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1 第一章 电路模型和电路定律 电路理论主要研究电路中发生的电磁现象 用电流 i 电压 u 和功率 p 等物 理量来描述其中的过程 因为电路是由电路元件构成的 因而整个电路的表现如 何既要看元件的联接方式 又要看每个元件的特性 这就决定了电路中各支路电 流 电压要受到两种基本规律的约束 即 1 电路元件性质的约束 也称电路元件的伏安关系 VCR 它仅与元件 性质有关 与元件在电路中的联接方式无关 2 电路联接方式的约束 亦称拓扑约束 这种约束关系则与构成电路的 元件性质无关 基尔霍夫电流定律 KCL 和基尔霍夫电压定律 KVL 是概括 这种约束关系的基本定律 掌握电路的基本规律是分析电路的基础 1 1 说明图 a b 中 1 u i 的参考方向是否关联 2 ui 乘积表示 什么功率 3 如果在图 a 中 u 0 i0 i 0 元件实际发 出还是吸收功率 解 1 当流过元件的电流的参考方向是从标示电压正极性的一端指向负极 性的一端 即电流的参考方向与元件两端电压降落的方向一致 称电压和电流的 参考方向关联 所以 a 图中 u i 的参考方向是关联的 b 图中 u i 的参考 方向为非关联 2 当取元件的 u i 参考方向为关联参考方向时 定义 p ui 为元件吸收 的功率 当取元件的 u i 参考方向为非关联时 定义 p ui 为元件发出的功率 所以 a 图中的 ui 乘积表示元件吸收的功率 b 图中的 ui 乘积表示元件发出 的功率 3 在电压 电流参考方向关联的条件下 代入 u i 数值 经计算 若 p ui 0 表示元件确实吸收了功率 若 p0 i 0 则 p ui0 为 正值 表示元件确实发出功率 若 p0 i 0 有 p ui 0 表示元件实际发出功率 1 2 若某元件端子上的电压和电流取关联参考方向 而 u 170 cos 100 t PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 2 V i 7 sin 100 t A 求 1 该元件吸收功率的最大值 2 该元件发出 功率的最大值 解 p t u t i t 170 cos 100 t 7 sin 100 t 595 sin 200 t 1 时 元件吸收最大功率 pmax 595 W 2 当 sin 200 t 0 时 p t 0 为发出功率 pB 60 1 60 W 0 为吸收功率 pC 60 2 120 W 0 为吸收功率 pD 40 2 80 W 0 为吸收功率 pE 20 2 40 W 0 为吸收功率 电路吸收的总功率 p pB pD pC pE 60 120 80 40 300 W 即 元件 A 发出的总功率等于其余元件吸收的总功率 满足功率平衡 注 以上三题的解答说明 在电路中设电压 电流参考方向是非常必要的 在计算一段电路或一个元件的功率时 如果不设电流 电压的参考方向 就无法 判断该段电路或元件是发出还是吸收功率 此外还需指出 对一个完整的电路来说 它产生 或发出 的功率与吸收 或 消耗 的功率总是相等的 这称为功率平衡 功率平衡可以做为检验算得的电路 中的电压 电流值是否正确的一个判据 1 4 在指定的电压 u 和电流 i 参考方向下 写出各元件 u 和 i 的约束方程 元 件的组成关系 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 3 解 a 图为线性电阻元件 其电压 电流关系满足欧姆定律 需要明确的 是 1 欧姆定律只适用于线性电阻 2 如果电阻 R 上的电流 电压参考方 向非关联 欧姆定律公式中应冠以负号 即 u t Ri t 由以上两点得 a 图电阻元件 u 和 i 的约束方程为 u Ri 10 103i 欧姆定律表明 在参数值不等于零 不等于无限大的电阻上 电流与电压是 同时存在 同时消失的 即电阻是无记忆元件 也称即时元件 b 图为线性电感元件 其电压 电流关系的微分形式为 dt tdi Ltu 如果电压 电流参考方向非关联 上式中应冠以负号 所以 b 图电感元件 u 和 i 的约束方程为 dt di u 3 1020 电感元件的电压 电流微分关系表明 1 任何时刻 其电压与该时刻的电 流变化率成正比 显然直流时 电感电压为零 电感相当于短路 因此 电感是 一个动态元件 2 当电感上的电压为有限值时 电感中的电流不能跃变 应是 时间的连续函数 c 图为线性电容元件 其电压 电流关系的微分形式为 dt tdu Cti 如果电压 电流的参考方向非关联 上式中应冠以负号 即 dt tdu Cti 所 以 b 图电容元件 u 和 i 