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简单的线性规划问题 二 沭阳县修远中学陈永和 例1 要将两种大小不同规格的钢板截成A B C三种规格 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 今需要A B C三种规格的成品分别为15 18 27块 问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品 且使所用钢板张数最少 解 设需截第一种钢板x张 第二种钢板y张 可得 2x y 15 x 3y 27 x 2y 18 x y 0 经过可行域内的整点B 3 9 和C 4 8 且和原点距离最近的直线是x y 12 它们是最优解 答 略 作出一组平行直线z x y 目标函数z x y 打网格线法 在可行域内打出网格线 当直线经过点A时z x y 11 4 但它不是最优整数解 将直线x y 11 4继续向上平移 2x y 15 x 3y 27 x 2y 18 x y 0 直线x y 12经过的整点是B 3 9 和C 4 8 它们是最优解 作出一组平行直线z x y 目标函数z x y 当直线经过点A时z x y 11 4 但它不是最优整数解 作直线x y 12 x y 12 解得交点B C的坐标B 3 9 和C 4 8 调整优值法 1 线性规划的讨论范围 教材中讨论了两个变量的线性规划问题 这类问题可以用图解法来求最优解 但涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法来解 2 求线性规划问题的最优整数解时 常用打网格线和调整优值的方法 这要求作图必须精确 线性目标函数对应的直线斜率与其他直线的斜率关系要把握准确 15 ex2 解 设投资方对甲 乙两个项目各投资x y万元 依题意线性约束条件为 目标函数为 作出可行域 可知直线Z x 0 5y通过点A时利润最大 由 万元 答 作一组平行线 当经过点A时t取最小值 当经过点C时t取最大值 2 由 1 知 代入不等式组消去z得 代入目标函数得 练习题 1 某厂拟生产甲 乙两种适销产品 每件销售收入分别为3000元 2000元 甲 乙产品都需要在A B两种设备上加工 在每台A B上加工1件甲所需工时分别为1h 2h 加工1件乙所需工时分别为2h 1h A B两种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h 如何安排生产可使收入最大 解 设每月生产甲产品x件 生产乙产品y件 每月收入为Z千元 目标函数为Z 3x 2y 满足的条件是 Z 3x 2y变形为它表示斜率为的直线系 Z与这条直线的截距有关 X Y O 400 200 250 500 当直线经过点M时 截距最大 Z最大 M 解方程组 可得M 200 100 Z的最大值Zmax 3x 2y 800 千元 故生产甲产品200件 乙产品100件 收入最大 为80万元 小结 二元一次不等式表示平面区域 直线定界 特殊点定域 简单的线性规划 约束条件 目标函数 可行解 可行域 最优
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