第14讲空间向量与立体几何.doc

空间向量与立体几何考点透析空间向量与立体几何空间向量的概念A空间向量共线、共面的充分必要条件B空间向量的加法、减法及数乘运算B空间向量的坐标表示B空间向量的数量积B空间向量的共线与垂直B直线的方向向量与平面的法向量B知识整合 1本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用.对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离.2. 空间向量的应用主要指能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用考点自测 1已知，若，则 ； 2对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有 (x，y，zR)，则是四点P，A，B，C共面的 条件3已知 向量， ， 若，则与的夹角为 4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则直线D1E，BC1所成角的余弦为 典型例题 高考热点一：空间向量的概念及性质例1有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底.其中正确的命题是 高考热点二：空间向量的基本运算例2如图：在平行六面体中，为与的交点.若，试用表示 【分析】熟练运用向量的平行四边形法则和三角形法则例3已知：且不共面.若,求的值.【分析】若,且则高考热点三：数量积例4（1）（2002上海文，理2）已知向量和的夹角为120，且|=2，|=5，则（2）=_.（2）设空间两个不同的单位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于.(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求的大小(其中0.【分析】（2）运用向量夹角公式cos=x1x2+y1y2高考热点四：空间向量的应用例5（2010南通市三模考试）如图，在三棱柱中，顶点在底面上的射影恰为点B，且（1）求棱与BC所成的角的大小；（2）在棱上确定一点P，使，并求出二面角的平面角的余弦值（例5）BACA1B1C1【分析】建立适当的空间坐标系，通过坐标运算求直线所成角，利用平面的法向量解决二面角问题高考热点五：空间向量知识的综合应用例6 如图，在正三棱柱A1B1C1ABC中，D，E分别是棱BC、的中点，AB=AA1=2()证明：；(）求二面角的大小；(）求异面直线与BE的距离误区分析 在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值证明：（）以AD的中点O为坐标原点，分别以AD、AD中垂线、VO为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，并设正方形边长为1，则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，），是面VAD的法向量，设是面VDB的法向量，则，所以面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值为随堂练习 1（2009安徽）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是_. 2已知S是ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若，则xyz 3在正方体中，给出下面三个判断：；与的夹角为600； 其中错误的序号是 4若，是平面内的三点，设平面的法向量，则_.5（2009四川）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段、的中点分别为、，求证： 6E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点.（1）证明：直线EE/平面FCC；（2）求二面角B-FC-C的余弦值. 学力测评 1已知点，且该点在三个坐标平面平面，平面，平面上的射影的坐标依次为，和，则那么下列说法正确的是 (1) (2) (3) (4)以上结论都不对2已知是空间二向量，若的夹角为 3已知ABC的三个顶点为A(3,3,2) , B(4,3,7) , C(0,5,1) , 则BC边上的中线长为 4已知,，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 5空间四边形中, 则的值是 6在正方体中，M，N分别为棱和之中点，则的值为 7若向量，则_.8在正四面体PABC（四个面都是全等的等边三角形的四面体）中，若E、F分别在棱PC、AB上，且.异面直线PF与BE所成的角的余弦值 9在正方体中，求证:BD1截面AB1C. 10（2010海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM平面PBD.PBCDAM求PA的长；求棱PC与平面AMD所成角的正弦值.11（2009广东）如图，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点设点分别是点，在平面内的正投影（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线平面；（3）求异面直线所成角的正弦值.12.（2009浙江）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点，（I）设是的中点，证明：平面；（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离参考答案第1讲 集合与简易逻辑考点自测 1x=6， y= 2充要 3 120 4 典型例题例1. 例2. 例3. 解：,且即又不共面,例4解析：（1）解（2）=22=2|2|cos120=2425（）=13.（2）解：(1)|=|=1， 又与的夹角为，=|cos=.又=x1+y1，.(2)cos=x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，.x1，y1是方程的解.或；同理可得或，或cos=.0，=.例5.（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则 ，故与棱BC所成的角是 BACA1B1C1zxyP（2）设，则于是（舍去），则P为棱的中点，其坐标为 设平面的法向量为n1，则故n1 而平面的法向量是n2=(1,0,0)，则，故二面角的平面角的余弦值是 例6证明：（）以A为原点，建立如图的空间直角坐标系，易知各点坐标A(0,0,0), B(,1,0)，B1(,1,2), E(0,2,1),则， 即 （）易知：，设是平面的一个法向量，则，令 则 ，设是平面一个法向量，则，令 则设二面角为，则（）设是与BE的法向量,则，可得：取 y=3, 可知，误区分析解：（）以AD的中点O为坐标原点，分别以AD、AD中垂线、VO为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，并设正方形边长为1，则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，），是面VAD的法向量，设是面VDB的法向量，则，因为VDB的法向量指向二面角V-BD-A的外侧，所以面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值为随堂练习 1. (0,-1，0) w.w.w.k .s.2. 3. 4.5. 解: 因等腰直角三角形，所以又因为平面，所以平面，所以即两两垂直；如图建立空间直角坐标系, (I) 设，则，从而 ，于是，,平面，平面，（II），从而于是，又平面，直线不在平面内，故平面E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 6. 解:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形, 因为ABCD为等腰梯形,所以BAC=ABC=60,取AF的中点M,连接DM,则DMAB,所以DMCD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,0）,E1（,-1,1）,所以,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE/平面FCC. （2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则, 所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为. 学力测评 1（1） 2.6033 4（2,)(,+) 50 67. 89证明：先证明BD1AC=+，=+=(+ +)(+)=+ =|2|2=0BD1AC，同理可证BD1AB1， 于是BD1平面ACB110解 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则PBCDAMxyzA(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,a).因为M是PC中点,所以M点的坐标为(,)，所以 = (,)， = (1,1,0)， = ( 1,0,a).因为平面PBD,所以 = = 0.即 + = 0,所以a = 1,即PA = 1. 由 = (0,1,0), = (,),可求得平面AMD的一个法向量n = ( 1,0,1).又 = ( 1,1,1).所以cos = = = .所以,PC与平面AMD所成角的正弦值为. 11. 解：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ，又面，.（2）以为坐标原点，、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，则，即，又，平面.（3），则， 设异面直线所成角为，则.12. 证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为