230°45°60°角的三角函数值 (2).doc

第一章直角三角形的边角关系230，45，60角的三角函数值素材一新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣图121置疑导入如图121，为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：含30和60两个锐角的三角尺；皮尺你能利用上述测量工具测出这棵大树的高度吗？(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)说明与建议 说明：以生活中的实例入手，激发学生的学习热情给学生时间，让学生去充分思考交流讨论，并由此引出新课建议：给学生充足的时间寻求解决问题的方法，在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验悬念激趣在刚刚过去的双十一(11月11日)活动中，中国人创造了网购的奇迹，书写了世界的传奇今天是双十二(12月12日)，网上称之为“年末促销全民疯抢购物节”，必将续写网购的传奇本课老师也准备了几件物美价廉的宝贝，投放进几家商铺进行出售，你们有没有信心抢到呢？很好，我们先看看商铺里面有些什么宝贝吧，看谁能抢到它们！(利用多媒体投影)商铺：图122说明与建议 说明：以进行网购，积极抢购订单的形式引入新课，大大调动了学生学习的积极性，既复习了上节课的重点知识，又为本课的学习铺平了道路建议：把知识的回顾放到“网购”中，让学生独立思考，解决问题素材二教材母题挖掘教材母题教材第9页例2一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01 m)图123【模型建立】首先从题目情境中抽象出“数学模型”，然后根据问题，从中构造出合适的直角三角形再求解这里一定要准确记忆特殊角的三角函数值.【变式变形】1如图124，小阳发现电线杆AB在太阳光下的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD8米，BC20米，CD与地面成30角，且此时测得1米长的木杆的影长为2米，则电线杆的高度为(D)图124A9米 B28米 C(7)米 D(142)米解析 延长BC，AD交于点E，过点D作DF垂直BC的延长线于点F.如果没有土坡的遮挡，电线杆AB的影长应为BE.根据相同时刻物体的高度与影长成正比可得：，因此要求AB的长，需先求BE的长，而BEBCCFEF，故需求CF与EF的长在RtDCF中，DFCDsin304米，CFCDcos304米由，得EF8米，所以BE(284)米，ABBE(142)米2如图125，为了求出湖两岸A，B两点之间的距离，观测者从测点A，B分别测得BAC90，ABC30，又量得BC160 m，则A，B两点之间的距离为_80_m(结果保留根号)解析 在RtABC中，ABBCcosABC16080(m) 图125 图1263. 如图126，身高1.6 m的小美用一个两锐角分别为30和60的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6 m，那么这棵树高大约为多少？(结果精确到0.1 m，其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高)解析 树高相当于CE，问题也就转化为求CD与DE的和，而DE相当于小美的身高，在RtACD中利用三角函数的知识求CD就成了解题的关键解：在RtACD中，tan30，.CD2 m.树高CECDDE21.65.1(m)4.如图127，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30，此人以每秒0.5米的速度收绳问8秒后船向岸边移动了多少米？(结果精确到0.1米)解析 斜边缩短，直角边AC不变，导致直角边AB的变化，所以需要先求出斜边变化后的值，再由勾股定理即可求解解：设8秒后，点B移至点B，此时BC100.586(米)，AB(米)，船向岸边移动的距离为55.3(米)答：8秒后船向岸边移动了5.3米 图127 图1285如图128，为了测量一条河的宽度，一测量员在河岸边的C处测得对岸一棵树A在正南方向，测量员向正东方向走180米到点B处，测得这棵树在南偏西60的方向上，求河的宽度(结果保留根号)解：由题意，知ACB90，ABC30，CB180米，所以ACCBtan3018060(米)答：河宽为60米素材三 考情考向分析命题角度1 30，60角的三角函数值考查含30，60角的直角三角形的性质sin30，cos30，sin60，cos60；等腰三角形的性质等腰三角形三线合一，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键例扬州中考 如图129，已知AOB60，点P在边OA上，OP12，点M，N在边OB上，PMPN.若MN2，则OM(C)图129A.3 B4 C5 D6解析 过点P作PDOB，交OB于点D.在RtOPD中，cos60，OP12，OD6.PMPN，PDMN，MN2，MDNDMN1，OMODMD615.故选C.命题角度2 特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值常与绝对值以及完全平方的非负性、三角形内角和定理综合考查例邵阳中考 在ABC中，若0，则C的度数是(D)A30B45C60D90解析 0，sinA，cosB，A30，B60，则C180306090.故选D.命题角度3 利用特殊角的三角函数值计算在考查实数的运算时，往往会加入零指数幂的运算法则、绝对值的性质以及特殊角的三角函数值等，因此熟知零指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此类题的关键再根据实数混合运算的法则进行计算即可例桂林中考 计算：(1)02sin60|.解：原式1212.素材四 教材习题答案P9随堂练习1计算：(1)sin60tan45；(2)cos60tan60；(3)sin45sin602cos45.解：(1)原式1.(2)原式 .