2020届高三上学期第二次月考数学（理）试题—附答案

20 19 2020 学年上学期月考二 高三 理科数学 试卷 总分 150 分 时间 120 分钟 注意 请将所有题目的解答都写到 答题卡 上 注意 请将所有题目的解答都写到 答题卡 上 一 选择题 本题 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 每小题只有一个选项符合题意 请将 正确答案填入答题卷中 1 设集合 2 30 Ax xx 2 Bx x 则 B RA A 2 3 xx B 0 x x C 02 xx D 20 xx 2 设 m n为两条不同的直线 为三个不重合平面 则下列结论正确的是 A 若m n 则m n B 若m 则m C 若 则 D 若m mn 则n 3 已知向量 满足2 1 2 1 且 在 方向上的投影是2 5 5 则实数 A 2 B 2 C 5 D 5 4 若 p 直线 byx 与圆 22 1xy 相交 q 0 1b 的焦点为F 已知点 A B为抛物线上的两个动点 且满足60AFB o 过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD 垂足为D 则 AB CD 的最小值为 A 3 B 1 C 2 3 3 D 2 二 填空题 本题 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 某化肥厂生产甲 乙两种肥料 生产一车皮甲肥料需要磷酸盐 4 吨 硝酸盐 18 吨 生产一车皮乙 肥料需要磷酸盐 1 吨 硝酸盐 15 吨 已知生产一车皮甲肥料产生的利润是 10 万元 生产一车皮乙肥料 产生的利润是 5 万元 现库存磷酸盐 10 吨 硝酸盐 66 吨 如果该厂合理安排生产计划 则可以获得的 最大利润是 万元 14 已知 12 F F是椭圆 22 22 10 xy Cab ab 的两个焦点 P为椭圆C上一点 且 12 PFPF 若 12 PFF 的面积为 9 则b 15 已知正实数 x y满足 2342xyxy 则54xyxy 的最小值为 2019 2020 学年 上 月考二 高三理科数学试卷 第 2 页 共 4 页 16 已知定义在R上的偶函数 f x 满足 42f xf xf 且在区间 0 2上是增函数 函数 f x的一个周期为 4 直线4x 是函数 f x图象的一条对称轴 函数 f x在 6 5 上单调递增 在 5 4 上单调递减 函数 f x在 0 100内有 25 个零点 其中正确的命题序号是 注 把你认为正确的命题序号都填上 三 解答题 共 6 题 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本题满分本题满分 1010 分分 已知在 中 角 的对边分别为 sin sin sin 1 1 求 的大小 2 若 4 13 12 求 的面积 18 本题满分本题满分 1212 分分 已知数列 n a的前n项和为 n S 1 nn Snan n 且 5 a是 2 a和 6 a的等比中项 1 证明 数列 n a是等差数列并求其通项公式 2 设 1 1 n nn b a a 求数列 n b的前n项和 n T 19 本题满分本题满分 1212 分分 已知圆C 2 2 31xy 与直线m 360 xy 动直线l过定点 1 0 A 1 若直线l与圆C相切 求直线l的方程 2 若直线l与圆C相交于P Q两点 点 M 是 PQ 的 中点 直线l与直线m相交于点 N 探索AM AN 是否为 定值 若是 求出该定值 若不是 请说明理由 2019 2020 学年 上 月考二 高三理科数学试卷 第 3 页 共 4 页 20 本题满分本题满分 1212 分分 在三棱柱 111 ABCABC 中 侧面 11 ABB A 底面ABC 90ABC o 且侧面 11 ABB A为菱形 1证明 1 AB 平面 11 ABC 2若 1 60A AB o 2AB 直线 1 AC与底面ABC所成角的正弦值为 5 5 求二面角 111 AACB 的余弦值 21 本题满分 本题满分 1212 分分 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 过点 3 1 2 P 且左焦点与抛物线 2 4yx 的焦点重合 1 求椭圆的标准方程 2 若直线 0l ykxm k 与椭圆交于不同的两点M N 线段MN的中点记为A 且线段 MN的垂直平分线过定点 1 0 8 G 求k的取值范围 22 本题满分本题满分 1212 分分 已知函数 2 1 1 ln 2 f xxaxax