高考数学的解题研究.pdf

1 高考数学的解题研究高考数学的解题研究 陕西师范大学数学系 罗增儒 1 1从数学高考到高考数学从数学高考到高考数学 从 1977 年恢复高考 各省单独命题 到 2006 年陕西高考单 独命题 历史走过了波澜壮阔的 30 个春秋 环绕着高考工作的 文化积累正在考试学 数学等维度形成学术成果 1 11 1数学高考数学高考 1 数学高考的性质 毕业考是基础教育的终点 高考是高等教育的起点 水平考试与选拔考试 有竞争 平时教学按教学规律进行 高考复习按考试规律进行 2 数学高考命题的风格 高考命题一直在 稳中求进 稳中求变 稳中求新 探索 公 平选拔 为素质教育服务的道路 已形成了一些稳定性的风格和 值得注意的导向 在明确考查 三基四能力 的基础上 更突出数学思想方法的 考查 突出数学与现实生活的联系 在主体上考查中学数学的同时 体现进一步学习高等数学的 需要 特别是一些有挑战性的压轴题 尤其各省独立命题之后 注 重理论数学 检测考生后继学习的潜能 有人看到了高考与竞赛的 相互渗透 新课程理念的渗透 虽然新世纪课程改革刚刚起步 高中教材 2 才开始试用 但其三维目标和十个基本理念已开始渗透 课程改革 改到哪里 高考改革也改到哪里 如 命题范围拓展了 出现人文 关怀 体现 情感 态度 价值观 课程目标 在命题技术上 可以看到 以教材为依据 又不拘泥于教材 在知识交汇处设计命题 能力立意 改变了过去的知识立意 减少题量 降低难度 增加学生分析思考的时间 对三类题型设计了两个从易到难的三个小高潮 变小量难题把关为全卷把关 试题切入容易深入难 阶梯题 避免死记硬背的内容和繁琐的运算 试卷提供难记易忘的公 式 文理分卷 难度有区别 姐妹题 研究或了解高考命题的动向 能使我们的高考指导工作思想更 明确 操作更有针对性 平稳过渡 降低难度 控制满分 提高总分 总体形似 少 量创新 3 数学高考复习的组织 指导思想 以考试规律为指导 以近年高考命题的稳定性风格为导向 依纲靠本 3 以解题训练为中心 以中档综合题为重点 以近年高考试题为基本 素材 高考复课的三阶段安排已经是一个常规 第一阶段全面复习 第二阶段专题讲座 第三阶段模拟训练 其实质应是思维素质竖向提升的三个层次 是从知识到方法 到能力 的拾级登高 4 数学复习题的编拟 5 数学模拟考试的组织与讲评 6 数学高考临场的策略 高考临场的基本建议 保持内紧外松的临战状态 使用适应高考的答题策略 运用应对选拔的考试技术 高考答题的技术 提前进入角色 迅速摸清 题情 执行 三个循环 做到 四先四后 答题 一慢一快 立足中下题目 力争高上水平 4 立足一次成功 重视复查环节 内紧外松 从解题策略到分段得分 分解分步 缺步解答 引理思想 跳步解答 以退求进 退步解答 正难则反 倒步解答 扫清外围 辅助解答 7 高考填报志愿 升学优先 就业优先 专业优先 把个人兴趣 成本优先 把收费较低 地区优先 几项兼顾 家长决定 8 如高考无效题的研究 例 1已知 18 log 92 a a 185 b 求 36 log45 1978 年 2a 多 余 用 a b表示 不唯一 例 2 抛物线的方程是 2 2yx 有一个半径为 1 的圆 圆心在 x轴上运动 问这个圆运动到什么位置时 圆与抛物线在交点处 的切线互相垂直 1980 年 5 例 3设甲是乙的充分条件 乙是丙的充要条件 丙是丁的 必要条件 那么丁是甲 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 1986 年 例 4一个正三棱台的下底与上底周长分别为 30 12 侧面积等于两底面积之差 求斜高 1987 年 高为零 例 5如果函数sin cos yxx 的最小正周期是4 那么常 数 为 1992 年 默认0 例 6已知直线 1 l和 2 l的夹角的平分线为 yx 如果 1 l的方程是 0ax byc 0ab 那么 2 l的方程是 A 0bxayc B 0ax byc C 0bxayc D 0bxayc 1992 年 不可能平分 例 7设 1 42 xx f x 则 1 0f 1993 年 23 题 例 8设I为全集 集合 M NI 若MNN 则 A MN B MN C MN D MN 1995 年 例 9设等比数列 n a的前n项和为 n S 若 369 2SSS 