(同济版高等数学上册)第一章 习题课精选题.pdf

第一章 习题课 一 思考题 1 某一极限过程中 若 f x 有极限 g x 无极限 f xg x 是否有极限 若 f x 有极限 f xg x 有极限 g x 是否有极限 答 无 有 2 某一极限过程中 若 f x g x 有极限 f x 有极限 g x 是否有极限 答 不一定 但是若 f x 的极限不等于 0 时 g x 有极限 因此非零因子可以先算 3 若 f x 在 0 x 点有极限 那么 f x 是否也在 0 x 点有极限 反之如何 答 有 但是反之不一定 但是若 f x 的极限等于 0 时成立 即 00 lim 0lim 0 xxxx f xf x 二 数列极限 1 公式变形化简 1 242 1 lim 1 1 1 1 n n xxxxx 当时 求 2 2 1321 lim 222n n n 3 12 lim 2 3 1 n n n 4 lim n n 5 3 2 3 2 3 2 21 lim n n nn n 6 1 01x 1 11 nn xx 求lim n n x 7 lim cos1cos n nn 2 夹逼准则 1 222 111 lim 1 2 n nnn 2 1 2 lim n n n 3 lim 123 nnnn n 4 设 m aaa 21 为非负数 求证 k mk n n m nn n aaaa 1 1 21 max lim 5 lim 2 n n n 6 11 lim 2 n n n n 3 单调有界 只是证明极限存在 一般适合数列以递推关系式给出 1 设1 1 x 1 1 2 1 1 x x x 1 1 1 1 n n n x x x 求 n n x lim 4 抓大头 1 11 3 lim 3 nn nn n 5 无穷小 有界 1 1 lim 1 cos 2 n n n 6 不要求掌握 有余力同学自己看看 利用如下结论 设lim n n aa 则以下结果成立 1 12 lim n n aaa a n 2 若0 n a 则 12 lim n n n a aaa 3 若 1 lim n n n n b a b b 则lim n n n ba 应用上题的结果证明下列各题 1 1 1 3 lim n n n 2 lim1 0 n n aa 3 lim1 n n n 4 1 lim0 n n n 5 1 lim n n n n 6 若lim n n n e n 三 函数极限 1 等价无穷小 1 0 1cos lim 1cos x x x 2 3 2 0 coscos lim sin x xx x 2 变量替换 1 2 1 sin 1 lim x x x 2 6 limtan 3 tan 6 x xx 3 已知 01lim 2 baxxx x 解 01 11 1 lim 1 lim 2 2 a x b a xxx baxxx xx 故1 a 2 1 1 11 1 1 1 lim 1 1 lim1lim 2 2 2 xx x xxx x xxxb xxx 四 连续性 1 设 2 22 lim 2 n nnn x f x x 0 x 讨论 f x的连续性 2 设 1 lim 2 212 n n n x bxaxx xf为连续函数 试确定a b的值 解 当1 x时 bxax x bxaxx n n n 2 2 212 1 lim 当1 x时 2 1 1 lim 2 212 ba x bxaxx n n n 当1 x时 2 1 1 lim 2 212 ba x bxaxx n n n 当1 x时 此时为 型 xxx bxax xx bxaxx n nn n nn n n 11 lim 1 lim 2 223 122 212 同除同除 分子分母分子分母 故 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 x x x ba x ba xbxax xf 1 1 lim lim 11 x xf xx babxaxxf xx lim lim 2 11 lim lim 11 xfxf xx 故得1 ba babxaxxf xx lim lim 2 11 1 1 lim lim 11 x xf xx lim lim 11 xfxf xx 故得1 ba 解得 1 0 ba 可验证此时 1 lim 1 fxf x 1 lim 1 fxf x 3 设函数 xf对一切 1 x 2 x满足等式 2121 xfxfxxf 且 xf在 0 x点连续 证明 xf在任一点x处都连续 证明 x 则有 xfxfxxf 0 0 fxfxfxf 故 0 fxfxfxfxxfy xf在0 x点连续性得 0 0 lim 0 fxf x 因而得 0 0 lim 0 limlim 000 fxfxffxfxfy xxx 即 xf在任一点x处都连续 4 设函数 211 1 1 为实常数为实常数 nnn nn aaaaxaxaxxf 证 明 1 若0 n a 且n为奇数 则方程0 xf至少有一负根 2 若0 n a 则方程0 xf至少有一正根 3 若0 n a 且n为偶数 则方程0 xf至少有一个正根和一个负根 证明 1 n为奇数 故有 limxf x 由负无穷大的定义知 0 a 使得0 af 又0 0 n af 在 0 a上应用零点定理 0 a 使得0 f 即方程0 xf至少有一负根 2 因为 limxf x 由正无穷大的定义知 0 b 使得0 bf 又0 0 n af 在 0 b上应用零点定理 0 b 使得0 f 即方程0 xf至少有一正根 3 n为偶