(3)原式 2.2某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30，高为7 m扶梯的长度是多少？解：设扶梯的长度为x m，则sin30，解得x14.答：扶梯的长度为14 m.P10习题1.31. 计算：(1)tan45sin30；(2)cos60sin45tan30；(3)6tan230sin602cos45.解：(1) 原式1.(2)原式.(3)原式622.2如图，河岸AD，BC互相平行，桥AB垂直于两岸，桥长12 m，在C处看桥两端A，B，夹角BCA60，求B，C间的距离(结果精确到1 m)解：在RtABC中， tanC ，AB12, C60，tan60 ，解得BC47(m)答：B，C间的距离约为7 m.3如图，SO是等腰三角形SAB的高，已知ASB120，AB54，求SO的长解：ASB是等腰三角形，ASB120，AB54，OSB60，OB27.在RtSOB中，tanOSB，SO9.4如图，身高1.75 m的小丽用一个两锐角分别为30和60的三角尺测量一棵树的高度(A30)，已知她与树之间的距离为5 m，那么这棵树大约有多高？(结果精确到0.1 m)解：在RtADC中， tanA ，AD5, A30，tan30 ，解得CD，CEDECDABCD1.754.6(m)答：这棵树的高度约为4.6 m.5如图，一段长1500 m的水渠，其截面为四边形ABCD，其中ABCD，BCAD，渠深AE0.8 m，底AB1.2 m，坡角为45，那么该段水渠最多能蓄水多少立方米？解：由题意，得DECFAE0.8 m故S四边形ABCD(ABCD)AE1.6(m2). 故水渠最多能蓄水1.615002400(m3)6某阶梯的形状如图所示，其中线段ABBC，AB部分的坡角为45，BC部分的坡角为30，AD1.5 m如果每个台阶的高不超过20 cm，那么这一阶梯至少有多少个台阶？(最后一个台阶的高不足20 cm时，按一个台阶计算)解：14个素材五 图书增值练习专题 特殊角的三角函数值1如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（）.Asin30xsin60 Bcos30xcos45 Ctan30xtan45 Dtan45xtan60ABC2如图，已知：45A90，则下列各式成立的是（）.AsinAcosABsinAcosACsinAtanADsinAcosA3在顶角为30的等腰三角形ABC中，ABAC，若过点C作CDAB于点D，则BCD15根据图形计算tan15 4一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，ABCF，FACB90，E45，A60，AC10，试求CD的长ABCFDE状元笔记：【知识要点】30，45，60角的三角函数值【温馨提示】熟记三角函数的特殊值是解题的关键.参考答案1D2B 解析在锐角三角函数中仅当A45时，sinAcosA，所以A选项错误；因为45A90，所以B45，即AB，所以BCAC，所以，即sinAcosA，B选项正确，D选项错误；tanA 1，sinA1，所以C选项错误.32解析可设CDx，用含x的代数式表示BD即可4解析过点B作BMFD于点M在ACB中，ACB90， A60，AC10，ABC30， BCACtan6010.ABCF，BCM30BMBCsin30105.CMBCcos301015.在EFD中，F90， E45，EDF45，MDBM5CDCMMD15-5素材六 数学素养提升巧用特殊角解三角函数题一 巧用“勾股数”ABCD图“勾股数”就是满足勾股定理的一组数据，如最常见的有3、4、5或5、12、13等，熟记常见勾股数的能给我们解题带来便利例1 图四边形ABCD中，ABC=90，AB=3，BC=4，AD=13，CD=12，求四边形ABCD的 面积分析：连结AC，由已知条件AB=3，BC=4，易知AC=5，而这时若对5、12、13这三个数不熟悉，问题就无法解决；若知道这是一组勾股数52+122=132即AC2+CD2=AD2，可得ACD=90，于是就得到一个新的直角三角形ACD，S四边形ABCD = SABC+SACD= ABBC +ACCD=36ABCDM图二 巧用“ 30”例2 如图ABC中，ABC=90，AC=10，ACB=75，BDAC，垂足为D，求BD的长 分析：由条件ACB=75，可知它的余角15，由15可想到30存在，因此可作直角三角形斜边上的中线BM，BM=AM，A=ABM，BMD=2A=30，BD= BM= AC=例3（2002年，福建福州）某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形 空地上种植某种草皮，以美化环境，30米20米1503010米图ABCD已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ）A450a元 B225a元 C150a元 D300a元分析：由已知中的150想到它的补角30，因此延长一边，找到30，并构造30所ABCDE图在的直角三角形，易找另一边上的高，S=1030=150，答案C 例4（2002天津市）某片绿地的形状如案图，其中A=60， ABBC，ADCD，AB=200m，CD=100m，求AD、CD的长（精确到1m，3 1.732） 分析：本题关键是充分利用A=60，若连结AC，则破坏了A，因此不能连结AC，而延长AD和BC相交于E点，这样既构造出了RtABE和RtCDE，同时又保全了A，易求得AD的长约为227m，BC的长约为146m，详解略ABCDP如图三 巧用“ 45”例5如图ABC中，ABC=135，P为AC上一点，且PBA=90，CP：PA=1：2，求tanAPB分析：由ABC=135，感觉到135的补角45的存在，而45的出现 ，易联想出等腰三角形，实现等线段之间的转换，因此可作出辅助线，作CDAB，垂足为D，得CBD=45，CD=BD，PBCD， = =3，APB=ACD，tanAPB=tanACD= =3ABCD图例6已知：如图，ABC中，ABC=90，A=225，BC=3，求AB的长分析：由A=225，可想到45，于是在三角形内部构造45，作CD=AD，得CDB=45，ABCDMN7545图再又BC=3易求BD=3，CD=AD=3 ，AB=3+3 四 巧用“ 60”例