2.1.2向量的几何表示 (2).doc

1、如图,空间四边形中,.点在上,且,为的中点,则等于( )A. B.C. D. 2、已知向量,且与互相垂直,则的值是( ).A. B. C. D. 3、与向量共线的单位向量是( )A. B.C.和 D.和 4、如图,在四棱柱中,、分别是、的中点,则以下结论中不成立的是( )A.与垂直 B.与垂直C.与异面 D.与异面 5、如图,是直三棱柱,点分别是的中点,若,则与所成角的余弦值是( )A. B. C. D. 6、在棱长为的正方体中,是底面的中心,分别是的中点,那么异面直线和所成的角的余弦值等于( )A. B. C. D. 7、直三棱柱中,分别是的中点,则与所成的角的余弦值为( )A. B. C. D. 8、已知在四面体中,两两互相垂直,给出下列两个命题:,则下列关于以上两个命题的真假性判断正确的为( )A.真、真 B.真、假C.假、假 D.假、真 9、若与的夹角为钝角,则实数的取值范围为( )A. B.且C.且 D. 10、如图,在棱长为的正方体中,点在线段上运动,给出以下四个命题: 异面直线和所成的角为定值; 二面角的大小为定值; 三棱锥的体积为定值; 直线与平面所成的角为定值.其中真命题的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4 11、如图,已知长方体的底面是边长为的正方形,若在侧棱上至少存在一点,使得则侧棱的长的最小值为( )A. B. C. D. 12、已知直线的方向向量直线的方向向量若,且,则的值是( )A.或 B.或 C. D. 13、已知则以为邻边的平行四边形的面积为 14、若是直线的方向向量,是平面的法向量,则直线与平面所成角的大小是 15、在下列命题中:若向量共线,则向量所在的直线平行;若向量所在的直线是异面直线,则向量一定不共面;若三向量两两共面,则三向量一定也共面;已知三向量,则空间任意一个向量总存在实数,使得.其中正确命题的个数为. 16、已知正方体的棱长为,过点作平面的垂线,垂足为,有以下四个命题:点是的垂心;垂直于平面;二面角的正切值为;点到平面的距离为.其中真命题的序号是(写出所有真命题的序号) 17、正方体中分别是的中点.1.证明:平面平面;2.在上求一点,使得平面. 18、如图,在直三棱柱中,点是的中点.1.求异面直线与所成角的余弦值;2.求平面与所成二面角的正弦值. 19、如图,四面体中,、分别的中点,. 1.求证:平面;2.求异面直线与所成角的余弦值;3.求点到平面的距离. 20、中,点在上,且.1.证明平面;2.求二面角的余弦值. 21、如图,直三棱柱, ,棱分别是的中点.1.求的长2.求的值3.求证: 22、如图,四棱锥中,底面为矩形,平面,为的中点.1.证明:平面;2.设二面角为,求三棱锥的体积. 参考答案： 一、选择题 1.答案： B 解析： . 2.答案： D 解析： ,. 3.答案： B 解析： 的中点的坐标为,. 4.答案： D 解析： 分别以射线、为、轴建立空间直角坐标系.设,则,所以,所以,所以. 5.答案： A 解析： 连接,取中点四边形平行四边形,所以:,故与成锐角或直角是异面直线和成角.设,则, ,所以:.即和成角余弦值为. 6.答案： A 解析： 以为坐标原点,的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系,则,则,. 7.答案： C 解析： 以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,故选C. 8.答案： A 解析： 由,得平面,故,即有,同理,于是,命题为真命题,以为同一顶点出发的三条棱,构造长方形,则为自点出发的长方体的体对角线所在的向量,从而易知命题为真 9.答案： B 解析： ,且与不平行. 10.答案： C 解析： 本题考査空间角的求解及几何体体积的求解.以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,则,设.对于,故为真命题.对于,平面即平面.两平面都固定,其二面角为定值,故为真命题.对于,点到直线的距离,所以三棱锥的体积,故为真命题.对于,易知平面的一个法向量为,不是定值,故为假命题. 11.答案： B 解析： 本题考查用向量法求解立体几何问题及一元二次方程根的判定.以为原点,所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,设侧棱长为,则,.,则,即侧棱长的最小值为. 12.答案： A 解析： 由题意知,解得由得当时,所以当时,所以故选A 二、填空题 13.答案： 解析： ,故,所以,故以为邻边的平行四边形的面积为. 14.答案： 解析： 直线与平面所成角的正弦值是,所以直线与平面所成角的大小为 15.答案： 解析： 与共线,所在直线也可能重合,故不正确;根据自由向量的意义知,空间任两向量都共面,故错误;三个向量中任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故不正确;只有当不共面时,空间任意一向量才能表示为,故不正确. 16.答案： 解析： ,两两垂直,故点为的垂心.平面平面,故垂直于平面.连接,与交于点,则为的平面角,故正确.而中由向量法求得点到平面的距离不为. 三、解答题 17.答案： 1.取的中点,连结,设与相交于点,易证,从而,即,分别是的中点,又,四边形是平行四边形,由1题知,又,平面,平面,平面平面.2.点在上,可设,可得,.要使平面,需,得.故当时,即点坐标为,平面. 18.答案： 1. 以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以.因为,所以异面直线与所成角的余弦值为.2.设平面的法向量,因为,所以,即且,取,得,所以是平面的一个法向量.取平面的一个法向量,设平面与平面所成二面角的大小为.由,得.因此平面与平面所成二面角的正弦值为. 19.答案： 1.证明:连结 .在中,由已知可得,而,即.,平面2.方法一:取的中点,连结,由为的中点知,.直线与所成的锐角就是异面直线与所成的角.在中,是直角斜边上的中线,即异面直线与所成角的余弦值为.方法二:以为原点,如图建立空间直角坐标系,则,异面直线与所成角的余弦值为3.方法一:设点到平面的距离为.,在中,而,点到平面的距离为.方法二:设平面的法向量为,则 ,令,得是平面的一个法向量.又,点到平面的距离. 20.答案： 1.以为坐标原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.依题设.,.又,平面.2.设向量是平面的法向量,则.令,则,.二面角的余弦值为 21.答案： 1.依题意得,2.依题意得,所以,.,.3.依题意得, 22.答案： 1.连接交于点,连接.因为四边形为矩形,所以为的中点.又为