北师大版选修22 3.2导数在实际问题中的应用 课件（30张）.pptxVIP

2导数在实际问题中的应用 1 生活中的变化率问题在物理学中 通常称力在单位时间内做的功为功率 它的单位是瓦特 在气象学中 通常把在单位时间 如1时 1天等 内的降雨量称作降雨强度 它是反映一次降雨大小的一个重要指标 2 最大值 最小值问题函数y f x 在区间 a b 上的最大值点x0指的是 函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f x0 最大值或者在极大值点取得 或者在区间的端点取得 因此 要想求函数的最大值 应首先求出函数的极大值点 然后将所有极大值点与区间端点的函数值进行比较 其中最大的值即为函数的最大值 函数的最小值点也有类似的意义和求法 函数的最大值和最小值统称为最值 名师点拨正确理解函数的极值与最值 1 函数的最大值和最小值是一个整体性概念 最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值 最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值 2 函数的最大值 最小值是比较整个定义区间的函数值得出的 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的 函数的极值可以有多个 但最大 小 值只能有一个 极值只能在区间内取得 最值则可以在端点取得 有极值的未必有最值 有最值的未必有极值 极值有可能成为最值 最值只要不在端点必定是极值 解析 f x x2 4 令f x x2 4 0得x 2或x 2 舍 当x 0 2 时 f x 0 因此x 2是函数f x 的极小值点 f 0 4 f 3 1 f x 在 0 3 上的最大值为f 0 4 答案 b 做一做2 某箱子的容积与底面边长x的关系为v x x2 0 x 60 则当箱子的容积最大时 箱子底面边长为 a 30b 40c 50d 不确定 又 当00 当40 x 60时 v x 0 v x 在x 40处取得极大值v 40 16000 且x 0 x 60 故v x 的最大值就是其极大值16000 此时箱子的底面边长为40 答案 b 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 函数在闭区间上的极大值就是最大值 2 函数在区间 a b 上的最值一定是在端点处取得 3 在闭区间 a b 上连续的函数f x 必存在最大值与最小值 4 函数的最大值只有一个 但是可以在不同点处取得 探究一 探究二 思维辨析 求函数的最值 例1 求下列函数的最值 2 f x x4 2x2 3 x 3 2 分析 求极值及两端点的函数值比较其大小 解 1 f x 3x2 3 所以y f x 的最大值为2 最小值为 2 探究一 探究二 思维辨析 2 f x 4x3 4x 由f x 4x x 1 x 1 0 得x 1 0 1 当x变化时 f x 及f x 的变化情况如下表 所以当x 3时 y f x 有最小值 60 当x 1或x 1时 y f x 有最大值4 探究一 探究二 思维辨析 反思感悟设函数y f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求y f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求y f x 在 a b 内的极值 求导数f x 求方程f x 0的全部实根 检查f x 在方程f x 0的根的左右值的符号 如果左正右负 那么y f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么y f x 在这个根处取得极小值 2 将y f x 各极值与f a f b 比较 确定y f x 的最大值与最小值 探究一 探究二 思维辨析 变式训练1函数f x x2 4x 3 在区间 2 2 上的最大值为 最小值为 函数在 2 2 上的最大值为44 最小值为 20 答案 44 20 探究一 探究二 思维辨析 变式训练2已知f x ax3 2ax2 b a 0 是否存在实数a b使得f x 在区间 2 1 上的最大值是5 最小值是 11 若存在 求出a b的值及相应函数f x 若不存在 请说明理由 解 存在 f x ax3 2ax2 b a 0 f x 3ax2 4ax ax 3x 4 若a 0 则当x变化时f x f x 的变化情况如下表 因此 f 0 必为最大值 f 0 5 得b 5 探究一 探究二 思维辨析 f 2 16a 5 f 1 a 5 f 1 f 2 f x min f 2 16a 5 11 a 1 f x x3 2x2 5 若af 1 f 2 f x max 5 a 1 f x x3 2x2 11 探究一 探究二 思维辨析 实际问题的最值 例2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元 每生产1千件需另投入2 7万元 设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完 每千件的销售收入为r x 万元 且 1 求年利润w 万元 关于年产量x 千件 的函数解析式 2 当年产量为多少千件时 该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大 并求出最大值 分析 利润是销售收入减去成本 而成本又包括固定成本与可变成本 