二次函数综合习题.doc

已知抛物线：（1）求抛物线的顶点坐标.（2）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式.（3）如下图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由提示：抛物线（0）的对称轴是顶点坐标是解：（1）依题意 ， 顶点坐标是（2，2）（2）根据题意可知y2解析式中的二次项系数为且y2的顶点坐标是（4 ，3 ）y2，即：y2（3 ）符合条件的N点存在如图：若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则，且，作轴于点A，轴于点B，则有（AAS） 点P的坐标为（4,3）点N在抛物线、上，且P点为、的最高点 符合条件的N点只能在轴下方点N在抛物线上，则有：解得：或点N在抛物线上，则有：解得：或符合条件的N点有四个：如图1，已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0，0)，A(0，n)，C(m，0)动点P从点O出发依次沿线段OA，AB，BC向点C移动，设移动路程为z，OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示m，n是常数， m1，n0（1）请你确定n的值和点B的坐标； （2）当动点P是经过点O，C的抛物线y=ax2+bx+c的顶点，且在双曲线y=上时，求这时四边形OABC的面积解：(1) 从图中可知，当P从O向A运动时，POC的面积S=mz， z由0逐步增大到2，则S由0逐步增大到m，故OA=2，n=2 . 同理，AB=1，故点B的坐标是(1，2).(2)解： 抛物线y=ax2+bx+c经过点O(0，0)，C(m ，0),c=0，b=-am，抛物线为y=ax2-amx，顶点坐标为(，-am2).如图1，设经过点O，C，P的抛物线为l. 当P在OA上运动时，O，P都在y轴上，这时P，O，C三点不可能同在一条抛物线上， 这时抛物线l不存在， 故不存在m的值.当点P与C重合时，双曲线y=不可能经过P，故也不存在m的值.当P在AB上运动时，即当02，与 x0=1不合，舍去容易求得直线BC的解析式是：，当P在BC上运动，设P的坐标为 (x，y)，当P是顶点时 x=，故得y=，顶点P为(，)， 1 x0=2，又P在双曲线y=上，于是，=，化简后得5m-22m+22=0，解得，与题意不合,舍去.综上所述，满足条件的只有一个值：. 这时四边形OABC的面积=如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P在AC上，PQBP，交CD于Q，PECD，交于CD于E，点P从A点（不含A）沿AC方向移动，直到使点Q与点C重合为止。（1）设AP=x，PQE的面积为S，请写出S关于x的函数解析式，并确定x的取值范围。（2）点P在运动过程中，PQE的面积是否有最大值？若有，请求出最大值及此时AP的取值；若无，请说明理由。解：（1）过点P作PFBC，垂足为F，在矩形ABCD中，PFAB，PFCABC，又AP=x，BC=AD=1，AB=2又在RtABC中，AC=，PC=3-x，FC=BF=BC-FC=，又PECD，PEC=90又在四边形PFCE中，PFC=BCD=PEC=90四边形PFCE为矩形FPE=90又PQBPBPQ=90FPE=BPQEPQ+QPF=BPF+FPQEPQ=BPF又PEQ=BFP=90PEQPFB，又，又或过点B作BKAC，垂足为K，在RtABC中，由等积法可得ACBK=ABBC，ACBK=ABBC3BK=21 BK=由题意可得当Q与C重合时，P与K重合即AP=AK，由ABKABC得即x=x的取值范围是0x；（2）PQE面积有最大值，由（1）可得 ，当即时，S面积最大，即S最大=。已知抛物线y=-x2+2mx-m2+2的顶点A在第一象限，过点A作ABy轴于点B，C是线段AB上一点（不与点A、B重合），过点C作CDx轴于点D并交抛物线于点P。（1）若点C（1，a）是线段AB的中点，求点P的坐标；（2）若直线AP交y轴的正半轴于点E，且AC=CP，求OEP的面积S的取值范围。解：（1）依题意得顶点A的坐标为（2，a），设P（1，n）据x=-，得A点的横坐标为m，即m=2，所以y=x2+4x-2，把P点的坐标代入得n=1，即P点的坐标为（1，1）；（2）把抛物线化为顶点式：y=-（x-m）2+2，可知A（m，2），设C（n，2），把n代入y=-（x-m）2+2得y=-（n-m）2+2，所以P（n，-（n-m）2+2） AC=CPm-n=2+（m-n）2-2，即m-n=（m-n）2，m-n=0或m-n=1，又C点不与端点A、B重合 mn，即m-n=1，则A（m，2），P（m-1，1）由AC=CP可得BE=AB OB=2OE=2-m，OPE的面积S=（2-m）（m-1）=-（m-）2+（1m2）， 0S。两个直角边为6的全等的等腰直角三角形RtAOB和RtCED，按如图一所示的位置放置，点O与E重合。（1）RtAOB固定不动，RtCED沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点E运动到与点B重合时停止，设运动x秒后，RtAOB和RtCED的重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式；（2）当RtCED以（1）中的速度和方向运动，运动时间x=2秒时，RtCED运动到如图二所示的位置，若抛物线y=x2+bx+c过点A，G，求抛物线的解析式；（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上运动，试问点P在运动过程中是否存在点P到x轴或y轴的距离为2的情况？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）由题意知重叠部分是等腰直角三角形，作GHOE，OE=2x，GH=x，（0x3）（2）A（6，6）当x=2时，OE=22=4OH=2，HG=2，G（2，2）；（3）设P（m，n），当点P到y轴的距离为2时，有|m|=2，|m|=2，当m=2时，得n=2，当m=-2时，得n=6，当点P到x轴的距离为2时，有|n|=2，n=2，当n=2时，得m=2，综上所述，符合条件的点P有两个，分别是P1（2，2），P（-2，6）。如图所示，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C。（1）求A、B、C三点的坐标；（2）过点A作APCB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG垂直x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由。解：（1）令y=0，得x2-1=0，解得x=士1，令x=0，得y= -1，A（1，0），B（-1，0），C（0，-1）；（2）OA=OB=OC=1，BAC=ACO=BC0=45， APCB，PAB=45，过点P作PEx轴于E，则APE为等腰直角三角形，令OE =a，则PE=a+1， P（-a，a+1），点P在抛物线y=x2-1上， a+1=a2-1， 解得a1=2，a2=-1（不合题意，舍去），PE=3，四边形ACBP的面积S=ABOC+ABPE =21+23=4；（3）假设存在，PAB=BAC=45，PAAC，MG垂直x轴于点G，MGA=PAC=90，在RtAOC中，OA=OC=1，AC=在RtPAE中，AE=PE=3，AP=3设M点的横坐标为m，则M（m，m2-1），点M在y轴右侧时，则m1，（i）当AMGPCA时，有，AG=m-1，MG=m2-1，即 解得m1=1（舍去），m2=-（舍去），（ ii）当MACPCA时有， 即解得：m1=1（舍去），m2=2， M（2，3），