函数微分习题一.ppt

2020 3 14 1 习题课 一 内容小结 二 典型例题 多元函数的微分 三 课外练习题 第九章 1 2020 3 14 2 一 内容小结 1 多元函数的定义 极限 连续 1 定义域及对应规律 3 判断极限不存在 用两种不同的趋近方式得到 4 连续与间断 5 有界闭区域上连续函数的性质 两个不同的极限 则函数在该点的极限不存在 2 求极限的方法 2020 3 14 3 思考与练习 1 讨论二重极限 解法1 解法2令 解法3令 时 下列算法是否正确 2020 3 14 4 分析 解法1 解法2令 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况 此法排除了沿曲线趋于原点的情况 此时极限为1 第二步 未考虑分母变化的所有情况 2020 3 14 5 解法3令 此法忽略了 的任意性 极限不存在 由以上分析可见 三种解法都不对 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 特别要注意 在某些情况下可以利用极坐标求极限 但要注意在定义域内r 的变化应该是任意的 同时还可看到 本题极限实际上不存在 2020 3 14 6 提示 利用 故f在 0 0 连续 知 在点 0 0 处连续且偏导数存在 但不可微 2 证明 2020 3 14 7 而 所以f在点 0 0 不可微 2020 3 14 8 2 高阶偏导 1 偏导的定义 的二阶偏导 2 多元函数微分法 2020 3 14 9 3 复合函数的偏导 1 全导数设函数 为可微函数 则 2 复合求导设函数 为可微函数 则 2020 3 14 10 1 微分的定义 4 全微分 全微分 可微 并且 2 可微的条件 有连续偏导 则 2020 3 14 11 关于多元函数微分法 显示结构 隐式结构 1 分析复合结构 画变量关系图 自变量个数 变量总个数 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2 正确使用求导法则 分段用乘 分叉用加 单路全导 叉路偏导 注意正确使用求导符号 3 利用一阶微分形式不变性 2020 3 14 12 连续性 偏导数存在 方向导数存在 可微性 几个基本概念的关系 偏导连续 2020 3 14 13 例1求极限 所以不存在 解 则 二 典型例题 2020 3 14 14 例2求函数的定义域 并求极限 函数定义域为 因点在定义域中 而函数为 初等函数 故函数在该点连续 即 解 P130题3 2020 3 14 15 例3设 求 当时 解 有 P130题5 2020 3 14 16 故 而当时 即 由于 2020 3 14 17 解 例4设 求 2020 3 14 18 2020 3 14 19 解 例5设 其中有连续偏导 求 2020 3 14 20 例6设 有二阶连续偏导数 且 求 解 2020 3 14 21 例7设由确定 求 令 因此 解 则 2020 3 14 22 例8设 其中f与F分别具 解法1方程两边对x求导 得 有一阶导数或偏导数 求 考研题 2020 3 14 23 解法2 方程两边求微分 得 化简 消去即可得 2020 3 14 24 解由复合函数的导数公式 得 例9设 求 在方程组两端对求导 得 P131题12 2020 3 14 25 上式中的第一式乘第二式乘两式相减 得 上式中的第一式乘第二式乘两式相加 得 同理可得 因此 2020 3 14 26 例10设由确定 求 故 解 则 2020 3 14 27 因此 2020 3 14 28 例11 解1 2020 3 14 29 2020 3 14 30 2020 3 14 31 解2 2020 3 14 32 2020 3 14 33 解3 2020 3 14 34 小结 隐函数求偏导数的程序 方程组的情形 1 弄清哪个是因变量 哪些是中间变量 哪些是自变量 2 将方程两边对自变量求导 3 解由 2 得到的方程组 求出要求的偏导数 2020 3 14 35 例12设 问 在点处 1 是否连续 2 是否可导 3 是否可微 4 偏导是否连续 2020 3 14 36 2 同理 所以 显然 在连续 解 所以 1 3 2020 3 14 37 即得 因此在可微 2020 3 14 38 当时 显然和不存在 偏导不连续 4 所以 2020 3 14 39 课内练习题 1 设函数f二阶连续可微 求下列函数的二阶偏导数 2 同济 下 P131题12 2020 3 14 40 解答提示 第1题 2020 3 14 41 2020 3 14 42 设 求 提示 利用行列式解出du dv P131题12 2020 3 14 43 代入 即得 代入 即得 2020 3 14 44 有连续的一阶偏导数 及 分别由下两式确定 求 又函数 答案 3 设 2001考研 2020 3 14 45 例 设F x y 具有连续偏导数 解法1利用偏导数公式 确定的隐函数 则 已知方程 故 2020 3 14 46 对方程两边求微分 解法2微分法 20