的约束方程为 dt du dt du i 56 101010 电容元件的电压 电流微分关系表明 1 任何时刻 通过电容的电流与该 时刻其上的电压变化率成正比 即电容是一个动态元件 显然直流时 电容电流 为零 电容相当于开路 2 当电容上的电流为有限值时 电容上的电压不能跃 变 必须是时间的连续函数 d 图是理想电压源 理想电压源的特点为 1 其端电压与流经它的电 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 4 流方向 大小无关 2 其电压由它自身决定 与所接外电路无关 而流经它的 电流由它及外电路所共同决定 由以上特点得 d 图的约束方程为 u 5 V e 图是理想电流源 理想电流源的特点为 1 其发出的电流 i t 与 其两端电压大小 方向无关 2 其输出电流由它自身决定 与所接外电路无关 而它两端电压由它输出的电流和外部电路共同决定 由以上特点得 e 图的约 束方程为 i 2 A 注 以上五个理想元件是电路分析中常遇到的元件 元件电压 电流的约束 方程 反映了每一元件的特性和确定的电磁性质 不论元件接入怎样的电路 其 特性是不变的 即它的 u i 约束方程是不变的 因而深刻地理解和掌握这些方 程 就是掌握元件的特性 对电路分析是非常重要的 1 5 图 a 电容中电流 i 的波形如图 b 所示 现已知 uC 0 0 试求 t 1 s 时 t 2 s 和 t 4 s 时的电容电压 解 已知电容的电流 i t 求电压 u t 时 有 di C tudi C di C tu t t t t t 1 1 1 00 0 0 式中 u t0 为电容电压的初始值 本题中电容电流 i t 的函数表示式为 210 205 00 t tt t ti 根据 u i 积分关系 有 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 5 Vttdt dtti C uust CC 25 1 2 5 2 1 5 2 1 0 1 0 1 1 1 0 2 1 0 1 0 时 Vttdt dtti C uust CC 5 2 5 2 1 5 2 1 0 1 0 2 2 2 0 2 2 0 2 0 时 Vttdt dtti C uust CC 5 2 5 2 1 5 2 1 0 1 0 4 4 4 0 2 4 0 4 0 时 注 电容元件 u i 关系的积分形式表明 t 时刻的电压与 t 时刻以前的电流 的 全部历史 有关 即电容有 记忆 电流的作用 故电容是有记忆的元件 因此在计算电容电压时 要关注它的初始值 uC t0 uC t0 反映了电容在初始 时刻的储能状况 也称为初始状态 电感元件也具有类似的性质 参见 1 6 题 1 6 图 a 中 L 4 H 且 i 0 0 电压的波形如图 b 所示 试求当 t 1 s t 2 s t 3 s 和 t 4 s 时的电感电流 i 解 电感元件 u i 关系的积分形式为 du L titi t t 1 0 0 上式表明 电感元件有 记忆 电压的作用 也属于记忆元件 式中 i t0 为电感电流的初始值 反映电感在初始时刻的储能状况 本题中电感电压的函数表示式为 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 6 t tt t t t tu 40 434010 320 2010 00 应用 u i 积分关系式 有 Atdt dttu L iist 5 2 10 4 1 10 4 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 时 Atdt dttu L iist 5 10 4 1 5 210 4 1 5 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 时 Adtdttu L iist50 4 1 5 1 2 3 3 3 2 3 2 时 Adttdttu L iist75 3 4010 4 1 5 1 3 4 4 4 3 4 3 时 1 7 若已知显像管行偏转线圈中的周期性行扫描电流如图所示 现已知线圈电 感为 0 01H 电阻略而不计 试求电感线圈所加电压的波形 解 电流 i t 的函数表示式为 stt stt ti 6460 1064 103 60010 60 2 1 65 6 根据电感元件 u i 的微分关系 得电压的函数表示式为 st st dt tdi tu 6460103 600102 01 0 3 2 u t 的波形如题解 1 7 图 说明电感的电压可以是时间的间断函数 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 