证明 ABAC II 设二面角为 60 求与平面所成的ABDC 1 BCBCD 角的大小 I 分析一分析一 连结 BE 为直三棱柱 111 ABCABC 1 90 B BC 为的中点 又平面 E 1 BCBEEC DE 1 BCC 射影相等的两条斜线段相等 而平面BDDC DA ABC 相等的斜线段的射影相等 ABAC 分析二分析二 取的中点 证四边形为平行四边形 进BCFAFED 而证 得也可 AFDEAFBC ABAC 分析三分析三 利用空间向量的方法 以 A 为坐标原点 射线 AB 为 x 轴的正半轴 建立如图所 示的直角坐标系 A xyz 设 B 1 0 0 C 0 b 0 D 0 0 c 则 1 0 2c E c 1 B 1 22 b 于是 0 1 b 0 由 DE 平面知 DE BC DE 1 22 b BC 1 BCC 0 求得 b 1 所以 AB AC DE BC II 分析一分析一 求与平面所成的线面角 只需求点到面的距离即可 1 BCBCD 1 BBDC 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 75 作于 连 则 为二面角的平面角 AGBD GGCGCBD AGC ABDC 不妨设 则 在中 由60AGC 2 3AC 2 4AGGC RT ABD 易得 AD ABBD AG 6AD 设点到面的距离为 与平面 1 BBDCh 1 BC 所成的角为 利用BCD 可求得 又 1 11 33 B BCBCD SDESh h 2 3 可求得 1 4 3BC 1 1 sin30 2 h BC 即与平面所成的角为 1 BCBCD30 分析二分析二 作出与平面所成的角再行求解 如图可证得 所 1 BCBCDBCAFED 面 以面 由分析一易知 四边形为正方形 连 AFEDBDC 面AFEDAEDF 并设交点为 则 为在面内的射影 OEOBDC 面OC ECBDC 以下略 ECO 即为所求 分析三 分析三 利用空间向量的方法求出面的法向量 则与平面所成的角BDCn 1 BCBCD 即为与法向量的夹角的余角 1 BC n 1 2 1 0 2 1 1 2 AC AB1AA2x x AGBDG AG x1 CAABBCGCGBD AC CGA60tan AG 12 3 AA2 2 AAB AC AA 2 BD 1 0BC 1 1 0 2 nx CGA x x x 解 设 作于则 依题意有面 连 则 所以 由得 解得所以 以为坐标原点 分别为x y z轴正方向 建系 则 设 1 2 n BDxz0 y z 2 n BCxy0 n 1 1 2 CB1 12 且 取又 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 76 总之在目前 立体几何中的两种主要的处理方法 传统方法与向量的方法仍处于各自 半壁江山的状况 命题人在这里一定会兼顾双方的利益 7 7 2010 2010 年理年理 1919 文文 19 19 如图 直三棱柱中 111 ABCABC 为的中点 为上的一ACBC 1 AAAB D 1 BBE 1 AB 点 1 3AEEB 证明 为异面直线与的公垂线 DE 1 ABCD 设异面直线与的夹角为 45 求二面角的大小 1 ABCD 111 AACB 分析分析 本题考查了立体几何中直线与平面 平面与平面及异面直线所成角与二面角的基本题考查了立体几何中直线与平面 平面与平面及异面直线所成角与二面角的基 础知识 础知识 1 1 要证明 要证明 DEDE 为为 AB1AB1 与与 CDCD 的公垂线 即证明的公垂线 即证明 DEDE 与它们都垂直 由与它们都垂直 由 AE 3EB1AE 3EB1 有 有 DEDE 与与 BA1BA1 平行 由平行 由 A1ABB1A1ABB1 为正方形 可证得 证明为正方形 可证得 证明 CDCD 与与 DEDE 垂直 取垂直 取 ABAB 中点中点 F F 连结 连结 DFDF FCFC 证明 证明 DEDE 与平面与平面 CFDCFD 垂直即可证明垂直即可证明 DEDE 与与 CDCD 垂直 垂直 2 2 由条件将异面直线 由条件将异面直线 AB1AB1 CDCD 所成角找出即为所成角找出即为FDCFDC 设出 设出 ABAB 连长 求出所有能求出连长 求出所有能求出 的边长 再作出二面角的平面角 根据所求的边长可通过解三角形求得 的边长 再作出二面角的平面角 根据所求的边长可通过解三角形求得 解析解析 解法一 解法一 连结 记与的交点为 F 因为面为正方形 故 1 A B 1 A B 1 AB 11 AA BB 11 A BAB 且 又 所以 又 D 为的中点 故 1 AF FB 1 AE 3EB 1 FE EB 1 BB 1 DEBFDEAB 作 G 为垂足 由 AC BC 知 G 为 AB 中点 CGAB 又由底面面 得 ABC 11 AA B BCG 11 AA B B 连结 DG 则 故 由三垂线定理 1 DGAB DEDG 得 DECD 所以 DE 为异面直线与 CD 的公垂线 1 AB 因为 故为异面直线与的夹角 1 DGAB CDG 1 ABCDCDG 45 设 AB 2 则 1 AB2 2 DG 2CG 2AC 3 作 H 为垂足 因为底面 故 111 B HA C 11111 A B CAAC C 面 111 B HAAC C 面 又作 K 为垂足 连结 由三垂线定理 得 因此为 1 HKAC 1 B K 11 B KAC 1 B KH 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 77 解法二 解法二 以 B 为坐标原点 射线 BA 为轴正半轴 建立如图所示的空间直角坐标系x Bxyz 设 AB 2 则 A 2 0 0 D 0 1 0 1 B 0 2 0 1 3 E 0 2 2 又设C 1 0 c 则 1 1 1 DE0B A 2 2 0 DC 1 1 c 2 2 于是 1 DE B A 0 DE DC 0 故 1 DEB ADEDC 所以 DE 为异面直线与 CD 