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初中数学教材中的数学思想徐州市九里区九里中学 朱黎生摘要：天得一而清，地得一而宁，万物得一而生，数学的美美在其统一性与简单性。化归思想、数形结合思想、整体思想、函数思想、对应思想等不都是数学统一美的表现吗？方程、函数、不等式之间是统一的，加、减、乘、除之间是统一的，减就是加，除就是乘。数与式之间是统一的，数与形之间是统一的。在数学统一美的统领下，各种数学思想各善其能。本文简略探讨了初中数学中的一些数学思想，这是数学教学的目的所在，也是学生数学能力的体现。其实，每一种数学思想都可以写厚厚的一本书，又岂是本文浮光掠影式的一带而过。在2006年常州市武进区湖塘中学举行的江苏省青年教师优质课评比活动中，郑君威先生讲了这样一句话：“一堂如果没有数学思想的渗透，那么它就是一堂没有品位的课。”是啊！一堂好课就像一杯清茶，要留有口齿生津的余香；就像马致远的“枯藤老树昏鸦，小桥流水人家，古道西风瘦马”一样，要留给人无限的遐想。就像中国的水墨山水，寥寥数笔却留给人大量的言外之意、画外之音。庄子说：“大道无言、大音稀声”；听了一堂好课，在静思冥想中，细细体会知识背后所蕴含的思想，或许就会给我们带来小小的快乐，一堂好课除了教给我们一些知识之外，最重要的是让我们感受一些数学的思想。日本数学家和数学教育家米山国藏说：“学生在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学思想方法，却长期在他们的生活和工作中发挥着作用。”那么初中数学教材中渗透了那些数学思想呢？1、化归思想 匈牙利著名数学家路莎彼得在她的名著无穷的玩艺一书中对“化归方法”作过描述：“如上所述的推理过程，对于数学家的思维过程来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为己经能够解决的问题。当然，从陈旧的实用观点来看，以下的一个比拟也许是十分可笑的，但这一比拟在数学家中却是广为流传的：现有煤气灶、水龙头、水壶和火柴摆在你面前，当你要烧水时，你应当怎么去做呢?往水壶里注满水，点燃煤气，然后把水壶放在煤气灶上。你对问题的回答是正确的。现把所说的问题稍作修改，即假设水壶里己经装满了水，而所说问题中的其他情况都不变，试问，此时你应该怎样去做?此时被问者一定会大声而颇有把握地说：点燃煤气，再把水壶放上去。他确信这样的回答是正确的，但是更完美的回答应该是这样的：只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了。”从这段话可以看出，化归方法已经成为了数学家们最典型的思维模式了”。 所谓“化归”，从字面上看，可理解为转化和归结的意思。数学中把待解决的问题通过转化，归结到一类己经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。化归方法用框图可直观表示为：待解决的问题A易解决的问题B问题A的解答问题B的解答转化化还原其中，问题B常被称作化归目标或方向，转化的手段被称为化归途径或化归策略。所以化归包括三个基本要素，即化归对象、化归目标和化归策略。化归的方向是：由未知到已知，由复杂到简单，由困难到容易。 初中数学处处都体现出转化的思想，如化繁为简、化难为易，化未知为己知，化多元为一元，化高次为低次等，是解决问题的一种最基本的思想。在具体内容上，有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。转化思想是一种思维策略的表现，即我们常说的换个角度想问题。它是解决数学问题的重要思想，它要求我们能把握住问题的本质，能辨证地看待事物，能运用所学的知识把复杂的问题转化为较简单的问题解决，把隐含的条件转化为明显的条件，把生疏的问题转化为较熟知的问题解决。严格说，初中的几何证明只能是指出待证问题可以归入哪个问题的证明或由哪个已证的定理或结论来证明，实质上是一种化归过程。老老实实从公理、公设、定义出发去证明每一个命题，既费时，又没有必要，对初中学生来说有的甚至是不可能达到的。等价转化本身是数学中的很重要的内容，可以把较为深奥的问题化为较浅显的问题，较复杂的问题转化为较简单的问题。学习数学时头脑的灵活也体现在这种等价转化上，能把原题改为一个新的题目且使两题的已知条件及结论本质上相同，做到此很不简单。 