随机信号分析(第3版)习题及答案.pdf

1 1 2 3 4 5 6 有四批零件 第一批有有四批零件 第一批有 20002000 个零件 其中个零件 其中 5 5 是次品 第二批有是次品 第二批有 500500 个零件 其中个零件 其中 40 40 是次品 第三批和第四批各有是次品 第三批和第四批各有 10001000 个零件 次品约占个零件 次品约占 10 10 我们随机地选择一个批次 我们随机地选择一个批次 并随机地取出一个零件 并随机地取出一个零件 1 1 问所选零件为次品的概率是多少 问所选零件为次品的概率是多少 2 2 发现次品后 它来自第二批的概率是多少 发现次品后 它来自第二批的概率是多少 解 解 1 1 用 用 i B表示第表示第i批的所有零件组成的事件 用批的所有零件组成的事件 用D表示所有次品零件组成的事件 表示所有次品零件组成的事件 1234 1 4 P BP BP BP B 12 34 100200 0 050 4 2000500 100100 0 10 1 10001000 P D BP D B P D BP D B 1111 0 050 40 10 10 1625 4444 P D 2 2 发现次品后 它来自第二批的概率为 发现次品后 它来自第二批的概率为 22 2 0 25 0 4 0 615 0 1625 P BP D B P B D P D 7 8 9 设随机试验设随机试验X的分布律为的分布律为 X 1 1 2 2 3 3 P 0 2 0 5 0 3 求求X的概率密度和分布函数 并给出图形 的概率密度和分布函数 并给出图形 解 解 0 210 520 33f xxxx 0 210 520 33F xu xu xu x 10 2 11 设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为 x f xae 求 求 1 1 系数系数a 2 2 其分布函数 其分布函数 解 解 1 1 由 由 1f x dx 0 0 2 xxx f x dxaedxae dxe dxa 所以所以 1 2 a 2 2 1 2 xx t F xf t dte dt 所以所以X的分布函数为的分布函数为 1 0 2 1 1 0 2 x x ex F x ex 12 13 14 若随机变量若随机变量X与与Y的联合分布律为的联合分布律为 Y Y X X 1 1 0 0 1 1 0 0 0 070 07 0 180 18 0 150 15 1 1 0 080 08 0 320 32 0 200 20 求 求 1 1 X与与Y的联合分布函数与密度函数 的联合分布函数与密度函数 2 2 X与与Y的边缘分布律 的边缘分布律 3 3 ZXY 的的 分布律 分布律 4 4 X与与Y的相关系数 北的相关系数 北 P181 T3P181 T3 解 解 1 1 0 07 10 18 0 15 1 0 081 10 321 0 201 1 F x yu x yu x yu x y u xyu xyu xy 0 07 10 18 0 15 1 0 081 10 321 0 201 1 f x yx yx yx y xyxyxy 2 2 X的分布律为的分布律为 00 070 180 150 40 10 080 320 200 60 P X P X Y的分布律为的分布律为 10 070 080 15 00 180 320 50 10 150 200 35 P Y P Y P Y 3 3 ZXY 的分布律为的分布律为 3 111 10 08 0001 00 400 320 72 111 10 20 P ZP XYP XY P ZP XYP XP XY P ZP XYP XY 4 4 因为 因为 0 0 40 1 0 600 60 10 150 0 50 1 0 350 20 E X E Y 10 080 0 72 1 0 200 12E XY 则则 ov 0 120 60 0 200CX YE XYE X E Y X与与Y的相关系的相关系数数0 XY 可见它们无关 可见它们无关 15 16 设随机变量设随机变量 0 1XN 0 1YN且相互独立 且相互独立 UXY VXY 1 1 随机变量随机变量 U V的联合概率密度的联合概率密度 UV fu v 2 2 随机变量随机变量U与与V是否相互独立 是否相互独立 解 解 1 1 随机变量 随机变量 X Y的联合概率密度为的联合概率密度为 22 2 2 1 2 xy XY fx yex yR 由反函数由反函数 2 2 uv x uv y 11 1 22 112 22 J 22 2 4 1 4 uv UV fu veu vR 2 2 由于 由于 2222 444 111 422 uvuv eee 2 UVUV fu vfu fvu vR 所以随机变量所以随机变量U与与V相互独立 相互独立 17 18 19 4 20 21 已知对随机变量已知对随机变量X与与Y 有 有1EX 3EY 4D X 16D Y 0 5 XY 又设又设3UXY 2VXY 试求 试求EU EV D U D V和和 Cov U V 解 首先 解 首先 22 5EXD XEX 22 25EYD YEY 又因为又因为 7 XY E XYCov X YEXEYD X D YEXEY 于是 于是 3 36EUEXYEXEY 2 