初高中数学衔接教材((二).doc

2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法练 习1.（1）（2）是方程的组解； （3）（4）不是方程组的解2（1） （2） （3） （4） 2.3.2 一元二次不等式解法练 习1（1）x1，或x； （2）3x4； （3）x4，或x1； （4）x42不等式可以变为(x1a)( x1a)0， （1）当1a1a，即a0时，1ax1a； （2）当1a1a，即 a0时，不等式即为(x1)20，x1； （3）当1a1a，即a0时，1ax1a 综上，当a0时，原不等式的解为1ax1a； 当a0时，原不等式的解为x1； 当a0时，原不等式的解为1ax1a习题23A 组1（1） （2） （3） （4）2（1）无解 （2） （3）1x1 （4）x2，或x2 B 组1消去，得 当,即时，方程有一个实数解 将代入原方程组，得方程组的解为2不等式可变形为(x1)(xa)0 当a1时，原不等式的解为1xa； 当a1时，原不等式的无实数解； 当a1时，原不等式的解为ax1C 组1由题意，得 1和3是方程2x2bxc0的两根， 13，13， 即b4，c6 等式bx2cx40就为4 x26x40，即2 x23x20， x22yx2mx2(x)22 ， 当02，即0m4时，k2 ； 当0，即m0时，k2； 当2，即m4时，k2m2 31 相似形3.1.1平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.图3.1-1在一张方格纸上，我们作平行线（如图3.1-1），直线交于点，另作直线交于点，不难发现我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图3.1-2，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.例1 如图3.1-2， ，且求.图3.1-2解 例2 在中，为边上的点，求证：.证明（1） ，证明（2） 如图3.1-3，过作直线，.过作交于，得，图3.1-3因而 从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3 已知，在上，能否在上找到一点，使得线段的中点在上.解 假设能找到，如图3.1-4，设交于，则为的中点，作交于.，且，且为的中点.图3.1-4可见，当为的中点时，的中点在上.我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.例4 在中，为的平分线，求证：.证明 过C作CE/AD，交BA延长线于E，AD平分图3.1-5由知.例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.练习11如图3.1-6，下列比例式正确的是（ ）A B C D.图3.1-62如图3.1-7，求.图3.1-73如图，在中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.图3.1-84如图，在中，的外角平分线交的延长线于点，求证：.图3.1-95如图，在的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线交BC的延长线于F.求证：.图3.1-103.12相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？例5 如图3.1-11，四边形ABCD的对角线相交于点O，求证：.证明 在与中，即.图3.1-11又与中，.例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC中，为直角，.求证：（1），；（2）图3.1-12证明 （1）在与中， 同理可证得.（2）在与中，我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用. 例7 在中，求证：.证明 ，为直角三角形，又，由射影定理，知.同理可得.图3.1-13.例8 如图3.1-14，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点.某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：图3.1-14（1） 当时，有.（如图3.1-14a）（2） 当时，有.（如图3.1-14b）（3） 当时，有.（如图3.1-14c）在图3.1-14d中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，并给出证明（其中n为正整数）.解：依题意可以猜想：当时，有成立.证明 过点D作DF/BE交AC于点F，D是BC的中点，F是EC的中点，由可知，.想一想，图3.1-14d中，若，则本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史.练习21如图3.1-15，D是的边AB上的一点，过D点作DE/BC交AC于E.已知AD：DB=2：3，则等于（ ）图3.1-15A B C D2若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是，则梯形的上、下底长分别是_.3已知：的三边长分别是3，4，5，与其相似的的最大边长是15，求的面积. 图3.1-164已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.（1） 请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；（2） 若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？是正方形？5如图3.1-17,点C、D在线段AB上，是等边三角形，（1） 当AC、CD、DB满足怎样的关系时，？图3.1-17（2） 当时，求的度数.习题3.1A组1 如图3.1-18，中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，FG=4，则（ ）ADE=1，BC=7 BDE=2，BC=6 图3.1-18CDE=3，BC=5 DDE=2，BC=8 2 如图3.1-19，BD、CE是的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则等于（ ）A1：3 B1：4 C1：5 D1：6图3.1-193 如图3.1-20，中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，已知BE：AB=2：3，求.