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第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 习题全解 习题 1 1 1 将一枚硬币连掷两次 设事件 A B C分别为 第一次出现正面 两次 出现同一面 至少有一次出现正面 试写出样本空间 及事件 A B C的样 本点 解 根据样本空间 随机事件的定义 有 正 正 正 反 反 正 反 反 A 正 正 正 反 B 正 正 反 反 C 正 正 正 反反 正 2 袋内有编号1 2 3 4的四个球 从中任取一球后不放回 再任取一球 设 事件 A B分别为 第一次取到的编号为 1 两次取到的编号之和为 6 或 8 1 试写出事件 A B的样本点 2 将取球方式改为第一次取球后放回 再第二次取球 试写出事件 A B的 样本点 解 由随机事件的定义 有 1 4 1 3 1 2 1 A 2 4 4 2 B 2 4 1 3 1 2 1 1 1 A 4 4 2 4 3 3 4 2 B 3 某城市共发行日报 晚报和体育报三种报纸 设事件 A B C分别为 订 阅日报 订阅晚报 订阅体育报 试用 A B C表示下列事件 1 只订日报 2 只订日报和晚报 3 只订一种报纸 4 恰好订两种报纸 5 至少订一种报纸 6 不订任何报纸 7 至多订一种报纸 8 三种报纸全订 9 三种报纸不全订 解 根据事件间的关系和运算定义 有 1 ABC 2 ABC 3 ABCABCABC 4 ABCABCABC 5 ABC 或ABCABCABCABCABCABCABC 6 ABC 7 ABCABCABCABC 8 ABC 9 ABC 或ABC 4 某射手向靶子射击三次 设事件 i A为 第 i 次射击中靶 1 2 3 i 试说明下列事件的意义 1 321 AAA 2 123 A A A 3 123 AAA 4 123 AAA 5 123 AAA 6 123 AA A 解 根据事件间的关系和运算定义 有 1 三次都中靶 2 至少有一次未中靶 3 至少有一次中靶 4 三次都未中靶 5 仅第一次中靶 6 第一次中靶且后两次未都中靶 5 设 A B为两个事件 试化简下列事件 1 ABABABAB 2 AB ABAB AB 解 根据事件关系与运算的分配律和结合律 得 1 BABABAAB BABABAAB BAABAA BB 2 AB ABAB AB BABABABA BBABBA AA 习题 1 2 1 设1 0 AP 3 0 BAP 且A与B互不相容 求 BP 解 根据概率的加法公式 有 ABPBPAPBAP 又BA 互不相容 所以0 ABP 得 2 01 03 0 APBAPBP 2 设5 0 AP 4 0 BP 3 0 BAP 求 P AB 和 BAP 解 根据概率的减法公式 有 ABPAPBAP 所以2 03 05 0 BAPAPABP 从而 ABPBPAPBAP 7 02 04 05 0 8 02 01 1 ABPABPBAP 3 设 1 3 P A 1 4 P B 1 2 P AB 求 BAP 解 根据概率的加法公式 有 ABPBPAPBAP 所以 12 1 2 1 4 1 3 1 BAPBPAPABP 从而 12 11 12 1 1 1 ABPABPBAP 4 已知 1 4 P AP BP C 0 ABP 1 16 P ACP BC 求事件 A B C都不发生的概率 解 因为0 ABP 所以0 ABCP 从而所求概率为 1 CBAPCBAPCBAP 1ABCPBCPACPABPCPBPAP 8 3 02 16 1 3 4 1 1 5 设 1 3 P A 1 2 P B 试就以下三种情况分别求 ABP 1 AB 2 BA 3 1 8 P AB 解 根据概率的减法公式 有 ABPBPABP 所以 1 当AB 时 0 ABP 2 1 BPABP 2 当BA 时 3 1 APABP 6 1 3 1 2 1 APBPABP 3 当 1 8 P AB 时 8 3 8 1 2 1 ABPBPABP 习题 1 3 1 有一批桶装酒共 14 桶 其中甲级 6 桶 乙级 8 桶 不小心把标签搞混了 现 随意取 3 桶酒 试问恰好有 1 桶甲级酒 2 桶乙级酒的概率是多少 解 令 A 恰好取到 1 桶甲级酒 2 桶乙级酒 任取 3 桶酒总共有 3 14 C 种取 法 恰好取到 1 桶甲级酒 2 桶乙级酒有 2 8 1 6C C种取法 则所求概率为 13 6 3 14 2 8 1 6 C CC AP 2 有不同的数学书 6 本 物理书 4 本 化学书 3 本 从中任取两本 试求 两本书属不同学科的概率 解 令 A 取到的两本书属不同学科 任取 2 本书总共有 2 13 C种取法 两 本书属不同学科有 1 3 1 4 1 3 1 6 1 4 1 6 CCCCCC 种取法 则所求概率为 13 9 2 13 1 3 1 4 1 3 1 6 1 4 1 6 C CCCCCC AP 3 设 10 把钥匙中有 3 把能打开门 从中任取两把 求能打开门的概率 解 令 A 能打开门 任取 2 把钥匙总共有 2 10 C种取法 能打开门的取法 有 2 3 1 3 1 7 CCC 种 则所求概率为 15 8 2 10 2 3 1 3 1 7 C CCC AP 4 袋内有编号为 1 到 5 的五个球 从中有放回地每次取一球 连取三次 问三个球的编号组成奇数的概率为多少 解 令 A 三个球的编号组成奇数 有放回地取球三次总共有 3 5种取法 三个球的编号组成奇数有352 种取法 则所求概率为 5 3 5 35 3 2 AP 5 从 5 双不同的鞋子中任取 4 只 问这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的 