2012年高考广东卷理科数学压轴题分析_何小亚.pdf

年高考广东卷理科数学压轴题分析 何小亚 华南师范大学数学科学学院 今年 笔者有幸负责广东高考数学理科卷压 轴题 题的阅卷工作 下面就答卷中反映出的一 些问题进行分析 以供广大的一线数学教师参考 原题展示 本小题满分 分 在平面直角坐标系 中 已知椭圆 的离心 率 槡 且椭圆 上的点到点 的距离 的最大值为 求椭圆 的方程 在椭圆 上 是否存在点 使得 直线 与圆 相交于不 同的两点 且 的面积最大 若存在 求出点 的坐标及对应的 的面积 若不 存在 请说明理由 解法分析 第 问的解法 因为 槡 槡 所以 即椭圆 的方程为 设 为 椭圆 上任意给定的一点 则 方法 若 则 此时当 时 即 由此得 或 不合题意 舍去 若 则 此时当 时 解得 方法 由题设存在点 满足 则 故 当 时 由于 时 取 得最大值 故 解得 因此 所求椭圆 的方程为 第 问的解法 第 问的各种解法的区别本质上是面积的表达 式与求最值的方法的区别 方法 假设点 存在 则有 设圆心到直线 的距离为 则 槡 即 又因为 槡 所以 槡 当且仅 当 即 时 等号 成立 由 解得 槡 槡 于是所求的点 的 坐 标 是 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 此时对应的诸三角形的面积均达到最 大值 方法 假设点 存在 则有 设圆心到直线的距离为 则 槡 即 因为 所以 槡 于是 槡 槡 当且仅当 即 时等号成立 故 下同方法 方法 设 当 即 时 此时 点 到直线 的距离 而 槡 由此得 下同方法 中学数学月刊 年第 期 方法 由方法 得 槡 槡 槡 槡 当 槡 时 等号成立 由 解 得 槡 槡 下同方法 方法 槡 因为 令 槡 烅 烄 烆 设 则 于是 槡 槡 槡 当 时 等号成 立 解得 槡 槡 故所求的点坐标为 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 此时对应的诸三角 形的面积均达到最大值 方法 若点 存在 则有 圆 心 到直线 的距离 槡 假设直线 与圆 相交于不同的两点 则 若 由 得 再由 得 槡 所以 槡 于是 故 槡 槡 故 槡 槡 槡 若 由 得 代入 消去 得 由题设知 于 是 槡 槡 槡 下略 方法 除了方法 之外 前面的方法都是利用均 值不等式来讨论 面积的最大值问题 事实上 也 可以用导数工具来求解 面积的最值问题 此处 略 考生解法讨论 在全省 余万理科考生中 本题满分是 人 对 满分者进行抽样统计 第 问有 的考生用方法 有 的考生用方法 有 的考生用方法 有 的考 生用方法 韦达定理 直线交圆锥曲线的弦长公式 有 的考生用方法 和 方法 最简单 但满分者中只有 的考生会 用 而有 的满分者使用了复杂的解法 最简单 的解法 仅有 的满分考生使用了此方法 可见运用 恰当的数学方法解决问题的能力有待提高 第 问满分是 分 第 问能正确得出 面积 的结果可以得 分 对得 分的考生进行抽样统计 有高 达 的考生使用了韦达定理与弦长公式 但因运算量 太大 太复杂而算不出 面积 丢掉了 分 使用韦 达定理与弦长公式来求 面积是最笨的方法 简 直是 杀鸡用牛刀且杀不死 之所以出现如此之多的 考生钟爱韦达定理 可能与教师平时训练韦达定理与弦 长公式解题过多有关 形成了条件反射 直线交曲线 弦长公式 自从 年实施新课程高考以来 独立命题的广 东卷严格执行不考察韦达定理的超纲试题 况且 年 笔者在文 就指出了韦达定理的 祸害 但不知何 故 中学数学教师尤其是高三的数学教师至今还对韦达 定理 弦长公式念念不忘 又误导了这么多考生 老师 们 该醒醒了 典型错误 看到离心率 槡 有不少考生就认 为 槡 槡 从而得出答案 有很多考生凭直观 认为下顶点或左右端点是 取得最大值点而得出答案 绝大多数的考生忘了讨论 或没有证 明 的情况 年第 期 中学数学月刊 得出方程 后 设点 是椭 圆上的点 则由 烅 烄 烆 消去 得 由 解得 故所求方程为 注意 二次曲线与二次曲线相交 相切 相离与对 应的判别式 的符号没有必然关系 例如 由 与 消去 后得到 此时 有 但是此抛物线与单位圆相切于原点 又相 交于另外的两点 相当多的考生因使用韦达定理而求不出 的面积 在方法 中 由 得 时 没有讨论 的情况 事实上 由 与 可以直接消去 没必要写出 这样就可以避免讨论 的情况 教学反思 作为压轴题 一方面 本题是探究性问题 但事实上 探究味不浓 只是一个简单的二次函数是否有最值的问 题 另一方面 此题较常规 比考生平时训练的压轴题简 单得多 但考生实际的答题效果很差 在前面几乎没有 难题的情况下 此题全省的平均分只有 分 说明目 前的教学仍然存在严重的问题 笔者在此重申 机械的题海训练难以使学生真正理解数学 训练过度 学生都练傻了 哪里还会问题解决 呢 学生掌握了一些没有思想灵魂的各种解题之 术 自然一进考场就想 大显身手 哪里还会问题解决 呢 新中考 新高考就是要我们回归基础 老老实实 教点数学 不要总是把做题 讲题当成是教数学 新课程 新中考 新高考就是要以理解 问题解决 和数学探究为价值取向 新中考 新高考考什么 考数学理解 数学问题 解决 数学探究 猜题 押题 套题 搞信息题该停止了 回归课本 回归基础是正确的方向 理解数学概念本质 抓住数学原理结构 学会数 学问题解决是数学教学的核心 让我们的学生学会以不变应万变吧 参考文献 何小亚 数学新课程下广东高考压轴题之透视 广东教 育 檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶 上接第 页 五花八门 了 但概括起来无非三类 即反映单值对应的 题目 判断两函数是否相等的题目 求函数定义域和值 域的题目 同时 苏教版课后练习的呈现方式也是多种 多样的 如第 题是关于 学号与成绩对应 的问题 第 题是关于 学生购票 的问题 题目要求学生以 输入 输出 的模式作答 如 儿童身高 为输入值 相应的购 票钱款为输出值 则 从题目难度看 可谓大同小异 只是苏教版常用 这种符号表示函数 可能会使初学者感到不习惯 如第 道题目 判断 其中 是 否为函数 等 分析比较 首先 函数的本质是一种对应 而对应 的概念对于初学者来说可能不容易理解 因此 无论是 在正文还是课后练习中 苏教版教材都不失时机地以各 种方式强调这种 对应 关系 这样处理有助于强化学生 对核心概念的理解 其次 抽象的函数概念必须经过具 体的应用才能得到深刻理解 生活中的许多问题都是通 过建立函数模型而解决的 因此 在函数概念学习中 让 学生对生活中具体的函数实例进行操作练习 可以促进 其对函数本质的理解 强化学生的