7 1 8 2 F 的电容上所加电压 u 的波形如图所示 求 1 电容电流 i 2 电 容电荷 q 3 电容吸收的功率 p 解 1 电压 u t 的函数表示式为 mst mstt mstt t tu 40 42104 2010 00 3 3 根据电容元件 u i 的微分关系 得电流 i t 的函数表示式为 mst mst mst t dt tdu ti 40 42102 20102 00 102 3 3 6 2 因为 u q C 所以有 t mstt mstt t tCutq 40 42 104 102 20102 00 36 3 3 在电压电流参考方向关联时 电容元件吸收的功率为 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 8 0 表示电容吸收功率 处于充电状态 其电压和电荷随时间增加 p t 0 和 p t 0 时的 uR uL和 uC值 解 根据 R L 和 C 的 u i 关系有 1 若Ati 3 2sin2 则有 VtttRituR 3 2sin 4 3 2sin 22 Vtt dt tdi LtuL 3 2cos 42 3 2cos 21 Vtddi C utu tt CC 3 2cos 10050 3 2sin 2 01 0 1 0 1 0 00 2 若 i e tA 则有 VetRitu t R 2 Vee dt tdi Ltu tt L 1 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 9 Vededi C utu t tt CC 1 100 01 0 1 1 0 00 1 10 电路如图所示 设 at sms IetitUtu cos 试求 tuL和 2 tiC 解 可以看出 流过电感的电流等于电流源的电源 is 电容 C2上的电压为 us 故由 L C 元件的 u i 约束方程可得 VeLILIe dt tdi Ltu atats L VtUCtUC dt tdu Cti mm s C sin sin 22 2 1 11 电路如图所示 其中 is 2A us 10 V 1 求 2 A 电流源和 10 V 电压源的功率 2 如果要求 2 A 电流源的功率为零 在 AB 线段内应插入何种元件 分 析此时各元件的功率 3 如果要求 10 V 电压源的功率为零 则应在 BC 间并联何种元件 分析 此时各元件的功率 解 1 电流源发出功率 p usis 10 2 20 W 电压源吸收功率 p usis 10 2 20 W 2 若要 2 A 电流源的功率为零 则需使其端电压为零 在 AB 间插入 Vus10 电压源 极性如题解图 a 所示 此时 电流源的功率为 p 0 is 0 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 10 插入的电压源发出功率 20 W 原来的电压源吸收功率 20 W 3 若要 10 V 电压源的功率为零 则需使流经电压源的电流为零 可以采 取在 BC 间并联Ais2 的电流源 如题解图 b 所示 或并联 R us is 10 2 5 的电阻 如题解图 c 所示 题解图 b 中 因 ss ii 由 KCL 可知 流经 us的电流为零 所以 us 的 功率为零 原电流源发出功率 p usis 10 2 20 W 并入的电流源吸收功率 Wiup ss 20210 题解图 c 中 流经电阻的电流为 A R u i s R 2 5 10 由 KCL 可知 流经 us的电流为零 因此 us的功率为零 此时 电流源发 出功率 p usis 10 2 20 W 电阻消耗功率 W R u p s 20 5 102 2 注 本题说明 计算理想电源的功率 需计算理想电流源的端电压值和流经 理想电压源的电流值 而电流源的端电压可以有不同的极性 流经电压源的电流 可以有不同的方向 它们的数值可以在 0 之间变化 这些变化取决于外接电 路的情况 因此 理想电源可以对电路提供能量 起电源作用 也可以从外电 路接收能量 充当其它电源的负载 1 12 试求图示电路中每个元件的功率 解 a 图中 由于流经电阻和电压源的电流为 0 5 A 所以电阻消耗功率 PR RI2 2 0 52 0 5 W 电压源吸收功率 PU USIS 1 0 5 0 5 W 由于电阻电压 UR RI 2 0 5 1 V 得电流源端电压 U UR US 1 1 2 V PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 11 电流源发出功率 PI ISU 0 5 2 1 W b 图中 2 