例1：有鸡、兔若干只同笼，已知共有头12个，腿36条，问鸡、兔各多少?此题解法较多，我们可以用化归方法，若鸡、兔同时抬起一半腿，则有腿18条，比头数多6，问题很快解决。例2：如图，正方形的边长为a，求图中阴影部分面积。 分析：图形不规则，换一个角度看，知阴影部分是由4个以正方形的边长为直径的半圆叠加再减去一个正方形而形成。有些问题如果直接解决难以入手，不妨换一个方向、角度或观点来考虑，或许能使问题变得更清晰、更明朗，这就是转化思想。2、符号化、方程与函数思想 符号化思想，方程思想和函数思想本来是三个不同的思想，它们各有侧重点，符号化偏重于形式化、结构化。方程思想相对于算术法，偏重于关注问题中的等量关系、构造方程，由解方程而达到问题解决。函数思想则偏重于事物的运动变化，寻求变量之间的对应关系。但是，一方面，由于初中数学知识量毕竟有限，这三种思想的形成还有待学生在后继学习中完成，另一方面，这三种思想存在着有机的联系，符号化是方程思想实现的基础，而方程又可以看作是函数的特殊情况，方程方法也是研究函数的有力工具。因此，这里把这三种思想方法放在一起。 a、符号化思想符号既可以表示数，又可以表示量；既可以表示未知数，又可以表示已知数； 既可表示常量，又可表示变量，还可以用符号表示运算、表示关系、表示语句、表示图形。如新教材第三章 字母表示数中的“ 摆火柴棒”的实验， 就蕴涵着用字母表示数的思想， 如能先让学生在具体实验中计算一些具体的数值， 启发学生归纳出字母表示数的思想，认识到字母表示数具有问题的一般性， 就便于问题的研究和解决，由此就可产生从算术到代数的认识飞跃。学生领会了用字母表示数的思想就可顺利地进行以下内容的教学：（1） 用字母表示问题（ 代数式模仿、列代数式） ；（2） 用字母表示规律（ 运算定律、计算公式、认识数式通性的思想） ；（3） 用字母表示数来解题（ 适应字母式问题的能力）。 b、 方程思想方程思想就是把问题转化为利用方程或方程组求解。运用方程思想解题在数学、物理、化学等学科中均有广泛的应用。方程、函数、不等式关系紧密，是初中阶段数学的重要内容和考查热点，尤其是二次函数与二次方程。不等式反映的是不等量的关系，往往也用等量关系(函数、方程)去解决问题。在中考中，用方程思想求解的题目随处可见。同时，方程思想也是解几何计算题的重要策略。 c、 函数思想世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学。虽然函数知识安排在初三学习但函数思想已经渗透到初一、二教材的各个内容之中。因此，教学上要有意识、有计划、有目的地培养函思想方法。让学生逐渐形成以运动的观点去观察事物，并借助函数关系思考解决问题。 3、数形结合思想 “数”和“形”是数学教学中既有区别又有联系的两个对象。在数学教学中，突出数形结合思想，有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。例如初中代数中，正是借助于数形结合的载体-数轴，介绍数与点的对应关系，相反数，绝对值的定义，有理数大小比较的法则等，大大减少了学生学习这些知识的难度，因此数形结合的思想教学应贯穿于整个教学的始终。 “数”与“形”是同一个事物的两个方面，以形判数，以数论形的思想方法就是数形结合法。数量问题有时借助于图形可以很直观地解决，反之，图形问题有时转化为数量问题可以很方便的解答。有些同学重视定理、公式的计算，可是不重视数形的结合，因此，学不好数学。曲线、图象等是研究方程、函数的手段，给人以深刻的感性认识，有些难于计算或计算繁杂的题目只要画一下图形就一目了然，完全可以避免计算或减少计算量，尤其对于那些不要求运算过程的标准化题目更为适用。指导学生要想到数形结合的方法，更重要的是如何恰当地选用图形解决问题，不然就事倍功半。例 若x、y为正实数，且的最小值是多少?解析：若能考虑到是以x、l为直角边的直角三角形斜边的长，是以y、2为直角边的直角三角形斜边的长，那么上述问题就变成了求两条线段和的最值问题。如图，线段AB=4。P为AB上一动点。设PA=x，PB=y。 A B为垂足，且CA= 1 ，BD=2，则PC+PD=+。易知当点P，C，D在同一条直线上时，PC+PD最小。作CE垂直DB的延长线于E。，易知EC =4 ED =2十1 =3，故PC十PD =DC = =5 故最小值为5。