要先求出函数w 再利用求最值的方法求利润最大值 探究一 探究二 思维辨析 探究一 探究二 思维辨析 综合 知 当x 9时 w取得最大值为38 6万元 答 当年产量为9千件时 该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大 最大值为38 6万元 探究一 探究二 思维辨析 变式训练3有甲 乙两个工厂 甲厂位于一笔直河岸的岸边a处 乙厂与甲厂在河的同侧 乙厂位于离岸40km的b处 乙厂到河岸的垂足d与a处相距50km 两厂要在此岸边合建一个供水站c 从供水站到甲厂和乙厂的水管费分别为每千米3a元和5a元 则供水站c应建在岸边何处才能使水管费用最省 探究一 探究二 思维辨析 解 依题意设cd xkm 则ac 50 x km 解得x 30 负值舍去 当0 x0 x 30时y取最小值 此时cd 30km 故ac 50 30 20km 因此供水站建在a d之间距甲厂20km处 可使水管费用最省 探究一 探究二 思维辨析 变式训练4统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y 升 关于行驶速度x 千米 时 的函数解析式可以表示为 1 当汽车以40千米 时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 2 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 即当汽车以40千米 时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油17 5升 探究一 探究二 思维辨析 令h x 0 得x 80 当x 0 80 时 h x 0 所以当x 80时 h x 取到极小值h 80 11 25 因为h x 在 0 120 上只有一个极值 所以它是最小值 故当汽车以80千米 时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为11 25升 探究一 探究二 思维辨析 因不注意实际问题的定义域而致误 典例 现有一批货物由海上从a地运往b地 已知轮船的最大航行速度为35海里 时 a地至b地之间的航行距离约为500海里 每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成 轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比 比例系数为0 6 其余费用为每小时960元 1 把全程运输成本y 元 表示为速度x 海里 时 的函数 2 为了使全程运输成本最小 轮船应以多大速度行驶 易错分析 解应用题最关键的就是要准确写出数学模型的函数关系式 这其中就包括函数的定义域 求定义域时一定要根据题目的条件 考虑自变量的实际意义 本题中函数的定义域为 0 35 探究一 探究二 思维辨析 令y 0 解得x 40或x 40 舍去 函数的定义域为 0 35 函数在定义域内没有极值点 又 0 x 35时 y 0 故为了使全程运输成本最小 轮船应以35海里 时的速度行驶 探究一 探究二 思维辨析 纠错心得对于实际问题 除要正确地写出函数关系 依据求函数最值的步骤求最值外 还要注意验证极值点是否在函数的定义域内 若不在定义域内 则需要考虑应用函数的单调性求解 12345 1 函数f x 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最大值 最小值分别是 a 5 15b 5 4c 4 15d 5 16解析 f x 6x2 6x 12 令f x 0得x 2或x 1 舍 当0 x0 即f x 在x 2时 取极小值f 2 15 又f 0 5 f 3 4 所以f x 在 0 3 上的最大值为5 最小值为 15 答案 a 12345 2 用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时 在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形 然后把四边折起 就能焊成铁盒 当所做的铁盒容积最大时 在四角截去的正方形的边长为 a 6cmb 8cmc 10cmd 12cm解析 设截去的小正方形的边长为xcm 铁盒的容积为vcm3 由题意 得v x 48 2x 2 0 x 24 v 12 24 x 8 x 令v 0 则在 0 24 内有解x 8 故当x 8时 v有最大值 答案 b 12345 3 函数f x x3 3ax a在 0 1 内有最小值 则a的取值范围为 a 0 a0 3a0 0 a 1 答案 b 12345 4 设函数f x x3 2x 5 若对任意x 1 2 都有f x m 则实数m的取值范围是 解析 f x 3x2 x 2 令3x2 x 2 0 12345 5 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元 辆 出厂价为13万元 辆 年销售量为5000辆 本年度为适应市场需求 计划提高产品档次 适当增加投入成本 若每辆车投入成本增加的比例为x 0 x 1 则出厂价相应提高的比例为0 7x 年销售量也相应增加 已知年利润 每辆车的出厂价 每辆车的投入成本 年销售量 1 若年销售量增加的比例为0 4x 为使本年度的年利润比上年度有所增加 则投入成本增加的比例x应在什么范围内 值时 本年度的年利润最大 最大利润是多少 12345