数学人教版八年级上册教案设计.doc

教案设计比赛设计稿姓名：黄枚青题目:问题2 （造桥选址问题）如图13.4-6，A和B两地在一条河的两岸,现在要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.）图13.4-6一、审题分析（一）题目背景 1.题材背景：本题出自新人教版八年级上册13.4课题学习最短路径问题的问题2. 2.知识背景：(1)平移变换的相关知识.(2)两点之间，线段最短.3.方法背景：(1)会用平移的方法对一个图形进行变换. (2)会求直线上的点到直线外异侧两点的距离之和最小的问题. 4.思想背景：化归思想.（二）学情分析 1.学生特点：学生已在课本第85页的问题1学习了最短路径问题，本题是对最短路径问题的进一步探究. 2.估计学生会遇到的困难和解决策略： （1）忽略条件“桥与河垂直” 策略：给学生机会犯错，直接连接AB分别交两直线于M和N两点，即为所求. 再引导学生发现问题.（2）对桥的长度固定不变的理解 策略：利用几何画板进行探究，通过观察数据的变化，可知动点N在移动过程中，线段MN的长度始终不变，再结合题中给的条件：“两岸平行”和“桥与河垂直”进一步理解.（3）如何确定线段MN的位置 策略：引导学生通过平移，将问题转化为求直线上的点到直线外异侧两点的距离之和最小的问题.（4）如何证明线段MN的位置即为所求 策略：引导学生任取异于MN的线段GH,使GH,GH b,则利用三角形三边关系进行证明. （三）重、难点重点：探究利用平移性质和两点之间线段最短性质解决最短路径问题. 难点：1.如何将实际问题转化为数学问题 2.如何确定线段MN的位置3.如何证明线段MN的位置即为所求（四）教学方法 启发式教学（五）分析题意 本题属于最短路径问题，学生比较陌生，对题目的理解难度比较大，首先引导学生通过多次读题理解题意，已知A、B两地在一条河的两岸，且河的两岸可以看成是平行的直线，则可画出两条平行的直线和b，点A和点B是定点，分别位于两直线的两侧.现在要建一座桥MN，要求桥与河垂直,即线段MN与直线,b垂直.所要求的问题是桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短，即线段位于何处时，可使AM+MN+NB最小，从而将实际问题转化为数学问题,如图1所示.图2图1二、探究过程（一）探究线段MN的大致位置学生在自主探究时，根据两点之间，线段最短，容易想到连接AB分别交直线,b于M和N两点，则线段MN即为所求.如图2所示，引导学生思考此种作法是否可行，从而发现与题目中的条件“桥与河垂直”相矛盾.利用几何画板进行探究，当动点在直线上来回移动时，这三条线段的长度之和在不断跟着改变，而线段MN的长度始终是不变的，故只需确定另外两条线段的长度之和最小即可.通过观察具体数据的变化可知，点N在移动过程中，AM+NB对应的数值的变化情况，从而可以初步得到线段的大致位置.进而引导学生思考如何确定线段MN的准确位置（二）探究线段MN的准确位置引导学生复习前面学过的求直线上的点到直线异侧两点的距离之和最小问题，已知A、B两个定点分别位于一条直线的两侧，要在直线上找到一点使得它到这两个定点的距离之和最小,根据两点之间，线段最短，连接AB与直线l交于一点，即为所求.引导学生对比本题，思考能否通过某种途径将直线和直线b重合在一起，从而将“两线两点”问题转化成“一线两点”问题，学生会想到利用平移的方法，从而得到作图思路.作图步骤：（1）同时将直线和点A沿与河岸垂直的方向平移一个河宽.使直线与直线重合，点移动到A（2）连接AB交直线于点，过点作，垂足为，连接AM则线段MN即为所求.（3）如图3所示.从而得到最短路径为：AMNB 图3图4(三)证明线段的位置即为所求引导学生在直线b上异于点N任取一点，过点作,垂足为，连接A，B ，A，如图4所示，则只需证明AM+ MN +NB AH+ HG +GB.由于桥的长度不变，故MN= HG，从而只需证明AM +NB AH +GB.根据平移性质可得AM=AN ，A= A，进而将问题转化为只需证明AN +NB A+ GB. 由图可知，A+B= AB ，最终问题可转化为只需证明ABA+ GB.学生很容易想到根据三角形的三边关系进行证明，最终得到证明思路，证明过程如下：证明：在直线b上异于点N任取一点,过点作,垂足为H，连接AH， NB，AG，则由平移性质得AM= AN， AH=AGAM+NB= AN+NB= AB，AH+GB= A+GB 在 ABG中，根据三边关系得：AB AG+GB AH+GB AM+NB 又HG= MN AH+GB+ HG AM+NB+MN从而证明线段MN的位置即为所求.故从A到B的最短路径为：AMNB，线段MN即为所要建的桥的位置.（四）多种作图方法学生在自主探究时，可能会出现以下的作图方法：作法二：如图5所示，同时将直线 b 和点B沿与河岸垂直的方向平移一个河宽.使直线与直线 重合，点B移动到B ，连接BA交直线于点M，过点M作b，垂足为N，则线段MN即为所求.作法三：如图6所示，将点A沿与河岸垂直的方向平移一个河宽.点移动到A，连接AB交直线于点，过点作，垂足为，连接AM，则线段MN即为所求.点评：作法三与作法一本质上是相同的.图6图5作法归纳：明确平移的目的是使两条直线重合在一起，从而将“两线两点”问题转化成“一线两点”问题，即转化成求直线上的点到直线异侧两点的距离之和最小的问题.从而得到一般作法： 沿与河岸垂直的方向分别同时平移点A和直线，点B和直线b到某个位置，使直线和直线b重合,点移动到A，点B移动到B,则同样也可以进行求解，留给学有余力的同学课后继续探究.三、运用与巩固变式 如图是一长方形公园，点A和点B是公园的前后门，图中阴影部分是一片定宽的草坪。现要从A修一条小路穿过草坪直通到B，要求穿过草坪的小路PQ与草坪垂直，请问小路PQ要如何修建才能使从A到B的路径APQB最短？原题与变式对比：题目背景改变，作图方法不变.设计意图：运用巩固，进一步熟悉作图方法.四、解题反