求数列 的公比q 1996 年文史 21 实数还是复数 例 10如果函数abxaxy 2 的图象与x轴有两个交点 则点 6 ba 在aOb平面上的区域 不包含边界 为 2003 年 标准答案 图 C 例 11下面是关于三棱锥的四个命题 底面是等边三角形 侧面与底面所组成的二面角都相等的 三棱锥是正三棱锥 底面是三角形 侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形 侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱 锥 侧棱与底面所组成的角都相等 且侧面与底面所组成的二 面角都相等的三棱锥市政三棱锥 其中 真命题的编号是 写出所有真命题的编 号 2005 年全国文科 16 题 答案为 例 12 f x是定义在 R R 上的以 3 为周期的奇函数 且 20 f 则方程 0f x 在区间 0 6内解的个数的最小值是 A 2 B 3 C 4 D 5 2005 年福建 例 13已知向量 7 2cos tan 224 xx a 2sin tan 2424 xx b 令 f xa b 是否存在实数 0 1 x 使 0f xfx 若存在 则求出x的值 若不存在 则证明之 2005 年江西 例 14 1 21 2 高考数学高考数学 1 高考数学的特征 2 数学高考试题的由来 3 数学高考解题的特点 4 数学高考选择题的求解 5 数学高考填空题的求解 6 数学高考解答题的求解 7 数学高考解题的错误分析 解对了也会有策略性错误 8 2 2数学高考解题的案例分析数学高考解题的案例分析 用教育叙事的方式进行解题经验的积累与提炼 2 12 1案例案例 1 1 20062006 陕西理陕西理 2 2 的讨论的讨论 知识基础 例例 1 1复数 2 1 1 i i 等于 8 A 1i B 1i C 1i D 1i 解法 1 先处理分母 2 2 1 1 1 1 111 iii i iii 解法 2 先处理分子 2 1 21 1 111 iii i iii 解法 3 分子分母乘以i 222 1 1 1 1 1 1 1 ii ii i i i ii ii 解法 4 分母提取i 22 1 1 1 1 11 iii i ii ii 解法 5 分子提取i 2 2 1 1 1 11 ii i ii ii 解法 6 用恒等式 22 110ii 解法 7 用i的定义 11 11 ii i ii 解法 8 倒推 把四个选项代入验证 结论也是已知信息 A 22 11 ii B 2 111 iii C 22 11ii D 2 111 iii 9 解法 9 辐角象限的直观选择 结论也是已知信息 解法 10 2 22 22 22 2案例案例 2 2 2 2 2006200620062006 陕西理陕西理 8 8 8 8 的讨论的讨论 逻辑基础 例例 1 1 1 1已知不等式 1 9 a xy xy 对任意正实数 x y恒成 立 则正实数a的最小值为 A 2 B 4 C 6 D 8 这是一道不等式恒成立的参数确定问题 结论似乎不难得 出 但解题依据却未必能说清楚 2 2 12 2 12 2 12 2 1多种解法的思考多种解法的思考 解法 1条件变形后 应用二元均值不等式 1a xy xy 1 12 yax a xy aa 2 1 a 于是 只要 2 19a 4a 得a的最小值为 4 选 B 解法 2 条件变形后 应用三元均值不等式 10 1 1 a xy xy yax a xy 31 3 y ax a xy 32 1 3 a 于是 只要 32 16 1 396 9 aa 得a的最小值为 16 3 9 选择支无一为所求 解法 3条件变形后 应用四元均值不等式 1 1 a xy xy yax a xy 44 1 4 y ax a xy a 于是 只要 81 49 16 aa 得a的最小值为 811 5 1616 选择支 无一为所求 解法 4应用二元均值不等式消去 x y 有 11 1 224 aa xyxya xyxy 于是 只要 81 49 16 aa 得a的最小值为 811 5 1616 选择支无一为所求 解法 5由 1 9 a xy xy 22 9xyyaxaxyxy 22 8 axyaxyxy 得等号成立的条件是 22 2 28 axyaxy aa 