25EVE XYEXEY 22222 96 76D UEUEUEXXYYEU 22222 44 52D VEVEVE XXYYEV 22 3 2 352 70E UVEXYXYEXXYY 40Cov U VE UVEUEV 22 23 24 已知随机变量已知随机变量X服从服从 0 a上的均匀分布 随机变量上的均匀分布 随机变量Y服从服从 X a上的均匀分布 试上的均匀分布 试 求求 1 1 0 E Y XXa 2 2 EY 解 解 1 1 对 对 0 xa 有 有 2 aX E Y X 2 2 23 224 aXaa EYE E Y XEa 25 设太空梭飞行设太空梭飞行中 宇宙粒子进入其仪器舱的数目中 宇宙粒子进入其仪器舱的数目N服从泊松分布 进舱后每个粒子造服从泊松分布 进舱后每个粒子造 成损坏的概率为成损坏的概率为 p p 彼此独立 求 造成损坏的粒子平均数目 北 彼此独立 求 造成损坏的粒子平均数目 北 P101 T10P101 T10 解 每个粒子是否造成损坏用解 每个粒子是否造成损坏用 i X表示表示 1 1 2 0 i XiN 造成损坏 没有造成损害 造成损坏的粒子数造成损坏的粒子数 1 N i i YX 于是 于是 5 11 nn ii ii E Y NnEXNnE XNn 可合理地认为可合理地认为N和和 i X是独立的 于是是独立的 于是 1 n i i E Y XnE Xnp E YE E Y NE NppE Np 26 27 随机变量随机变量 123 X XX彼此独立 且特征函数分别为彼此独立 且特征函数分别为 123 xxx 求下列随机变量的 求下列随机变量的 特征函数 特征函数 1 1 12 XXX 2 2 123 XXXX 3 3 123 23XXXX 4 4 123 2410XXXX 解 解 1 1 12 jvX X vE evv 2 2 同 同 1 1 123 X vvvv 3 3 123 23 123 2 3 jv XXX X vE evvv 4 4 123 2410 10 123 2 4 jvXXX jv X vE eevvv 28 随机变量随机变量 X X 具有下列特征函数 求其概率密度函数 均值 均方值与方差 具有下列特征函数 求其概率密度函数 均值 均方值与方差 1 1 2424 0 20 30 20 20 1 j vj vj vj v veeee 2 2 0 30 7 jvjv vee 3 3 4 4 vjv 4 4 sin5 5 vvv 解 解 1 1 0 20 320 240 220 14f xxxxxx 0 2 0 34 0 220 240 10 6E Xj 22 222 0 20 340 220 240 16 8E X 6 22 6 80 366 44Var XE XEX 2 2 0 310 71f xxx 0 1 0 310 70 4E Xj 2 22 0 10 310 71E X 22 1 0 160 84Var XE XEX 3 3 利用傅里叶变换公式 可知这是指数分布 利用傅里叶变换公式 可知这是指数分布 4 4 x f xeu x 2 0 1 0 4 4 4 v E Xjjv 23 0 1 0 8 4 8 v E Xjv 22 111 81616 Var XE XEX 4 4 sin512sin5 510 vv v vv 利用傅里叶变换公式 可知这是均匀分布 利用傅里叶变换公式 可知这是均匀分布 1 55 10 0 x f x 其他 0E X 2 1025 123 Var X 22 25 3 E XVar XEX 29 利用傅立叶变换推导均匀分布的特征函数 利用傅立叶变换推导均匀分布的特征函数 解 由于解 由于 f x是宽度为是宽度为ba 高度为 高度为 1 ba 中心在 中心在 2 ab 处的矩形函数 其傅立叶变换处的矩形函数 其傅立叶变换 为为 2 2sin 21 jv a b v ba F ve bav 2 sin 2 2 jvbjva jv a b X v baee vFve v bajv ba 30 31 32 设有高斯随机变量设有高斯随机变量 2 XN 试利用随机变量的矩发生特性证明 试利用随机变量的矩发生特性证明 7 1 1 EX 2 2 222 EX 3 3 323 3EX 解 特征函数为解 特征函数为 22 exp 2 X vj vv 由矩发生性质 由矩发生性质 2 2 22 0 0 e j vv X v EXjjjv 2 22 2 2222222222 0 0 ee j vvj vv X v EXjjjv 2 22 2 33 323222223 0 0 e3 e3 X j vvj vv v EXj jjvjv 2 12 1 2 22 2 2 32 3 掷一枚硬币定义一个随机过程 掷一枚硬币定义一个随机过程 cos 2 t X t t 出现正面 出现反面 设 出现正面 和 出现反面 的概率相等 试求 设 出现正面 和 出现反面 的概率相等 试求 1 1 X t的一维分布函数的一维分布函数 1 2 X Fx 1 X Fx 2 2 X t的二维分布函数的二维分布函数 12 1 2 1 X Fx x 3 3 画出上述分布函数的图形 画出上述分布函数的图形 2 3 2 3 解 解 1 1 X 0 5 X 0 5 0 0 1 1 P P 0 50 5 0 50 5 X 1 X 1 1 1 2 2 