电阻的电压 UR 2 1 1 V 所以有 A U I R 5 0 2 1 2 1 AI1 1 1 2 由 KCL 得 I3 I1 I2 0 5 1 0 5 A 故 2V 电压源发出功率 P 2 I1 2 0 5 1 W 1 V 电压源发出功率 P 1 I3 1 0 5 0 5 W 2 电阻消耗功率 WIP5 05 022 22 1 1 电阻消耗功率 WIP1111 22 2 1 13 试求图中各电路的电压 U 并讨论其功率平衡 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 12 解 应用 KCL 先计算电阻电流 IR 再根据欧姆定律计算电阻电压 从而得 出端电压 U 最后计算功率 a 图中 IR 2 6 8 A U UR 2 IR 2 8 16 V 所以输入电路的功率为 P U 2 16 2 32 W 电流源发出功率 PI 6 U 6 16 96 W 电阻消耗功率 WIP RR 128822 22 显然 P PI PR 即输入电路的功率和电源发出的功率都被电阻消耗了 b 图中 IR 6 2 4 A U UR 2 IR 2 4 8 V 所以输入电路的功率为 P U 2 8 2 16 W 电流源发出功率 PI 6 U 6 8 48 W 电阻消耗功率 WIP RR 32422 22 显然仍满足 P PI PR 实际上电源发出的功率被电阻消耗了 32 W 还有 16 W 输送给了外电路 c 图中 IR 2 4 2 A U UR 3 IR 3 2 6 V 则输入电路的功率为 P U 2 6 2 12 W 电流源发出功率 PI 4 6 24 W 电阻消耗功率 WIP RR 128822 22 即满足 P PI PR d 图中 IR 5 3 2 A U UR 4 IR 4 2 8 V 各部分功率分别为 P U 5 8 5 40 W PI 3 U 3 8 24 W WIP RR 16244 22 仍满足 P PI PR 1 14 电路如图所示 试求 1 电流 i1和 uab 图 a 2 电压 ucb 图 b 解 a 受控电流源的电流为 Aii2 5 10 9 0 1 所以 Ai222 2 9 0 2 1 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 13 Viiiu abab 899 0 9 20 1 04 9 0 44 11 解 b 因为 u1 2 5 10 V 故受控电流源的电流为 i 0 05u1 0 05 10 0 5 A 而 uac 20 i 20 0 5 10 V uab 3 V 所以 ucb uac uab 10 3 13 V 注 本题中出现了受控源 对受控源需要明确以下几点 1 受控源是用来表征在电子器件中所发生的物理现象的一种模型 是大 小和方向受电路中其它地方的电压或电流控制的电源 在电路中 受控源与独立 源本质的区别在于受控源不是激励 它只是反映电路中某处的电压或电流控制另 一处的电压或电流的关系 2 受控源分受控电压源和受控电流源两类 每一类又分电压控制和电流 控制两种 计算分析有受控源的电路时 正确地识别受控源的类型是很重要的 3 求解含有受控源的电路问题时 从概念上应清楚 受控源亦是电源 因此在应用 KCL KVL 列写电路方程时 先把受控源当作独立源一样看待来列 写基本方程 然后注意受控源受控制的特点 再写出控制量与待求量之间的关系 式 1 15 对图示电路 1 已知图 a 中 R 2 i1 1 A 求电流 i 2 已知图 b 中 us 10 V i1 2 A R1 4 5 R2 1 求 i2 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 14 解 a 对图中右边的回路列 KVL 方程 顺时针方向绕行 有 Ri 10 5i1 0 则 A R i i5 7 2 1510510 1 解 b 电阻 R1两端的电压为 ViRuR925 4 11 1 对左边回路列 KVL 方程有 0 1 1 uuu sR 则 Vuuu Rs 1910 1 1 从图中右边回路的 KVL 方程得 03 1 122 R uuiR A R uu i R 6 1 139 3 2 1 2 1 注 本题求解中主要应用了 KVL KVL 是描述回路中各支路 或各元件 电压之间关系的 它反映了保守场中做功与路径无关的物理本质 应用 KVL 列 回路电压方程时 应注意 1 首先要指定回路中各支路或元件上的电压参考方 向 然后指定有关回路的绕行方向 顺时针或逆时针均可 2 从回路中任一 点开始 按所选绕行方向依次迭加各支路或元件上的电压 若电压参考方向与回 路绕行方向一致 则该电压取正值 