解方程得4a 得a的最小值为 4 选 B 解法 6同上有 22 8axyaxyxy 2222 3 3axyaxyax y axy 得 32 16 386 9 aa 2 2 22 2 22 2 22 2 2思考 错在那里 原因是什么 思考 错在那里 原因是什么 12 1 选择支设计的典型性 2 6 8 是本题的典型错误吗 2 为什么用不同的均值不等式会得出不同的结果 哪些解 法是对的 哪些解法是错的 3 对 f ag a 能否说当等号成立时 f a取最小值 为 什么由 1a xy xy 2 1a 能推出 2 1a 9 4 不等式 1a xy xy 2 1a 1a xy xy 313 y ax a xy 32 13 a 1a xy xy 44 1 y ax a xy 4 a 能取等号码 对任意正实数 x y恒成立吗 5 设 y tytx x 有 1a xy xy 13 1 1 1 1 a xtx xtx a t t a at t 一般地 函数 1 a g tat t 的最小值与定义域有关 请思考 例例 2 2 2 2 2 2 1xc f x xc c 为非负常数 2 2 1 1 xc f x x c 为非负常数 的最小值 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 解法解法 解法 7转化为 1 min9 a xy xy 由条件变形后配方有 1a xy xy 2 2 1 1 yax a xy yax a xy 2 1 a 当 yax yax xy 时 函数 F x y 1a xy xy 取到最小值 2 1 a 故有 2 19a 14 得4a 故a的最小值为 4 选 B 说明这个解法的实质步骤是用二维柯西不等式求 1a xy xy 的最小值 解法 8转化为 2 2 44 xy amax x xy 由 1 9 a xy xy 2 2 28 4 xyxyy a x xyx xy 得 不等式对任意正实数 x y恒成立 因而 2 2 44 xy amax x xy 当2yx 时 正实数a取最小值 4 选 B 解法 9由 1a xy xy 1 yax a xy 把2 4 6 8a 依次代入 22 12332 2 yxyx xyxy 不能对任意正实数 x y恒大于 9 2yx 就不成立 44 14554 yxyx xyxy 可以保证对任意正实数 x y恒大于 9 故得a的最小值为 4 选 B 15 2 32 32 32 3案例案例 3 3 3 3 2006200620062006 陕西理陕西理 19 19 19 19 的讨论的讨论 模式识别 这是一道常规立体几何题 对学生来说情境并不陌生 课本 有这样的原型 人教版 数学 第二册下 A 第 40 页 近年高 考有 形似题 它的求解体现了高考解题的基本策略 模式识 别 化归为课本已经解决过的问题 化归为往届高考题 例例 1 1 1 1如图 1 l AB 点A在直线l上的射影为 1 A 点B在直线l上的射影为 1 B已知2AB 11 1 2AABB 求 1 直线AB分别与平面 所成角的大小 图 1 2 二面角 11 AABB 的大小 这道题目的一个突出特征是垂直 条件中 平面是互相垂 直的 射影也源于垂直 11 AAl BBl 结论中 线面所 成的角依赖于线面垂直 面面所成的角依赖于线面垂直或线线垂 直 为什么高考立体几何题这么喜欢垂直呢 我们认为这与立体 几何的学科特点有关 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1立体几何解题要抓垂直立体几何解题要抓垂直 16 从学科特点和高考命题上分析 垂直都是解立体几何题的一 个关键突破口 可以从三个方面提出论据 垂直是立体几何核心知识中的核心 一方面它是定义立体几何新概念的重要工具 如异面直线的距 离 线线 线面 面面所成角等异于平面几何的全新概念都与 垂 直 有关 另方面 它是空间位置关系转化的立交桥 如三垂线定理 众 多的性质定理或者判定定理都依赖于垂直条件 同时它还是各类计算公式 角 距离 面积 体积等 的必要 构成 可以说 垂直 的知识容量大 关联元素多 发散余地大 在客观上是处于核心地位的 在立体几何中 可谓 处处有垂直 垂直无处不在 垂直是高考立体几何命题重点中的重点 由于垂直的核心地位 在高考立体几何命题中它理所当然的成为 