图3.1-20图3.1-214 如图3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中点，交AC于F，过F作FG/AB交AE于G，求证：.B组1 如图3.1-22，已知中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则的值为（ ）图3.1-22A B1 C D2 图3.1-232 如图3.1-23，已知周长为1，连结三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ）A B C D 图3.1-243 如图3.1-24，已知M为的边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与面积的比是（ ）A B C D 4 如图3.1-25，梯形ABCD中，AD/BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF/AD.（1） 求证：OE=OF；（2） 求的值；（3） 求证：.图3.1-25C组1 如图3.1-26，中，P是边AB上一点，连结CP.（1） 要使，还要补充的一个条件是_.（2） 若，且，则=_.图3.1-262 如图3.1-27，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且.（1） 求证：；（2） 根据图形的特点，猜想可能等于那两条线段的比（只须写出图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想.图3.1-273 如图3.1-28，在中，AB=AC，点D为BC上任一点，于F，于E，M为BC的中点，试判断是什么形状的三角形，并证明你的结论.图3.1-284 如图3.1-29a，垂足分别为B、D，AD和BC相交于E，于F，我们可以证明成立.图3.1-29若将图3.1-29a中的垂直改为斜交，如图3.1-29 b，相交于E，EF/AB交BD于F，则：（1） 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2） 请找出和之间的关系，并给出证明.3.1 相似形练习11D 2设，即.34作交于，则，又得.5作交于，即.练习21212，1834（1）因为所以是平行四边形；（2）当时，为菱形；当时，为正方形.5（1）当时，；（2）.习题3.1 A组1B 2.B 3.4为直角三角形斜边上的高，又可证.B组1C 2.C 3.A 4（1）.（2）（3）由（2）知C组1.(1)或.(2).2（1）先证，可得；（2）.3连交于，连，为等腰直角三角形，且AEDF为矩形，为斜边的中线，为直角三角形.又可证，得，故为等腰直角三角形.4（1）成立，（2），证略.3.2 三角形321 三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.图3.2-1图3.2-2如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.图3.2-3例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知 D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点，求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.证明 连结DE，设AD、BE交于点G，D、E分别为BC、AE的中点，则DE/AB，且，且相似比为1：2，图3.2-4.设AD、CF交于点，同理可得，则与重合， AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）图3.2-5例2 已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：.证明 作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点，为圆的从同一点作的两条切线，同理，BD=BF，CD=CE.图3.2-6即.例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知 O为三角形ABC的重心和内心.求证 三角形ABC为等边三角形.证明 如图，连AO并延长交BC于D.O为三角形的内心，故AD平分，（角平分线性质定理）O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.图3.2-7，即.同理可得，AB=BC.为等边三角形.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）图3.2-8例4 求证：三角形的三条高交于一点.已知 中，AD与BE交于H点.求证 .证明 以CH为直径作圆，在以CH为直径的圆上，.同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得.图3.2-9，又与有公共角，即.过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习11求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2 （1） 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是_;（2）若直角三角形的三边长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是_. 并请说明理由.3.2.2 几种特殊的三角形等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.例5 在中，求（1）的面积及边上的高；（2）的内切圆的半径；（3）的外接圆的半径.解 （1）如图，作于.为的中点，图3.2-10又解得.（2）如图，为内心，则到三边的距离均为，连， ，图3.2-11即，解得.（3）是等腰三角形，外心在上，连，则中，图3.2-12解得在直角三角形ABC中，为直角，垂心为直角顶点A， 外心O为斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为（其中分别为三角形的三边BC,CA,AB的长），为什么？图3.2-13 该直角三角形的三边长满足勾股定理：.例6 如图，在中，AB=AC，P为BC上任意一点.求证：.证明：过A作于D.在中，.图3.2-14在中，.正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.例7 已知等边三角形ABC和点P，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为，三角形ABC的高为，图3.2-15“若点P在一边BC上，此时，可得结论：.”