P P 0 50 5 0 50 5 一维分布为一维分布为 0 0 0 5 0 5 01 1 1 X x Fxx x 8 0 1 1 0 5 12 1 2 X x Fxx x 2 2 X 1 X 1 X 0 5 X 0 5 1 1 2 2 0 0 0 50 5 0 0 1 1 0 0 0 50 5 二维分二维分布函数为布函数为 1 11 12 1 0 0 011 0 5 1 0 5 212 1 1 2 x xx F x x x 2 22 2 或x P P B n B n 0 0 可知出现概率最大的二进制数据为可知出现概率最大的二进制数据为 B n B n 1 1 又由独立性可得 又由独立性可得 概率达到最大的串为概率达到最大的串为 1 1 1 1 4 4 因为此数据序列各个数据之间相互独立 下一位数据是 因为此数据序列各个数据之间相互独立 下一位数据是 0 0 或或 1 1 与前面的序列 与前面的序列 没有任何关系 所以如果见到没有任何关系 所以如果见到 10101010 后 下一位仍为后 下一位仍为 0 0 或或 1 1 而且仍然有概率 而且仍然有概率 P B n 0 0 2P B n 0 0 2 和和 P B n 1 0 8P B n 1 0 8 2 52 5 2 62 6 2 72 7 设 质 点 运 动 的 位 置 如 直 线 过 程设 质 点 运 动 的 位 置 如 直 线 过 程 0 X tVtX 其 中 其 中 1 1 VN与与 0 0 2 XN 并彼此独立 试问 并彼此独立 试问 1 1 t t 时刻随机变量的一时刻随机变量的一维概率密度函数 均值与方差 维概率密度函数 均值与方差 2 2 它是可预测的随机信号吗 它是可预测的随机信号吗 2 7 2 7 解 解 1 1 独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布 独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布 00 E X tE VtXtE VE Xt 22 00 2D X tDVtXt DVD Xt 所以它的一维概率密度函数为所以它的一维概率密度函数为 2 2 2 1 exp 2 2 2 2 X xt fx t t 2 2 此信号是可预测随机信号此信号是可预测随机信号 2 82 8 假定 假定 1 11 1 的伯努利序列 的伯努利序列 1 2 n In 的取值具有等概特性 试问 的取值具有等概特性 试问 1 1 它的一维概率密度函数 均值与协方差函数 它的一维概率密度函数 均值与协方差函数 2 2 它是可预测的随机信号吗它是可预测的随机信号吗 10 2 8 2 8 解 解 1 1 0 5 1 0 5 1 X fxxx 0 5 1 1 0 n E I 12 12 1 12 1212 2 12 0 1 nn nn n E IE I nn C n nR n nE I I nnE X 2 2 该随机信号不可预测该随机信号不可预测 2 92 9 2 102 10 给定随机过程给定随机过程 X t和常数和常数a 试以 试以 X t的自相关函数来表示差信号的自相关函数来表示差信号 Y tX taX t 的自相关函数 的自相关函数 2 12 10 0 解 解 由题意可得 由题意可得 Y XXXX Rs tE Y s Y t EX saX sX taX t E X sa X taE X sa X tE X s X taE X s X t Rsa taRsa tRs taRs t 2 112 11 两个随机信号两个随机信号 X t Asin X t Asin t t 与与 Y t Bcos Y t Bcos t t 其中 其中 A A 与与 B B 为未知随为未知随 机变量 机变量 为为 0 0 2 2 均匀分布随机变量 均匀分布随机变量 A A B B 与与 两两统计独立 两两统计独立 为常数 试问 为常数 试问 1 1 两个随机信号的互相关函数 两个随机信号的互相关函数 21 ttRXY 2 2 讨论两个随机信号的正交性 互不相关 无关 与统计独立性 讨论两个随机信号的正交性 互不相关 无关 与统计独立性 题题 2 112 11 解 解 1 1 121212 sinsin XY Rt tX t Y tAtBt 1212 1 coscos2 2 ABtttt 1212 1 coscos2 2 ABtttt 因为因为 为为 0 0 至至 2 2 均匀分布随机变量 所以均匀分布随机变量 所以 12 cos20tt 上式上式 1212 1 cos 2 XY Rt tABtt 2 2 如果 如果 E A E A 或或 E B E B 为为 0 0 则 则 12 0 XY Rt t 随机信号 随机信号 X t X t 与与 Y t Y t 正交正交 因为 因为 为为 0 0 至至 2 2 均匀分布随机变量均匀分布随机变量 所以有 所以有 11 sin0X tAt cos0Y tBt 12121212 XYXYXY Ct tRt tX tY tRt t 如果如果 E A E A 或或 E B E B 为为 0 0 则 则 1212 0 XYXY Rt tCt t X t X t 与与 Y t Y t 互不相互不相 关 关 如果如果 E A E A 与与 E B E B 均不为均不为 0 0 则 则 