重点考察的对象 近年来 由于教材的原因 垂直的地位又被进一步强化 因为高 中教材的立体几何有两个版本 一个是传统的综合几何体系 主体 一 个是空间向量的体系 命题中为了双方兼顾 常常有便于建立空间坐标系 的考虑 因而都故意设计有垂直的条件 垂直是探索解题思路的重要突破口 17 从探索解题思路的角度看问题 垂直也需要放在优先考虑的地 位 面对多个已知条件不妨优先选择垂直的条件 构造辅助线不妨 优先作出垂直的辅助线 垂线或垂面 面对关系的转化也不妨优先 使用垂直关系来促进转化 抓住了垂直 不是只抓垂直 并做上一批高考立体几何题 临场 的立体几何成绩一定能有立竿见影的提高 立体几何中的垂直包括 线线垂直 线面垂直 面面垂直 其中最基本的是线线垂直 而最 关键 最体现空间特征的是线面垂直 解法 1如图 2 直线AB分别与平面 所成的角为 1 BAB 直 线AB分别与平面 所成角的为 1 ABA 二面角 11 AABB 的平面角为 1 A FE 略 图 2 图 3 解 法 2如 图3 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 使 11 0 0 0 0 0 1 0 1 0 2 1 0AABB 略 解法 3 1 如图 4 将已知条件实现在长方 体中 则直线AB与平面 所成的角为 1 BAB 直线 AB与平面 所成角的为 1 ABA 在直角 1 BAB 中 有 1 22ABBB 故 1 BAB 45 在直角 1 ABA 中 有 18 1 22ABAA 故 1 ABA 60 2 如图 4 作 ACAB BDAB 有 1 1 3 sin60 2 sin451 ACAA BDBB 设二面角 11 AABB 的平面角为 则图 4 11 11 11 11 cos 3 1 2 211 423 CA DB CADB CAAADBBB AAABBBAB 2111 1 012cos6022 cos1354 244 23 2111 0 2223 1 3 得 3 arccos 3 2 3 32 3 32 3 32 3 3变题变题 变题 1如图 5 四边形 11 AA B B中 1 AB B 是直角三角形 11 45B ABB BA 1 AA B 是直角三角形 11 2A ABA BA 现将 1 AB B 绕 19 AB旋转 使 11 0AA BB 求 1 直线AB分别与平面 11 A B B 11 AA B所成角的大小 2 二面角 11 AABB 的大小 图 5图 6 变题 2如图 6 1 ABB 中 有 1111 30 45 AABBABBAB B 现将 三角形沿高线 1 AA对折 使 11 BBAB 求 1 直线AB分别与平面 11 A B B 11 AA B所成角的大小 2 二面角 11 AABB 的大小 变题 3在三棱锥 11 AA B B 中 1 AA 面 11 A BB 1 BB 面 1 AAB 已知 1 1 AA 1 2BB 2AB 求 1 直线AB分别与平面 11 A B B 11 AA B所成角的大小 2 二面角 11 AABB 的大小 2 42 42 42 4案例案例 4 4 4 4 2006200620062006 陕西理陕西理 21212121的讨论的讨论 化归为课本已经解决的问题 如果要用一句话回答 怎样解答高考数学题 我认为最实 用也最重要的是 化归为课本已经解决的问题 2 4 02 4 02 4 02 4 0理由理由 1 因为课本是学生知识资源的基本来源 也是学生解题 20 体验的主要引导 离开了课本 学生还能从哪里找到解题依据 解题方法 解 题体验 还能从哪里找到解题灵感的撞针 高考解题一定要抓 住 课本 这个根本 2 课本是高考命题的基本依据 有的试题直接取自教材 或为原题 或为类题 有的试题是课本概念 例题 习题的改编 有的试题是教材中的几个题目 几种方法的串联 并联 综合与开拓 少量难题也是按照课本内容设计的 在综合性 灵活性上 提出较高要求 按照高考怎样出题来处理高考怎样解题应是顺理成章的 3 这是一种行之有效解题策略 这种做法体现了化归思想和模式识别的解题策略 对 50 80 的高考题都是有效的 所以 拿到一道高考题 在理 解题意后 应立即思考问题属于哪一学科 哪一章节 与这一章 节的哪个类型比较接近 解决这个类型有哪些方法 哪个方法 