请直接应用以上信息解决下列问题：当（1）点P在内（如图b），（2）点在外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，与之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）.解 （1）当点P在内时，法一 如图，过P作分别交于，图3.2-16由题设知，而，故，即.法二 如图，连结，图3.2-17又，即.（2）当点P在外如图位置时，不成立，猜想：.图3.2-18注意：当点P在外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，如，（如图3.2-18，想一想为什么？）等.在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法，“法二”中灵活地运用了面积的方法.练习21 直角三角形的三边长为3，4，,则_.2 等腰三角形有两个内角的和是100，则它的顶角的大小是_.3 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）A B C D 4 已知直角三角形的周长为，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积.5 证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.习题3.2A组1 已知：在中，AB=AC，为BC边上的高，则下列结论中，正确的是（）A B C D2 三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（ ）A6 B4.5 C2.4 D83 如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_.4 已知：是的三条边，那么的取值范围是_。5 若三角形的三边长分别为，且是整数，则的值是_。B组1 如图3.2-19，等边的周长为12，CD是边AB上的中线，E是CB延长线上一点，且BD=BE，则的周长为（）A B 图3.2-19C D2 如图3.2-20，在中，BD是边AC上的高，求的度数。图3.2-203 如图3.2-21，是AB的中点，AM=AN，MN/AC，求证：MN=AC。图3.2-214 如图3.2-22，在中，AD平分，AB+BD=AC.求的值。图3.2-225 如图3.2-23，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且，求证：.图3.2-23C组1 已知，则以为边的三角形是（ ）A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D形状无法确定2 如图3.2-24，把纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）图3.2-24A B C D3 如图3.2-25，已知BD是等腰三角形ABC底角平分线，且AB=BC+CD，求证：.图3.2-254 如图3.2-26，在等腰中，D是斜边AB上任一点，于E，交CD的延长线于F，于H，交AE于G.求证：BD=CG.图3.2-263.2 三角形练习11证略 2.（1）；（2）.练习215或 2.或 3.C 4设两直角边长为，斜边长为2，则，且，解得，. 5.可利用面积证.习题3.2 A组1B 2. D 3. 4. 5.8B组1A 2.3连，证.4在AC上取点E，使AE=AB，则， .又BD=DE=EC，5可证，因而与互余，得.C组1C不妨设，可得，为直角三角形.2B3在AB上取E使BE=BC，则，且AE=ED=DC，4先证明，得CE=BF，再证，得BD=CG.33圆331 直线与圆，圆与圆的位置关系设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？图3.3-1观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线.图3.3-2在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有.图3.3-3当直线与圆相切时，如图3.3-3，为圆的切线，可得，且在中，.如图3.3-4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而.图3.3-4例1 如图3.3-5，已知O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是的中点，求弦BD的长度。解 连结OD，交AB于点E。是圆心，在中，OB=5cm,BE=3cm,图3.3-5在中，BE=3cm,DE=1cm,例2 已知圆的两条平行弦的长度分别为6和，且这两条线的距离为3.求这个圆的半径.解 设圆的半径为，分两种情况（如图3.3-6）：（1） 若在两条平行线的外侧，如图（1），AB=6，CD=，图3.3-6则由，得，解得.（2）若在两条平行线的内侧（含线上），AB=6，CD=，则由，得，无解.综合得，圆的半径为5. 设圆与圆半径分别为，它们可能有哪几种位置关系？图3.3-7观察图3.3-7，两圆的圆心距为，不难发现：当时，两圆相内切，如图（1）；当时，两圆相外切，如图（2）；当时，两圆相内含，如图（3）；当时，两圆相交，如图（4）；当时，两圆相外切，如图（5）.例3 设圆与圆的半径分别为3和2，为两圆的交点，试求两圆的公共弦的长度.解 连交于，则，且为的中点，图3.3-8设，则，解得.故弦的长为.练习 11.如图3.3-9，O的半径为17cm，弦AB=30cm，AB所对的劣弧和优弧的中点分别为D、C，求弦AC和BD的长。图3.3-92.已知四边形ABCD是O的内接梯形，AB/CD，AB=8cm,CD=6cm, O的半径等于5cm，求梯形ABCD的面积。3.如图3.3-10，O的直径AB和弦CD相交于点E，求CD的长。图3.3-104若两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的公切线的长度.332 点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹.我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.从上面对圆的讨论，可以得出：（1） 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：（2） 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：（3） 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.例3 O过两个已知点、，圆心的轨迹是什么？画出它的图形.图3.3-11分析 如图3.3-11，如果以点为圆心的圆经过点、，那么；反过来，如果一个点到、两点距离相等，即，那么以为圆心，OA为半径的圆一定经过、两点.这就是说，过、点的圆的圆心的轨迹，就是到、