1212 0 XYXY Rt tCt t X t X t 与与 Y t Y t 相关 相关 综上 综上 X t X t 与与 Y t Y t 的正交性与互不相关性等价 的正交性与互不相关性等价 因为随机信号 因为随机信号 X t X t 与与 Y t Y t 中都有随机变量中都有随机变量 所以 所以 X t X t 与与 Y t Y t 一般一般 不会相互独立 不会相互独立 2 122 12 2 132 13 假定正弦电压信号假定正弦电压信号 cosX tAt 其中 其中 A服从均匀分布服从均匀分布 1 1 U 服从均匀分布服从均匀分布 U 它们彼此独立 如果信号施加 它们彼此独立 如果信号施加到到 RCRC 并联电路上 求总的电流信并联电路上 求总的电流信 号及其均方值 号及其均方值 题题 2 13 2 13 解 由电路原理的相关知识可知 解 由电路原理的相关知识可知 总电流总电流 I I 为为cos sin A IwtACwwt R 则 则 22 22 22222 2 22 2 cos sin cos sin 22 sin 1 33 A E IEwtACwwt R AA C EwtwtA C wwt RR C w R 2 142 14 2 152 15 零均值高斯信号零均值高斯信号 X t的自相关函数为的自相关函数为 12 0 5e tt X R 求 求 X t的一维和二维的一维和二维 概率密度 概率密度 题题 2 15 2 15 解 解 1 1 因为因为 0 X mt 0 0 0 5 XXX DtCR 所以一维概率密度函数为 所以一维概率密度函数为 2 2 1 exp 2 2 1 exp X X X X xmt fx t DtDt x 2 2 高斯信号高斯信号 X t X t 的的二维概率密度函数为 二维概率密度函数为 12 1 2 X t X t X t t 1 2 t t 0 0 11121112 21222122 12 12 0 50 5exp 0 5exp0 5 XX XX C t tC t tRt tRt t C t tC t tRt tRt t tt tt C ij C t t 为协方差 则为协方差 则 1 1 2 1 exp 2 2 T f X x C x x t C 2 162 16 2 172 17 2 182 18 某高斯的均值某高斯的均值 2 X mt 协方差 协方差 1212 8cos X Ct ttt 写出当 写出当 1 0t 2 0 5t 和和 3 1t 时的三维概率密度 时的三维概率密度 题题 2 18 2 18 解 由定义得 解 由定义得 11121 21222 12 0 0 0 0 5 0 1 0 5 0 0 5 0 5 0 5 1 1 0 1 0 5 1 1 n n nnnn C t tC t tC t t CCC C t tC t tC t t CCC CCC C t tC t tC t t C 又因为又因为 0 0 0 5 0 5 1 1 8cos 0 8CCC 0 0 5 0 5 1 0 5 0 1 0 5 8cos 0 5 CCCC 0 1 1 0 8cos 1 CC 设设 1 2 3 X t X t X t X t t 1 2 3 t t t 2 2 2 88cos 1 2 8cos1 8cos 1 2 88cos 1 2 8cos18cos 1 2 8 C 则则 1 1 23 2 1 exp 2 2 T f X x Cx x t C 2 192 19 设随机变量设随机变量 X YN C 其中 其中 2 2 23 35 C 求 求 X Y的概率的概率 13 密度和特征函数密度和特征函数 XY u v 题题 2 192 19 解 因为解 因为 2E X 与与 2E Y 2 5 XY DD 而 而 33 2 510 XY Cov X Y D D 于是 于是 2 2 2 5 3 10X YN 则则 X X Y Y 的概率密度函数为的概率密度函数为 22 232221 exp 5 2255 XY xxyy fx y 其特征函数为其特征函数为 22 1 exp 2265 2 XY u vj uvuuvv 3 13 1 随机电压信号随机电压信号 U t在各不同时刻上是统计独立的 而且 一阶概率密度函数是在各不同时刻上是统计独立的 而且 一阶概率密度函数是 高斯的 均值为高斯的 均值为 0 0 方差为 方差为 2 2 试求 试求 1 1 密度函数 密度函数 f u t 1212 f u u t t和和 1212 kk f u uu t tt k k 为任意整数 为任意整数 2 2 U t的平稳性 的平稳性 3 13 1 解 解 1 1 2 1 exp 42 x f u t 22 12 1 2121 12 2 1 exp 44 uu f u uttf u tf u t 2 1 1 212 1 1 exp 4 2 k ik i kkii k i u f u uutttf u t 2 2 由于任意由于任意 k k 阶概率密度函数与阶概率密度函数与 t t 无关 因此它是严平稳的 无关 因此它是严平稳的 3 23 2 3 33 3 3 43 4 已 知 随 机 信号已 知 随 机 信号 X t和和 Y t相 互独 立 且 各 自平 稳 证明 新 的 随 机信 号相 互独 立 且 各 自平 稳 证明 新 的 随 机信 号 Z tX