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文档简介

1凑整法与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律(如交换律、结合律、分配律)，使部分的和、差、积、商成为整数、整十数从而使运算得到简化2约分法3裂项法数之和时，若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算例7 在自然数1100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的和等于1分析与解：这道题看上去比较复杂，要求10个分子为1，而分母不来做，就非常简单了题中所求，添上括号此题要求的是10个数的倒数和为1，于是做成：所求的10个数是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10替换答案中的10和30，仍是符合题意的解4代数法分析与解：通分计算太麻烦，不可取注意到每个括号中都有例2 计算：分析与解 题中的每一项的分子都是1，分母不是连续相邻两个自然数之积，而是连续三个自然数的乘积.下面我们试着从前几项开始拆分，探讨解这类问题的一般方法.因为这里n是任意一个自然数.利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果.例3 计算：分析与解 仿上面例1、例2的解题思路，我们也先通过几个简单的特例试图找出其规律，再用裂项法求解.这几个分数的分子都是2，分母是两个自然数的积，其中较小的那个自然数正好等于分母中自然数的个数，另一个自然数比这个自然数大3.把这个想法推广到一般就得到下面的等式：连续使用上面两个等式，便可求出结果来.因为第一个小括号内所有分数的分子都是1，分母依次为2，3，4，199，所以共有198个分数.第二个小括号内所有分数的分子也都是1，分母依次为5，6，7，202，所以也一共有198个分数.这样分母分别为5，6，7，199的分数正好抵消，例4 求下列所有分数的和：分析与解这是分数求和题，如按异分母分数加法法则算，必须先求1，2，3，1991这1991个数的最小公倍数，单是这一点就已十分麻烦，为此我们只好另找其他的方法.先计算分母分别为1，2，3，4的所有分数和各等于多少.这四个结果说明，分母分别为1，2，3，4的上述所有分数和分别为1，2，3，4.如果这一结论具有一般性，上面所有分数的求和问题便能很快解决.下面我们来讨论一般的情况.假定分数的分母是某一自然数k，那么分母为k的按题目要求的所有分这说明，此题中分母为k的所有分数的和为k，利用这一结论，便可得到下面的解答.例5 自然数m至n之间所有分母为P的最简分数和是多少（这里mn，P是奇质数）？分析与解 先写出这些分数来，因为P是奇质数，所以与P互质且比P小的数有1，2，3，P-1，共（P-1）个.换句话说，每相邻的两个自然数之间，以P为分母的最简分数都有（P-1）个，故下面来求这些分数的和：因为m至（n-1）之间自然数的个数为：（n-1）-m+1=n-m
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