aR 1 讨论 f x的单调性 2 当0a 时 记 f x的最小值为M 证明 13 15 M 2019 2020 学年 上 月考二 高三理科数学试卷 第 4 页 共 4 页 2019 2020 学年上学期月考二 高三 理科数学 试卷 参考答案 一 选择题 本题 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 B 解析 因为 2 30 03 Ax xxxx 所以 2e 故选 A 2019 2020 学年 上 月考二 高三理科数学试卷答案 第 1 页 共 8 页 7 D 解析 圆的标准方程为 x 3 2 y 1 2 10 则圆心坐标为 C 3 1 半径为 10 过 E 的最短弦满足 E 恰好为 C 在弦上垂足 则 CE 22 32 11 5 则 AB 22 2 10 5 2 5 故选 D 8 C 解析 由题意可得 222 57877777 22222320aaaadaadaa 77 3 0 2 aa 则 22 2 1277 9 4 b bba 本题选择 C 选项 9 D 解析 取AB中点 O 连接O C O P 如下图所示 ABC 是斜边为AB的直角三角形 O 为ABC 的外接圆圆心 PAPB POAB 又平面PAB 平面ABC 平面PAB 平面ABCAB PO 平面ABC由球的性质可知 外接球球心O必在 PO 上 由题意可知 3O B 7PB 2 PO 设外接球半径为R 在Rt OO B 中 222 O OO BOB 2 2 23RR 解得 7 4 R 外接球表面积 2 4949 44 164 SR 本题正确选项 D 10 D 解析 由图可知 3 1 2 2 A 3 1 1 2 B 7 2 1212 T 所以2 由 22 122 kkZ 2 0 x 解得021x 则 42216 543423423331 33 x xyxyxyxx xx 16 3 233155 3 x x 当且仅当1 10 xy 时取等号 54xyxy 的最小值为 55 故答案为 55 16 解析 令 2x 得 2422fff 即 20f 由于函数为偶函数 故 220ff 所以 4f xf x 所以函数是周期为4的周期函数 故 正确 由于函数为偶函 数 故 44484fxfxfxfx 所以4x 是函数图像的一条对称轴 故 正确 根据前面的分析 结合函数在区间 0 2上是增函数 画出函数图像如下图所示 由图可知 函数在 6 4 上单调递减 故 错误 根据图像可知 2610980ffff L 零点的周期为 4 共有25个零点 故 正确 综上所述正确的命题有 2019 2020 学年 上 月考二 高三理科数学试卷答案 第 3 页 共 8 页 三 解答题 共 6 题 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本题满分本题满分 1010 分分 解析 1 因为 sin sin sin 1 所以由正弦定理得 1 整理得 2 2 2 所以cos 2 2 2 2 1 2 因为0 所以 2 3 2 因为 4 13 12 2 3 所以由余弦定理 2 2 2 2 cos 得208 2 144 2 12 cos 2 3 解得 4或 16 舍 所以 1 2 sin 1 2 12 4 sin 2 3 12 3 18 本题满分本题满分 1212 分分 解析 1 由 1 nn Snan n 得 11 11 nn Snan n 所以 11 12 nnnn SSnanan 又 11nnn SSa 所以 1 2 nn nanan 故 1 2 nn aa 故数列 n a是公差为 2 的等差数列 且 5 a是 2 a和 6 a的等比中项 即 2 526 aa a 得 2 111 8210aaa 解得 1 11a 所以 132 n an 2 由题得 1 1111 2 132112 n nn b a ann 12nn Tbbb L 1111111 21199713211 2nn L 111 2 1111212122 n nn 19 本题满分本题满分 1212 分分 解析 1 当直线l的斜率不存在时 直线l的方程为1x 此时与圆相切 符合题意 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为 1 yk x 即0kxyk 若直线与圆相切 则圆心 0 3 到直线的距离等于半径 1 所以 2 3 1 1 k k 解得 4 3 k 所以直线l的方程为 4 1 3 yx 即4340 xy 综上 直线l的方程为1x 或4340 xy 2 CM MN AM ANACCMANAC AN CM ANAC AN 