t Y t 也是平稳的 也是平稳的 3 43 4 解 解 X t与与 Y t各自平稳 设各自平稳 设 X m E X t Y m E Y t X X X REtt Y Y Y REtt 14 Z Z Y XY mtEtE X ttE X tE Y tm m 为常数 为常数 Z Z Y Y X Y Z XYZ RttEttE X ttX tt EtX tEtY tRRR Z R 仅与仅与 有关 故有关 故Z t Y X tt也是平稳过程 也是平稳过程 3 53 5 随机信号随机信号 0 10sinX tt 0 为确定常数 为确定常数 在在 上均匀分布的上均匀分布的 随机变量 若随机变量 若 X t通过平方律器件 得到通过平方律器件 得到 2 Y tXt 试求 试求 1 1 Y t的均值 的均值 2 2 Y t的相关函数 的相关函数 3 3 Y t的广义平稳性 的广义平稳性 3 53 5 解 解 1 1 22 00 Y X 100sin 50 1 cos 22 50EtEtEtEt 22 22 000 000 0 2 Y Y X X 100sin 100sin 2500 1 cos 2 cos 424 2500 1 cos 2 Y RttEttEtt Ett Et E Z R 仅与仅与 有关 且均值为常数 故有关 且均值为常数 故Y t是平稳过程 是平稳过程 3 63 6 给定随机过程给定随机过程 00 cossinX tAtBt 其中 其中 0 是常数 是常数 A和和B是两个是两个 任意的不相关随机变量 它们均值为零 方差同为任意的不相关随机变量 它们均值为零 方差同为 2 证明 证明 X t是广义平稳而不是严格是广义平稳而不是严格 平稳的 平稳的 3 63 6 证明 证明 X00 X cos sin 0mtEtE AtBt 000000 22 000000 22 000000 2 0 X X cos sin cos sin cos cos sin sin 11 cos 2 cos cos cos 2 22 cos X RttEtt EAtBtAtBt E AttBtt EtEt 由于均值是常数 且相关函数只与由于均值是常数 且相关函数只与 有关 故有关 故X t是广义平稳过程 是广义平稳过程 15 1 0 2 00 12B 2 X 2 X 2 X XAX ttA ttB fx tfxfx tfx t 取时 取 时 显然不一定等于 不是严格平稳的 3 73 7 Y t是广义周期平稳的实随机信号 平稳周期为是广义周期平稳的实随机信号 平稳周期为 100100 有均值 有均值 10 20m 和相关和相关 函数函数 5 1 10R 试求 试求 1 1 5 110 E Y 10 310 50 EY 2 2 105 101 E YY 30 205 201 200 EYY 3 3 10 305 301 6 210 80 EYYY 3 73 7 解 解 Y 1 5Y 110 5 Y 10 5 10 5 20100 10Y 310 50 10 Y 10 50250 2 Y 105 Y 101 Y 5 Y 1 5 1 10 30Y 205 Y 201 200 30 Y 5 Y 1 200500 3 10Y 305 Y 301 6Y 210 8 t EEm EE EER EE E 是广义周期平稳随机信号 0 10 5 1 6 10 80300Rm 3 83 8 3 93 9 两个统计独立的平稳随机过程两个统计独立的平稳随机过程 X t和和 Y t 其均值都为其均值都为 0 0 自相关函数分别为自相关函数分别为 e X R cos2 Y R 试求试求 1 1 Z tX tY t 的自相关函数 的自相关函数 2 2 W tX tY t 的自相关函数 的自相关函数 3 3 互相关函数 互相关函数 ZW R 3 93 9 解 解 1 Z Z X Y X Y X X Y Y cos 2 Z XY RttEttEtttt EttEttRRe 2 W W X Y X Y X X Y Y cos 2 W XY RttEttEtttt EttEttRRe 16 3 W Z X Y X Y X Y 0 cos 2 ZW XYXYYX XYYX ZWXY RttEttEtttt RRRR ttRR RttRRe 又由于与零均值相互独立 同时彼此正交 则 3 103 10 3 113 11 3 123 12 广义平稳随机过程广义平稳随机过程 Y t的自相关函数矩阵如下 试确定矩阵中带下划线的空白处的自相关函数矩阵如下 试确定矩阵中带下划线的空白处 元素的值 元素的值 21 30 4 21 20 8 0 41 2 1 1 0 9 2 3 123 12 解 根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性 得到 解 根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性 得到 C C 21 30 40 9 1 321 20 8 0 41 221 1 0 90 81 12 3 133 13 3 143 14 对于两个零均值广义平稳随机过程对于两个零均值广义平稳随机过程 X t和和 Y t 已知 已知 2 5 X 2 10 Y 问下 问下 述函数可否作为自相关函数 为什么 述函数可否作为自相关函数 