可以首先拿来试用 这一想 下手的地方就有了 前进的方向也 大体确定了 就是说 从辨认题型模式入手 向着提取相应方法 使用相应方法解题的方向前进 当然化归为课本已经解决的问题是有层次的 可分为 直接用 21 转化用 整合用 2 4 12 4 12 4 12 4 1 例证例证 1 1 1 1 最新的高考题最新的高考题 例例 1 1 1 1如图 1 三定点 2 1 0 1 2 1ABC 三动点 D E M 满足 DEtDMBCtBEABtAD 1 0 t 1 求动直线 DE 斜率的变化范围 2 求动点 M 的轨迹方程 2006 年陕西省理科 21 题 12 分 说明说明 1 1 本题以平面向量为载体 图 1 设计了 6 个点 3 定 3 动 的 3 个等式 ADBEDM t ABBCDE 1 0 t 求直线斜率及轨迹的方程 是平面向量与解析几何的综合 叫做 在知识的交汇处命题 说明说明 2 2题目的知识背景可以作多角度的理解 解析几何的参数方程背景 见人教版高中课本 115 p 5 5 三次用定比分点公式可得动点M的参数方程 若去掉向量载 体 题目可变为纯解析几何题 例例 2 2 2 2如图 2 在Rt ABC 中 直线AC的方程为1yx 直线BC的 方程为1yx 2 2ACBC 在斜边AB上取点M 使满足 22 AMBC MBCA 求点M的轨迹方程 图 2 课本的例题背景 人教版高中 数学 第一册 下 第 109 页例 5 为 例例 3 3OA OB不共线 APtAB tR 用OA OB 表示OP 如图 3 运用向量的加减运算可得 OPOAAPOAtAB OAt OBOA 1t OAtOB 图 3 这表示了联结AB的直线 也表示了定比分点公式 三次利 用上式即可求得动点M 平面几何背景 例例 4 4 4 4在等腰直角三角形ABC中 F为斜边AC的中点 又D在AB 上 E在BC上 M在DE上 过B作 BB AC 过M作 MHBB 若 ADBEDM ABBCDE 则 M FM H 图 4 这表明点M到定点F的距离 等于到定直线 BB的距离 按 定义 点M的轨迹为抛物线 O B A P x y MA C 0 1 1 B 1 1 23 伯恩斯坦多项式 算子 背景 对 12 1 01 212 1 1 1 mt btb bt ata bt ata 引进位移算子 2 1 2 iiii EaaE aa 可得 22 012 222 000 2 0 1 2 1 1 2 1 1 mtatt at a tatt Eat E a ttEa 这正是二阶伯恩斯坦多项式 算子 也是例 1 中的OM 这 个数学工具在汽车设计和飞机制造中有广泛的应用 贝齐尔曲 线 因而也可以认为 此高考题来源于生产实践 飞机制造 说明说明 3 3解法 根据题目的结构与背景 可分为四大类 以向量运算为主 解法 1 解法 2 向量运算与解析几何运算结合 解法 3 以解析几何运算为主 解法 4 综合几何方法 解法 5 来自阅卷现场的信息是 本题得分率不高 难度系数为 0 32 得 0 分的占 45 未必都是不会 部分人是没时间做 学 生的解法基本上都是转化为坐标 以解析几何运算为主 不会 用向量来直接求解 不管本题的原始设计如何 对教学来说 选 24 择课本背景引导高考解题是明智的 第 1 问的讲解 数形结合 差异分析 直观很明显 由 DE 夹在 AB CB 之间知 11 BCDEBA kkk 但是 怎样将明显的直观 表达为严格的数学运算呢 据知 有 20 的考生都看到了直观 却没有几个能严格表达的 我们 认为 这只不过是斜率公式变形为定比分点公式 1 1 BCBA BCDEBADE BCBA DE kk kkkk kk k 1 EBBD EDEBBD ED yyyy yyxxxx xx 左右两边的差异在于点 B 的坐标 当 EB xx 时 1 DE k 当 DB xx 时 1 DE k 当 EBD xxx ab 0 m 则 mb ma b a 这个例题有 10 多种解法 在 89 年广东 85 年上海 以及 95 98 01 04 年全国高考中多次用到 请看高考题 例例 1 1如果0mba 那么 coscoscos bmbbm A amaam coscoscos bbmbm B aamam coscoscos bmbbm C amaam coscoscos bmbmb D amama 