的公垂线 1 AB 因为等于异面直线与 CD 的夹角 1 B A DC 1 AB 故 11 cos45B A DCB A DC 即 2 2 2 224 2 c 解得 故 2c AC 22 1 又 11 AA BB 0 2 0 所以 11 AC AC AA 1 22 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 78 所以 1 cos 15 m n m n m n 由于等于二面角的平面角 m n 111 A AC B 所以二面角的大小为 111 A AC B 15 arccos 15 8 8 2011 2011 年理年理 1919 文文 20 20 如图 四棱锥中 AB CD 侧面为SABCD BCCD SAB 等边三角形 2 1ABBCCDSD 证明 SDSAB 求与平面所成角的大小 ABSBC 思路点拨 第 I 问的证明的突破口是利用等边三角形 SAB 这个条件 找出 AB 的中点 E 连结 SE DE 就做出了解决这个问题的关键辅助线 II 本题直接找线面角不易找出 要找到与 AB 平行的其它线进行转移求解 精讲精析 证明 I 取 AB 中点 E 连结 DE 则四边形 BCDE 为矩形 DE CB 2 连结 SE 则 3SEAB SE 又 SD 1 故 222 EDSESD 所以为直角 DSE 由 得 ABDE ABSE DESEE 所以 ABSDE 平平ABSD SD 与两条相交直线 AB SE 都垂直 D C A S BE F G H 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 79 所以SDSAB 平平 II 由知 ABSDE 平平ABCDSDE 平平平平 作 垂足为 F 则 SFDE SFABCD 平平 3 2 SDSE SF DE 作 垂足为 G 则 FG DC 1 FGBC 连结 SG 则SGBC 又 故 FGBC SGFGG BCSFGSBCSFG 平平平平平平 作 H 为垂足 则 FHSG FHSBC 平平 3 7 SFFG FH SG 即 F 到平面 SBC 的距离为 21 7 由于 ED BC 所以 ED 平面 SBC E 到平面 SBC 的距离 d 也为 21 7 设 AB 与平面 SBC 所成的角为 则 21 sin 7 d EB 21 arcsin 7 解法二 以 C 为坐标原点 射线 CD 为 x 轴正半轴 建立如图所示的直角坐 标系 C xyz 设 D 1 0 0 则 A 2 2 0 B 0 2 0 又 设 S x y z 则 x 0 y 0 z 0 I 2 2 2 1 ASxyz BSx yz DSxy z 由得 222222 2 2 2 ASBSxyzxyz 故 x 1 由得 1DS 22 1yz 又由得 2BS 222 2 4xyz 即 故 22 410yzy 13 22 yz 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 80 于是 13333313 1 1 1 0 22222222 SASBSDS 0 0DS ASDS BS 故 又 DSAS DSBS ASBSS 所以 SDSAB 平平 II 设平面 SBC 的法向量 am n p 则 0 0 aBS aCB a BSa CB 又 33 1 0 2 0 22 BSCB 故 33 0 22 20 mnp n 取得 又2p 3 0 2 a 2 0 0 AB 故 AB 与平面 SBC 所成的角为 21 cos 7 AB a AB a ABa 21 arcsin 7 第十章第十章排列 组合 二项式定理排列 组合 二项式定理 考试内容考试内容 分类计数原理与分步计数原理 排列 排列数公式 组合 组合数公式 组合数的两个性质 二项式定理 二项展开式的性质 考试要求考试要求 1 掌握分类计数原理与分步计数原理 并能用它们分析和解决一些简单的应用问 题 2 理解排列的意义 掌握排列数计算公式 并能用它解决一些简单的应用问题 3 理解组合的意义 掌握组合数计算公式和组合数的性质 并能用它们解决一些简 单的应用问题 甘肃省八年 甘肃省八年 20042004 年年 20112011 年 高考数学试卷分类汇编及详细解析年 高考数学试卷分类汇编及详细解析 81 4 掌握二项式定理和二项展开式的性质 并能用它们计算和证明一些简单的问题 八年试题汇编八年试题汇编 一 选择题 共一 选择题 共 1212 题 题 1 1 2004 2004 年理年理 9 9 文文 9 9 从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师 派到 3 个班担任班主 任 每班 1 位班主任 要求这 3 位班主任中男 女教师都要有 则不同的选派方案共有 A 210 种B 420 种C 630 种D 840 种 2 2 2006 2006 年文年文 12 12 5 名志愿者分到 3 所学校支教 每个学校至少去一名志愿者 则不同的 分派方法共有 A 150 种 B 180 种 C 200 种 D 280 种 解 人数分配上有两种方式即 1 2 2 与 1 1 3 若是 1 2 2 则有 60 种 若是 1 1 3 则有 90 种 311 3 521 3 2 2 C C C A A 122 3 542 3 2 2 C C C A A 所以共有 150 种 选 A 3 3 2007 2007 年理年理 10 10 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五 星期六 星期日参加公益活动 每人一天 要求星期五有 2 人参加 星期六 星期日各有 1 人参加 则不同的选派方法共 有 A 40 种 B 60 种 C 100 种 D 120 种 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五 星期六 星期日参加公益活动 每人一天 要求星 期五有 2 人参加 星期六 星期日各有 1 人参加 则不同的选派方法共有种 22 53