为什么 1 1 5exp3 X Ru 2 2 5sin 5 X R 3 3 1 2 9 1 2 Y R 4 4 cos 6exp Y R 5 5 2 sin 3 5 3 X R 6 6 sin 10 64 10 Y R 6 6 5exp X R 7 7 2 64exp 3 Y R 解 根据平稳随机信号相关函数的性质 解 根据平稳随机信号相关函数的性质 1 1 否 非偶函数否 非偶函数 2 2 否 非偶函数否 非偶函数 3 3 否 否 2 0 9 YY R 4 4 否 否 0 1 Y R 在原点不是非负在原点不是非负 17 5 5 是是 6 6 是是 7 7 是是 8 8 是是 3 153 15 3 163 16 已 知 随 机 过 程已 知 随 机 过 程 X t和和 Y t独 立 且 各 自 平 稳 自 相 关 函 数 为独 立 且 各 自 平 稳 自 相 关 函 数 为 0 2cos X Re 与与 2 9exp 3 Y R 令随机过程 令随机过程 Z tAX t Y t 其中 其中 A A 是均值为是均值为 2 2 方差为 方差为 9 9 的随机的随机变量 且与变量 且与 X t和和 Y t相互独立 求过程相互独立 求过程 Z t的均值 方差的均值 方差 和自相关函数 和自相关函数 解 解 2 Z t E Z tE A X tY t E A E X tE Y t E X tE Y t 的均值 2 0 2cos lim00 0 XXX mRm e E Z t 2 2 2 3 0 13 13 26cos 9 z XY Z t R s tE A X s Y sX tY t E AE X s Y sX tY t E X sX tE Y s Y t RRee 的相关函数 0 26 10260 X Z t D Z tR 的方差 3 173 17 3 183 18 3 193 19 平稳信号平稳信号 X t X t 的功率谱密度为的功率谱密度为 1 1 2 42 32 X S 2 2 108 20 1 10 100 S 求它们的自相关函数和均方值 求它们的自相关函数和均方值 解 解 1 1 2 4222 2 12 3212 11 22 X IFT X S eeR 18 11 0 22 X R 2 2 根据傅立叶变换的对称性 有根据傅立叶变换的对称性 有 2 2 4sin 820 2 10 22 X T RT T 其中 2 4 XX Rm 20 D x tT 0 204 X R 3 203 20 3 213 21 下述函数哪些是实随机信号功率谱的正确表达式 为什么 下述函数哪些是实随机信号功率谱的正确表达式 为什么 1 1 2 sin 2 2 2 62 33 3 3 2 4 1 4 4 4 62 1 j 5 5 42 21 6 6 2 1 e 3 21 3 21 判断的原则 实平稳信号功率谱是实的 非负的偶函数 判断的原则 实平稳信号功率谱是实的 非负的偶函数 1 1 是 是 2 2 是 是 3 3 不是 不是 0 时值为负数 时值为负数 4 4 不是 功率谱为复数 与判断原则相悖 不是 功率谱为复数 与判断原则相悖 5 5 是 是 6 6 不是 因为它不是偶函数 不是 因为它不是偶函数 3 223 22 X t 是平稳随机过程 证明过程是平稳随机过程 证明过程 Y tX tTX t 的功率谱是的功率谱是 2 1 cos YX SST 3 22 3 22 Y Y t REX tTX tX tTX t E X tTX tTX tX tX tX tTX tTX t 的相关函数 2 2 2 1 cos XXX FTj Tj T xxxx RRTRT SSeSeST 3 233 23 19 3 243 24 设两个随机过程设两个随机过程 X t X t 和和 Y t Y t 联合平稳 其互相关函数为联合平稳 其互相关函数为 00 09 3 e RXY 求互谱密度求互谱密度 XY S 与与 YX S 3 243 24 9 3 9 3 FT XYXY YXXY RS j SS j 3 253 25 设随机过程设随机过程 1 n ii i X ta X t 式中式中 i a是一组实常数 而随机是一组实常数 而随机过程过程 tXi为平稳为平稳 的和彼此正交的 试证明 的和彼此正交的 试证明 2 1 i n XiX i Sa S 3 253 25 22 1111 i i nnnn Xt XiiiiiiiiX iiii REa X ta X sEa X tX sa R 相互正交 2 1 i n FT iX i a S 3 313 31 假定周期为假定周期为 T T 高为高为 A A 的锯齿波脉冲串具有随机相位 如题图的锯齿波脉冲串具有随机相位 如题图 3 313 31 所示 所示 它在它在0t 时刻以后出现的第一个零值时刻是时刻以后出现的第一个零值时刻是 0 T均匀分布的随机变量均匀分布的随机变量 试说明 试说明 X t的的一阶密度函一阶密度函 数为数为 1 0 0 0 AxT f x t xT t X t 0 0 tT 题图题图 3 313 31 3 313 31 20 0 1 0 0 1 0 0 A X tTt T T TX tth x A UT xT fxT f h xh xxT f t xA 已知 其它 其它 4 14 1 随机信号随机信号 1 Y t与与 2 