1989 年广东高考题 例例 2 2设 n a是由正数组成的等比数列 n S是其前n项和 1 证明 2 1 2 nn n lgSlgS lgS 使得 28 2 1 2 nn n lg Sclg Sc lg Sc 1995 年理科第 25 题 12 分 例例 3 3对一切大于 1 的自然数 求证 11121 1 1 1 35212 n n 1985 年上海高考题 例例 4 4已知数列 n b是等差数列 11210 1 145bbbb 1 求数列 n b的通项 n b 2 设数列 n a的通项 1 log 1 na n a b 其中0 a 且1a 记 nn Sa是数列前n项和 试比较 n S与 1 1 3 an log b 的大小 并证明你的结 论 1998 年理科第 25 题 12 分 例例 5 5已知 i m n是正整数 且1imn 1 证明 iiii mn n pm p 2001 年理科第 20 题 例例 6 6已知数列 n a为等比数列 25 6162aa 1 求数列 n a的通项公式 2 设 n S是数列 n a的前n项和 证明 2 2 1 1 nn n S S S i 2004 年文科第 18 题 这几道题目课本都没有出现过 但例 2 1 可以认为是真分数 29 不等式的直接用 加上余弦函数的单调性 例 2 2 1 与例 2 6 2 可以认为是真分数不等式的变形用 如果我们没有 化归 为课本已经解决的问题 的思想准备 可能就想不到用真分数不 等式 或在变形式 2 21nnn S SS 与 1 12 nn nn SS SS 2 4 32 4 32 4 32 4 3 积累积累 上面的一题多解与一解多题说的是化归 这要求我们首先有 课本已经解决的问题 但是 平时 已经解决的问题 太多 了 我们不可能 也没有必要 记住平时做过的所有题目 其实 我们说的 课本已经解决的问题 是指在学习数学的过程中 把所积累的知识和经验加工为一些有长久保存价值或基本重要 性的典型模式与重要类型 当我们遇到一个新问题时 首先辨认 它属于我们已经掌握的哪个基本模式 然后检索出相应的解题方 法来解决 这是我们在数学解题中的基本思考 当然也是解高考 题的重要策略 那么 怎样积累典型模式与重要类型呢 我们有 30 两个基本的建议 总结课本内容 归纳基本模式 学完一章节 或跨章节 后 总结一共有几个题目类型 每 个题型有哪些解决方法 分析解题过程 提炼深层结构 可以重点分析最近三五年的高考综合题 揭示 形异而质同 的深层结构 2 52 52 52 5案例案例 5 5 5 5 2006200620062006 陕西理陕西理 22222222的讨论的讨论 学会分析学会分析 这是一道有高等数学背景 对学生来说情境比较陌生的压轴 题 然而 虽然问题本身具有智力上的挑战性 俗称试卷高跷尾 巴 但用到的都是通理通法 题目题目已知函数 32 1 24 x f xxx 且存在 0 1 0 2 x 使 00 f xx 1 证明 f x是R上的单调增函数 2 设 11 0 nn xxf x 11 1 2 nn yyfy 其中1 2 n 证明 101 nnnn xxxyy 3 证明 11 1 2 nn nn yx yx 0 判别式 2 1 2 4 320 2 从而 f x是R上的单调增函数 说明说明 1 1判别式是配方法的结果 因而能用判别式法求解的 问题也就能用配方法求解 我们首先给出三个配方 证明证明 2 2 2 2由 2 1 32 2 fxxx 2 2 11 32 36 111 30 366 xx x 得 f x是R上的单调增函数 证明证明 3 3 3 3由 2 1 32 2 fxxx 2 2 2 2 441 2 1 210 2 xx x xx 32 其中两个非负项不能同时为零 得 f x是R上的单调增函数 证明证明 4 4 4 4由 2 1 32 2 fxxx 2 1 3 2 2 xx 2 13 3220 22 xxx 得 f x是R上的单调增函数 说说明明 2 2 2 2证明 4 的配方也可以直接用基本不等式 2 13 32 22 xx 来 代替 因为基本不等式本来就源于 实数的平方非负 说明说明 3 3 3 3这三个配方虽然形式各异 但基本思想是相同的 即都 用非负项去抵消可能的负值 解法 2 首先用二次项 2 3x去抵消可能 的负值2x 常数项还剩余 1 6 