评析：此题难在对形如的式子的理解， 表示以正数a，b为直角边的直角三角形的斜边，看到这个式子应立刻在头脑中产生这个直角三角形，这当然需要经验的积累。有了这个直角三角形，解决问题便有了思路。4、分类讨论思想严格说，“分类讨论思想”不是数学所特有的，是自然科学乃至社会科学研究中都用到的基本逻辑方法，由于它在数学中的重要性，这里把它作为数学思想方法提出来。初中数学中实数的分类、三角形的分类、方程的分类等等，都体现了这一思想。启发学生按不同的情况去对同一对象进行分类，帮助他们掌握好分类的方法原则，形成分类的思想。从具体的教法上看，如对初一有理数的加法教学中，引导学生观察、思考、探究，将有理数的加法分为三类进行研究，正确归纳出有理数加法法则，这样学生不仅掌握了具体的“法则”，而且对“分类”有了深刻的认识，那么在较为复杂的情况下，利用掌握好的分类的思想方法，正确地确定标准，不重不漏地进行分类，从而使看问题更加全面。当数量大小不确定，或图形的位置、形状不确定时，常常可以运用分类讨论的思想来分析解决。在进行分类讨论时，我们必须遵循以下原则：1、分类原则不重复、不遗漏。由于学生在思考问题时有时带有片面性或缺乏条理性，所以在解决问题过程中，往往违背这个原则。实际上，在教材中定理证明、例题、习题中都采用了分类思想，只要同学们认真钻研教材，多思考，并注意解题后的回顾与总结，在分类时就会做到不重、不漏。2、对复杂问题采用多级分类的方法讨论，对一个复杂的问题有时进行一级分类，很难将问题讨论清楚，这时需要对其中一类或几类再进行分类，即多级分类。多级分类是一个难点，应注意：(1)每一级分类一定要把握好分类标准。(2)每一级里,要始终如一地按一个标准讨论，同时每一级都要以“不重不漏”为原则。例：解关于x的方程：a-bx=4-3x分析：应根据除数不能为零进行分类讨论，同时，涉及a、b两个字母，需进行两级分类讨论。解：a-bx=4-3x可整理为(b-3)x=a-4(1)当b3时，方程有唯一解x=(2)当b=3时，有两种情况：a=4时，原方程的解是一切实数,a4时,原方程无解。5、整体思想所谓整体思想，就是把所考察的对象，作为一个整体来对待，而这个整体是各要素按一定的思路组合成的有机统一体。从整体上去认识问题，思考问题，是一种重要的思想方法，当然，这并不排斥把事物分解的重要性。在初中数学中，这种整体思想的例子不少，是一种相当重要的解题思想与策略。例 ： 在一条平直公路的甲乙两端，分别有A，B两辆车同时匀速相向开出，在离甲端80km处两车相遇，相遇后各自继续驶向前方，到终端后又立即返回，结果在离乙端60km处两车又迎面相遇，求甲乙两点间公路的长。 分析：若用方程思想，所设的物理量较多，方程不好解。若将A，B两车的运动过程视为一个整体 如图1所示，第一次相遇时，A，B两车行驶的路程之和为一个全程，其中A车行驶了80km。到第二次相遇时，A，B两车行驶的路程之和为三个全程，因两车都匀速行驶，不难推出，此时A车应行驶了3 80 = 240km。又由图看出，A车实际行驶了一个全程加60km，故有 s+60=240km， s=180km。面对纷繁复杂的过程，有时不必考虑细节，而是将若干个过程视为整体，通盘考虑，定能化繁为简。6、此外还有空间思想、对应思想、概率思想等，不胜枚举。 空间思想：如初一教材第一章 丰富的图形世界 就需要学生通过不断的观察，在展开与折叠、切截等数学活动过程中， 认识常见的基本几何体及点、线、面等简单的平面图形，形成一定的空间思想，提高学生空间思维能力。在实际教学中， 我充分调动学生的主观能动性，给予足够的空间和时间， 通过每个学生自己的动手操作去体会新教材所安排的内容，发现新的问题。如在“面动成体”这一知识点上，我让学生去观察、思考“面动成体”的实例，并在课堂上充分发言进行讨论，有的学生提到了“某些高档宾馆的旋转大门，面动起来就成为圆柱体”。空间思想不同于数形结合思想，数形结合强调的是代数与几何之间的打通，而空间思想强调的是对空间点、线、面关系的直觉。初中几何教材主要注重学生两方面能力的培养：一是逻辑推理能力，二是空间想象能力。对应思想：对应本质上反映了两个集合的元素与元素之间某种关系，当两个集合建立了某种对应时，这两个集合的元素和元素之间就发生了某种关系，运用两个集合元素和元素之间的对应关系来处理数学问题的思想就是对应思想。对应思想在初一教材中最典型的例子就是实数集与数轴上的点集的对应。函数和一元一次不等式（组）等章节中都存在着对应思想， 如研究一元一