Yt的实测样本函数如下题图的实测样本函数如下题图 4 1 a 4 1 a 与与 b b 所示 试说明它们所示 试说明它们 是否均值各态历经 是否均值各态历经 a a b b 题图题图 4 1 4 1 解 由均值各态历经信号的物理意义 只要观测的时解 由均值各态历经信号的物理意义 只要观测的时间足够长 每个样本函数都将经历信间足够长 每个样本函数都将经历信 号的各个状态 结合题图可见 号的各个状态 结合题图可见 a a 不可能是均值各态历经信号 不可能是均值各态历经信号 b b 很可能是均值各态 很可能是均值各态 历经信号历经信号 4 24 2 随机二元传输信号如例随机二元传输信号如例 3 163 16 所述 试分析它的均值各态历经性 所述 试分析它的均值各态历经性 解 由例解 由例 3 163 16 随机二元传输信号的协方差函数为 随机二元传输信号的协方差函数为 41 0 Y pqT CT T 又根据充分条件为 又根据充分条件为 lim0C 且 且 04Cpq 因此 它是均值各态历经信号 因此 它是均值各态历经信号 4 34 3 4 44 4 随机信号随机信号 X t与与 Y t是是联合联合广义各态历经的 试分析信号广义各态历经的 试分析信号 Z taX tbY t 的各态历经性 其中的各态历经性 其中 a a 与与 b b 是常数 是常数 解 由题意 均方意义下有 解 由题意 均方意义下有 A Z taA X tbAY taEX tbEY tEZ t 21 22 22 Z A Z tZ ta A X tX tb A Y tY t abA X tY tabA Y tX t a E X tX tb E Y tY t abE X tY tabE Y tX t R 因此 因此 Z t是均值各态历经信号是均值各态历经信号 4 54 5 4 64 6 随机过程随机过程 sincosX tAtBt 式中 式中 A A 和和 B B 为零均值随机变量 求证为零均值随机变量 求证 X t 是是 均值各态历经的 而均方值无各态历经性 均值各态历经的 而均方值无各态历经性 解 由题意 首先 解 由题意 首先 sincos0 sin cos 0 EX tEAtEBt A X tAAtBAt 而而 222222222 sincos2sin cossincossin2XtAtBtABttAtBtABt 222222222 sincossin2sincosE XtEAtEBtEA EBtEAtEBt 22 22222 sin cos sin2 2 AB A XtAAtBAtABAt 显然 显然 EX tA X t 但 但 22 EXtA Xt 5 15 1 求题图求题图 5 15 1 中三个电路的传输函数 不考虑输出负载 中三个电路的传输函数 不考虑输出负载 R R C 1 C 2 C 1 C 2 C 1 R 2 R 题图题图 5 15 1 解根据电路分析 信号与系统的知识 解根据电路分析 信号与系统的知识 第一个图中系统的传输函数第一个图中系统的传输函数 1 1 1 1 j C H j Rj Cj RC 第二个图中系统地传输函数第二个图中系统地传输函数 21 1 12 2 1 1 1 1 1 1 j Cj RC H j R j C j R CC j C Rj C 第三个图中系统地传输函数第三个图中系统地传输函数 22 22 222121 1122 121212 1122 1 1 1 Rj C Rj CRj R R C H j Rj CRj C RRj R RCC Rj CRj C 5 25 2 若平稳随机信号若平稳随机信号 tX的自相关函数的自相关函数 2 BeARX 其中 其中 A A和和B B都是正常都是正常 数 又若某系统冲击响数 又若某系统冲击响应为应为 wt h tu t te 当 当 tX输入时 求该系统输出的均值 输入时 求该系统输出的均值 解 解 因为因为 22 X EXRA 所以所以 E XAA 2 0 wt A E Y tEhX tdE X thdAtedt w 5 35 3 5 45 4 若输入信号若输入信号 00 cos X tXt 作用于正文图作用于正文图5 25 2所示所示RCRC电路 其中电路 其中 0 X为为 0 1 0 1 上均匀分布的随机变量 上均匀分布的随机变量 为为 0 2 0 2 上均匀分布的随机变量 并且上均匀分布的随机变量 并且 0 X与与 彼此独立 求输出彼此独立 求输出 信号信号 Y t Y t 的功率谱与相关函数 的功率谱与相关函数 解 首先我们求系统的频率响应解 首先我们求系统的频率响应 H j 根据电路分析 信号与系统的知识 根据电路分析 信号与系统的知识 1 11 1 1 t RC j C H jh teu t Rj Cj RCRC 然后 计算然后 计算 tX的均值与自相关函数 的均值与自相关函数 1 2 X mE X t 0000 coscos X Rt tEXtXt 0 1 3 1 2cos 可见可见 tX是广义平稳的 考虑系统稳态时的解 可利用推论得出是广义平稳的 考虑系统稳态时的解 可利用推论得出 2 00 2 00 222 0 21 321 2 2 1 3 YX SSH j RC R C 于是 于是 0 222 0 1 cos1 3 2 1 Y R R C 5 55 5 5 65 6 设某积分电路输入输出之间满足以下关系设某积分电路输入输出之间满足以下关系 