概率是多少 解 令 A 4 只中至少有两只能成一双 从 5 双鞋子中任取 4 只总共有 4 10 C 种取法 4 只中至少有两只能成一双有 1 2 1 2 2 4 1 5 2 5 CCCCC 种取法 则所求概率为 21 13 4 10 1 2 1 2 2 4 1 5 2 5 C CCCCC AP 或者考虑对立事件A中包含的样本点为 1 2 1 2 1 2 1 2 4 5 CCCCC个 从而 21 13 1 4 10 1 2 1 2 1 2 1 2 41 5 C CCCCC AP 6 一批产品共 100 件 其中 98 件正品 2 件次品 从中任取 3 件 分别按 三种取法 一次取 3 件 有放回连取 3 件 无放回连取 3 件 求下列事件的概率 1 取出的 3 件产品中恰有一件次品的概率 2 取出的 3 件产品中至少有一件次品的概率 解 A 取出的 3 件产品中恰有 1 件是次品 B 取出的 3 件产品中至 少有 1 件是次品 则分别讨论下列情况 一 一次拿 3 件 从 100 件中任取 3 件总共有 3 100 C种取法 A中包含 1 2 2 98C C个 样本点 B中包含 1 98 2 2 2 98 1 2 CCCC 个样本点 从而 1 8058 0 3 100 1 2 2 98 C CC AP 2 4059 0 3 100 1 98 2 2 2 98 1 2 C CCCC BP或者 4059 0 1 3 100 3 98 C C BP 二 有放回连取 3 件 从 100 件中任取 3 件总共有 3 100种取法 A中包含 32982 个样本点 B中包含39823298 22 个样本点 从而 1 6057 0 3 100 982 3 2 AP 2 8058 0 100 39823298 3 22 BP 或者8058 0 100 98 1 3 3 BP 三 无放回连取 3 件 从 100 件中任取 3 件总共有 3 100 P种取法 A中包含 1 2 2 98 3PP个样本点 B中包含 1 98 2 2 1 2 2 98 33PPPP 个样本点 从而 1 8058 0 3 3 100 1 2 2 98 P PP AP 2 0594 0 33 3 100 1 98 2 2 1 2 2 98 P PPPP BP或者 4059 0 1 3 100 3 98 P P BP 7 从0 1 2 3四个数字中任取三个 求能排成一个末位数不是 2 的三位数 的概率 解 令 A 排成的三位数末位不是 2 从0 1 2 3四个数字中任取三个数 总共有 3 4 P种取法 排成的三位数末位不是 2 的取法有 1 2 1 2 2 3 2PPP 种 则所求概 率为 12 72 3 4 1 2 1 2 2 3 P PPP AP 习题 1 4 1 已知 1 4 P A 1 3 P B A 1 2 P A B 求 BAP 解 根据概率的乘法公式 有 12 1 3 1 4 1 ABPAPABP 6 1 2 1 12 1 BAP ABP BP 从而 3 1 12 1 6 1 4 1 ABPBPAPBAP 2 设 10 件产品中有 4 件次品 从中任取两件 已知所取两件产品中有一件 次品 求另一件也是次品的概率 解 A 两件产品中至少有一件次品 B 两件都是次品 易知AB 则所求概率为 5 1 2 4 1 4 1 6 2 4 CCC C AP ABP ABP 3 为了防止意外 矿井内同时装有两种报警系统 系统 和系统 单独使 用时 有效的概率分别为 0 92 和 0 93 在系统 失灵的条件下 系统 仍有效 的概率为 0 85 求 1 系统 和系统 都有效的概率 2 系统 失灵而系统 有效的概率 3 在系统 失灵的条件下 系统 仍有效的概率 解 A 系统 有效 B 系统 有效 根据题意知 92 0 AP 93 0 BP 1 85 0 AP ABPBP AP ABP ABP 从而所求概率分别为 1 85 0 BPABP862 0 08 0 85 0 93 0 1 AP 2 058 0 862 0 92 0 ABPAPBAP 3 8286 0 93 0 1 862 0 92 0 1 BP ABPAP BP BAP BAP 4 某人忘记了电话号码的最后一个数字而随意拨号 求能在三次拨号内接 通电话的概率 如果已知最后一个数字是奇数 则此概率是多少 解 令 i A 表示第i次接通电话 3 2 1 i B 不超过三次接通电话 则 321211 AAAAAAPBP 321211 AAAPAAPAP 2131211211 AAAPAAPAPAAPAPAP 10 3 8 1 9 8 10 9 9 1 10 9 10 1 若已知最后一位数字是奇数时 所求概率为 321211 AAAAAAPBP 321211 AAAPAAPAP 2131211211 AAAPAAPAPAAPAPAP 5 3 3 1 4 3 5 4 4 1 5 4 5 1 5 有两箱相同型号的零件 第一箱装 50 件 其中 10 件一等品 第二箱装 30 件 其中 18 件一等品 现从两箱中任选一箱 再从该箱中无放回地每次取一 件 连取两次 试求 1 第一次取到一等品的概率 2 在第一次取到一等品的条件下 第二次也取到一等品的概率 解 令 i A 取到第i箱产品 i B 第i次取到一等品 2 1 i 则 21 AA 21 AA 从而所求概率分别为 1 121112111 BABAPBABAPBP 212111 ABPAPABPAP 5 2 30 18 2 1 50 10 2 1 2 1 21 12 BP BBP BBP 而 21B BP 212211212211 BBABBAPBBABBAP 22121211 ABBPAPABBPAP 1421 276 2 1 2 1 2 30 2 18 2 50 2 10 P P P P 从而 4856 0