否则取负值 1 16 对图示电路 若 1 R1 R2 R3值不定 2 R1 R2 R3 在以上两种情况下 尽可能多地确定其它各电阻中的未知电流 解 设定各电阻中未知电流的参考方向如图所示 1 若 R1 R2 R3值不定 i1 i2 i3不能确定 对图中所示闭合面列 KCL PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 15 方程 根据流进的电流等于流出的电流有 i4 3 4 6 1 A 对 A 点列 KCL 方程 可以解得 i5 i4 2 10 1 2 10 13 A 2 若 R1 R2 R3 对右边回路和 B C 结点列 KVL 和 KCL 方程 有 4 3 0 32 21 332211 ii ii iRiRiR 把方程组整理 代入 R1 R2 R3的条件 得 4 3 0 32 21 321 ii ii iii 应用行列式法解上面方程组 10 114 013 110 3 110 011 111 1 11 410 311 011 1 140 031 101 42 所以 AiAiAi 3 11 3 1 3 10 3 3 2 2 1 1 i4 i5的值同 1 注 从本题的求解过程中可以看出 KCL 是描述支路电流之间关系的 而与 支路上元件的性质无关 KCL 实质是反映电荷守恒定律 因此 它不仅适用于 电路中的结点 对包围部分电路的闭合面也是适用的 应用 KCL 列写结点或闭 曲面电流方程时应注意 1 方程是依据电流的参考方向建立的 因此 列方程 前首先要指定电路中各支路上电流的参考方向 然后选定结点或闭曲面 2 依 据电流参考方向是流入或流出写出代数方程 流出者取正号 流入者取负号 或 者反之 也可用流入等于流出表示 1 17 在图示电路中 已知 u12 2 V u23 3 V u25 5 V u37 3 V u67 1 V 尽 可能多地确定其它各元件的电压 解 已知 ub u12 2 V ud u23 3 V uc u25 5 V uj u67 1 V 选取回路列 KVL 方程 对回路 有 ua u15 u12 u25 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 16 所以 ua 2 5 7 V 对回路 有 uk u13 u12 u23 2 3 5 V 对回路 有 u23 u37 u67 u56 u25 0 所以 uf u56 u23 u37 u67 u25 3 3 1 5 0 V 对回路 有 ue u36 u37 u67 3 1 2 V 对回路 有 ui u57 u56 u67 0 1 1 V 1 18 对上题所示电路 指定各支路电流的参考方向 然后列出所有结点处的 KCL 方程 并说明这些方程中有几个是独立的 解 支路电流的参考方向如图所示 各结点的 KCL 方程分别为 以流出结 点的电流为正 ia ib ik 0 ib ic id 0 id ig ie ik 0 ia ic if ii 0 ie if ij 0 ij ii ig 0 把以上 6 个方程相加 得到 0 0 的结果 说明 6 个方程不是相互独立的 但 是其中任意 5 个方程是相互独立的 注 一个有 n 个结点的电路 依 KCL 列结点电流方程 则 n 1 个方程将是 相互独立的 这是因为任一条支路一定与电路中两个结点相连 它上面的电流必 定从其中一个结点流出 又流入另一个结点 因此 在 n 个 KCL 方程中 每个 支路电流一定出现 2 次 一次为正 另一次为负 若把 n 个方程相加 必定得到 等于零的恒等式 即 n 个 KCL 方程不是相互独立的 但从 n 个方程中任意去掉 一个结点电流方程 余下的 n 1 个方程是相互独立的 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 17 1 19 电路如图所示 按指定的电流参考方向列出所有可能的回路的 KVL 方 程 这些方程都独立吗 解 图示电路共有题解 1 19 图所示的 7 个回路 其 KVL 方程分别为 取 顺时针绕行方向 R1i1 R2i2 R5i5 us5 us1 0 R4i4 R6i6 us5 R5i5 0 R2i2 R4i4 R6i6 us1 R1i1 0 R3R3 us3 R6i6 us1 R1i1 0 R3i3 R4i4 R2i2 us3 0 R3i3 R4i4 R5i5 us5 us3 R1i1 us1 0 R3i3 R6i6 us5 R5i5 R2i2 us3 0 从以上方程不难发现有下列关系存在 即 由此说明 从方程 可以导出方程 同样从方程 可以导得方程 等等 这说明 7 个 KVL 方程不是相互独立 的 独立的方程只有三个