t t T Y tXd 式中 式中 T T 为积分时间 并设输入输出都是平稳过程 求证输出功率谱为积分时间 并设输入输出都是平稳过程 求证输出功率谱密度为密度为 23 2 2 4 sin 2 X Y ST S 提示 提示 Y tX th t 而 而 h tu tu tT 是矩形方波 是矩形方波 解 因为解 因为 t t T Y tXd 所以所以 Y tX th t h tu tu tT 而而 2 2sin 2 j tj T Hjh t edte 所以所以 2 2 2 4sin 2 T Hj 所以所以 2 YX SSH j 2 2 4 sin 2 X ST 5 75 7 5 85 8 5 95 9 5 105 10 若线性时不变系统的输入信号若线性时不变系统的输入信号 X t是均值为零的平稳高斯随机信号 且自相关函数是均值为零的平稳高斯随机信号 且自相关函数 为为 X R 输出信号为 输出信号为 Y t 试问系统 试问系统 h t要具备什么条件 才能使随机变量要具备什么条件 才能使随机变量 1 X t与与 1 Y t互相独立 互相独立 解 解 由于输入信号由于输入信号 X t是均值为零的平稳高斯随机信号 所以通过线性时不变系统后是均值为零的平稳高斯随机信号 所以通过线性时不变系统后 Y t 仍然是均值为零的平稳高斯随机信号 且仍然是均值为零的平稳高斯随机信号 且 X t和和 Y t是高斯联合平稳过程 是高斯联合平稳过程 如果如果 1 X t与与 1 Y t相互独立 则相互独立 则 11 X tY t 0 0 XY ER 而 而 XYX RRhh 因此 因此 h t要满足要满足 00h 5 115 11 若功率谱为若功率谱为 5W Hz5W Hz 的平稳白噪声作用到冲击响应为的平稳白噪声作用到冲击响应为 e at h tu t 的系统上 求的系统上 求 系统的均方值与功率谱密度 系统的均方值与功率谱密度 解 由题知 解 由题知 1 Hj ja 所以 所以 2 22 5 5 Y SHj a 而 输 出 过 程 的 自 相 关 函 数而 输 出 过 程 的 自 相 关 函 数 15 22 aj YY RSede a 于 是 于 是 2 5 0 2 Y E YtR a 5 125 12 24 5 135 13 功率谱为功率谱为 0 2N的白噪声作用到的白噪声作用到 0 2H 的低通网络上 网络的等效噪声带宽的低通网络上 网络的等效噪声带宽 为为 2MHz2MHz 若噪声输出平均功率是 若噪声输出平均功率是 0 10 1 瓦 求瓦 求 0 N的值 的值 解 解 由由 2 0 00 1 N N BH 得 得 8 02 6 0 10 1 1 25 10 2 104 0 N N BH 瓦 瓦 Hz Hz 5 145 14 5 155 15 5 165 16 已知平稳随机信号的相关函数为已知平稳随机信号的相关函数为 1 1 2 1 1 1 0 X X R 2 2 2 XX Re 求它们的矩形等效带宽 求它们的矩形等效带宽 解 解 1 1 因为 因为 X R 是三角函数 所以 由几何图形易知 是三角函数 所以 由几何图形易知 2 eq B 2 2 2 22 2 j X XX SRed 所以所以 2 2 0 0 01 22044 XX X eq XXX SR Bd SS 6 6 1 1 复随机过程复随机过程 0 jt Z te 式中 式中 0 为常数 为常数 是在是在 0 2 上均匀分布的随机变量 上均匀分布的随机变量 求 求 1 1 E Z tZ t 和和 E Z tZ t 2 2 信号的功率谱 信号的功率谱 解 解 1 1 00 00 2 0 1 2 1 2 jtjt jj E Z tZteed ede 00 0 0 2 2 2 0 2 2 2 0 1 2 1 2 1 2 0 jtjt jt jtj E Z tZ teed ed eed 2 2 0 0 2 ZZ j SF RF E Z tZt F e 25 6 26 2 6 3 6 3 6 4 6 4 已知已知 a t的频谱为实函数的频谱为实函数 A 假定 假定 时 时 0A 且满足 且满足 0 试 试 比较比较 1 1 0 cosa tt 和和 0 1 2 exp a tjt 的傅立叶变换 的傅立叶变换 2 2 0 sina tt 和和 0 2 exp ja tjt 的傅立叶变换 的傅立叶变换 3 3 0 cosa tt 和和 0 sina tt 的傅立叶变换 的傅立叶变换 解 解 由傅立叶变换的定义可以得到 由傅立叶变换的定义可以得到 1 1 0 000 0 cos 1 2 FT jtFT a ttAA a t eA 0 1 2 jt a t e 的傅立叶变换是的傅立叶变换是 0 cosa tt 的傅立叶变换的正频率部分 的傅立叶变换的正频率部分 2 2 0 000 0 sin 2 FT jtFT a ttAA j j a t eA j 0 2 jt j a t e 的傅立叶变换是的傅立叶变换是 0 sina tt 的傅立叶变换的正频率部分 的傅立叶变换的正频率部分 3 3 0 cosa tt 和和 0 sina tt 的傅立叶变换是希尔伯特变换对 的傅立叶变换是希尔伯特变换对 6 56 5 6 6 6 6 6 6 7 7 若零均值平稳窄高斯随机信号若零均值平稳窄高斯随机信号 X t的功率谱密度如的功率谱密度如题