2019 2020 学年 上 月考二 高三理科数学试卷答案 第 4 页 共 8 页 若直线l与x轴垂直时 不符合题意 所以l的斜率存在 设直线l的方程为 1 yk x 则由 36 1 1 3 3605 1 3 k x yk x k xyk y k 即 365 1 31 3 kk N kk 55 1 31 3 k AN kk 从而 515 5 1 1 33 k AM ANAC AN kk 综上所述 5AM AN 20 本题满分本题满分 1212 分分 解析 1 证明 连接 1 AB 因为四边形 11 ABB A是菱形 则 11 ABAB 因为平面 11 ABB A 平面ABC 且AB为交线 BCAB BC 平面 11 ABB A 1 BCAB 11 BCBC 111 ABBC 又 1111 ABC BB 1 AB 平面 11 ABC 2 取 11 AB的中点M 连接 易证BM 面ABC 且ABBC 以BA为x轴 BC为y轴 BM为z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 设BCt 则 2 0 0A 1 1 0 3A 0 0Ct 因为四边形 11 A ACC为平行四边形 则 11111 3 3ACAAACAAACt 易知ABC的一个法向 量为 0 0 1n 1 1 2 1 35 cos 5 12 AC n AC n tAC 解得3t 11 1 0 3 3 3 3A AAC 设平面 11 AAC的法向量 1111 xny z 1111 1111 30 3330 nA Axz nACxyz 令 1 1z 则 1 3 2 1n 由 1 可得面 11 ABC的法向量 1 1 0 3BA 11 11 11 6 cos 二面角 111 AACB 的余弦值为 6 4 21 本题满分 本题满分 1212 分分 解析 1 解法 1 Q抛物线 2 y4x 的焦点为 F 1 0 依题意知 椭圆的左右焦点坐标分别为 1 F1 0 2 F 1 0又椭圆过点 3 1 2 P 由椭圆的定义知 12 2PFPF4a 2a 又1c 3b 椭圆的方程为 22 1 43 xy 2019 2020 学年 上 月考二 高三理科数学试卷答案 第 5 页 共 8 页 1 解法 2 Q抛物线 2 y4x 的焦点为 F 1 0 依题意知 椭圆的左右焦点坐标分别为 1 F1 0 2 F 1 0又椭圆过点 3 1 2 P 22 22 1 9 1 4 1 ab ab 解得2a 3b 椭圆的方程为 22 1 43 xy 1 解法 3 Q抛物线 2 y4x 的焦点为 F 1 0 依题意知 椭圆的左右焦点坐标分别为 1 F1 0 2 F 1 0又椭圆过点 3 1 2 P 2 3 2 b a 2 2 13 2320 2 a aa a 0a 可解得2a 3b 椭圆的方程为 22 1 43 xy 2 解法 1 由 22 1 43 ykxm xy 消去y整理得 222 3484120kxmkxm 直线与椭圆交于不 同的两点 2222 644 344120m kkm 整理得 22 43mk 设 1122 M x yN xy 线段MN的中点 A 00 xy 则 2 1212 22 8412 3434 mkm xxx x kk 0 2 4 34 mk x k 2 00 22 43 3434 mkm ykxmm kk 点 A 的坐标为 22 43 3434 mkm kk 直线 AG 的斜率为 2 2 2 3 24 34 41 3234 348 AG m m k k mk mkk k 又直线 AG 和直线 MN 垂直 2 24 1 3234 m k mkk 2 34 8 k m k 将上式代入 式 可得 2 2 2 34 43 8 k k k 解得 55 1010 kk 或 实数k的取值范围为 55 1010 2 解法 2 设 1122 M x yN xyA x y则 22 11 1 43 xy 22 22 1 43 xy 两式相减得 2222 1212 43 xxyy 即 1212 1212 3 4 yyxx xxyy 点A满足方程 3 4 yx k 又 直线AGMN 且过点 1 0 8 G 点A也满足方程 11 8 yx k 2019 2020 学年 上 月考二 高三理科数学试卷答案 第 6 页 共 8 页 联立 解得 13 28 xy k 即 13 28 A k 点A在椭圆内部 22 1 43 xy 2 13 1 1664k 55 1010 kk 或 k的取值范围为 55 1010 22 本题满分 12 分 解析 1 因为 f x的定义域为 0 又 1 1 xxaa fxxa xx 所以当0a 时