从而还求出了函数的最小值 解法 3 首先用常数项 1 2 去抵消可能的负值2x 二次项 2 3x还剩余 2 x 这已达 到了 0fx 的目的 解法 4 则同时用两个非负项 2 1 3 2 x 去抵消可能 的负值2x 从证明 0fx 的目的上看 只会用证明 2 的配方是认 识的一种自我封闭 而认为上述三个配方已经穷尽了所有可能也是 一种自我封闭的认识 根据题目的不同要求 配方是可以灵活而多 样的 参见 数学解题学引论 P 302 配方法的研究 如 证明证明 5 5 5 5由 2 1 32 2 fxxx 33 22 2 311 0 222 xxx 得 f x是R上的单调增函数 说明说明 4 4 4 4在这里 我们看到了求导法之下 判别式法 配方法 基本不等式法等的沟通 特别是领会了配方法产生非负数的朴 素思想 用非负项去抵消可能的负值 这个想法后面还会用到 2 2 2 2 作差法证单调性 作差法证单调性 用作差法证单调性的基本过程分为三步 作差 变形 判号 其中最核心的是变形 或者分解因式 或者配方 本例 主要用到配方 证明证明 6 6 6 6任取 1212 x xR xx 得 f x是R上的单调增函数 说明说明 5 5 5 5在这个解法中 对二元二次多项式的配方使用了主元 法 即首先视 2 x为主元 1 x为系数 然后再对 1 x配方 而对 2 11 321 4 xx 34 的配方首先用 2 1 3x去抵消可能的负项 1 2x 如上所说还可以用 1 或 2 1 31x 去抵消可能的负项 1 2x 如 证明证明 7 7 7 7任取 1212 x xR xx 证明证明 8 8 8 8任取 1212 x xR xx 说明说明 6 6 6 6主元法可以理解为先处理字母 2 x 再处理字母 1 x 当然 也可以同时处理两个字母 12 x x 下面是一些有用的变形 详见文 1 P 305 35 22 22 121212 22 121212 22 121222 1122 2 22 12 12 1 2 1 4 3 44 22 xxxxxx x xxxxx xxxx xx xx xxxx 证明证明 9 9 9 9任取 1212 x xR xx 说明说明 7 7 7 7对这个配方可以作出两种解释 其一是首先用非负数 1 2 去抵消可能的负项 12 xx 非负数 22 2121 xx xx 自动剩余 22 21 2 xx 其二是首先用非负数 22 21 xx 去抵消可能的负项 12 x x 然后与 1 2 一起抵 消可能的负项 12 xx 证明证明 10101010任取 1212 x xR xx 证明证明 11111111任取 1212 x xR xx 说明说明 8 8 8 8还可以写出更多的配方 不过对于说明 怎样配方 目 前的篇幅已经够慷慨的了 我们将转而说明 两种证明单调性的方 法存在内在的统一性 3 3 3 3 作差法与求导法的统一作差法与求导法的统一 这由导数的定义可以看得很清楚 21 21 1 21 lim xx f xf x fx xx 21 22 212112 1 lim 2 xx xx xxxx 2 11 1 32 2 xx 在 式中 若求极限之前配方 则对应着 作差法 若求 极限之后配方 则对应着 求导法 比如 当 21 xx 时 由证明 7 可得证明 5 由证明 9 可得证明 3 由证明 10 可得证明 2 2 5 22 5 22 5 22 5 2第 第 2 2 2 2 问 问 模式识别 数学归纳法模式识别 数学归纳法 对于自然数的命题想起用数学归纳法 应该说是自然的 但 同时证 5 个量的不等式却是陌生情境 学生对此普遍不习惯 怎 37 么办 可分两次分别证 10nn xxx 单调递增有上界 与 01nn xyy 单调递减有下界 每一次都化归为基本模式 这个想法主要 还是模式识别的解题策略 证明证明 1 1 1 1先用数学归纳法证 10nn xxx 第 1 步 由 0 1 0 2 x 得 10 0 xx 又由上证 f x是R上的单调增函 数 有 110 1 0 4 xf xf x 得120 xxx 这表明 1n 时命题成立 第 2 步 假设 1 nk k 时命题成立 有 10 kk xxx 由上证 f x是 R上的单调增函数 得 10 kk f xf xf x 即120 kk xxx 这表明1nk 时不等式成立 由数学归纳法