1.3.1单调性 (2).doc

1.3.1 导数在研究函数中的应用-单调性（1）海安县实验中学 王美霞教学目标：知识与技能：借助函数的图象探索函数的单调性与导数的关系，会利用导数研究函数的 单调性；过程与方法：通过初等方法与导数方法在研究函数性质中的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。情感、态度与价值观：通过两种方法在探究函数的单调性的过程中的比较，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，感受和体会数学自身发展一般规律，提高理性思维能力.教学重、难点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性；教学方法：通过实例，借助图形直观探索函数单调性和导数的关系，通过数形结合，理解并掌握导数的正负与函数单调性的关系。【教学过程】一、复习回顾，引入课题引言：函数单调性是函数的一个非常重要的性质，刻画了函数值随自变量的变化而的变化情况，进而可以讨论函数的最值或值域，甚至画出函数的图象。因此，今天我们再次来研究函数的单调性。揭示课题：单调性问题：函数单调性是如何定义的？学生：一般地，设函数的定义域为A，区间如果对于区间I内的任意两个值，当时，都有，那么就说在区间I上是单调增函数，I称为的单调增区间。如果对于区间I内的任意两个值，当时，都有，那么就说在区间I上是单调减函数，I称为的单调减区间。问题：如何判断函数的单调性？引例：试说明函数在哪个区间上是增函数？哪个区间上是减函数？学生练习，实物投影仪投影板书。在实物投影上书写：若， 呢？总结：(1)图象法：依性作图，以图识性。渗透数形结合思想。(2)定义法：取值、作差、变形、断号、定论。渗透解题的规范意识。教师小结：运用定义或图象讨论函数的单调性都属于初等方法，定义法就是根据函数的单调性定义，用数学符号语言来描述，过程比较严谨；图象法就是利用图形语言来描述，非常直观。当然，我们还有以利用复合函数的性质、函数加减运算的性质等去判断函数的单调性。问题：你们能利用这些初等方法讨论研究所有函数的单调性吗？ 列举其中三个函数：(1)；（2）；（3）。问题：困难在哪里？学生：作差难以变形，图象难以画出。教师小结：对基本初等函数进行复合或运算后，例如上述函数判断单调性，要么用定义法作差后变形非常困难，要么不能利用已有数学知识快速、准确地画出图象。二、归纳探索，发现结论 探究一：借助图象，直观感知几何画板作出上述函数的图象.问题1：根据上述连续函数的图象，你能判断函数的单调性，并找到单调区间吗？学生：函数（1）可以，而第（2）、（3）两个函数不能，难以确定单调区间的分界点.问题2：函数单调性是对函数变化趋势的一种刻画，近期还学了什么数学知识也可以刻画函数的变化趋势，反映函数上升或下降的陡峭程度的？学生：导数。函数的导数主要刻画了函数在每一点处的瞬时变化率，反映了函数上升或下降的陡峭程度.问题3：两者有什么关联？你能得出什么结论？师生共同探究，学生分组讨论，猜想一般结论：学生：对于函数（1）如果在某区间上，那么为该区间上增函数；（2）如果在某区间上，那么为该区间上减函数；探究二：虽然上述三个函数是由大家随意找出的，但能代表所有连续可导函数吗？也就是说上述结论具有一般性吗？学生：（1）（2）对任何可导函数均成立，具有一般性；问题1：对任意连续可导函数在区间上恒成立，几何意义是什么？学生：函数图象在区间上任意一点处切线的斜率都大于零。问题2：要证明函数 在区间 上单调递增，根据定义就是要证明什么？变形形式是什么？学生：（1）任取,且,有成立； （2）任取，都有成立； （3）函数图象在区间上连结任意两点割线的斜率都大于零。教师指出：原来函数在区间上单调也具有类似的几何意义。问题3：如果图象连续的函数在区间上恒成立，则函数在区间上单调递增，你能简单说明理由吗？ 学生分组讨论。学生：让经过两点的割线平行移动，与函数图象相切，设切点为。因此得到教师指出：虽然还不是十分的严密，但分析过程已非常接近于严格的数学证明了，大家发现了连续可导函数在区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部的瞬时变化率的关系。等式就是高等数学中的拉格朗日定理，法国数学家拉格朗日于1797年在其著作解析函数论的第六章提出了该结论，并进行证明，感兴趣的同学课后可以做进一步的研究。上述结论就是导数在研究函数中的重要应用。探究三：该结论反之成立吗？能举反例吗？对于学生错误的回答，引导学生举反例说明.几何画板说明.例如：虽然函数在上单调递增，但，所以逆命题不真。三、数学运用例1.讨论确定下列函数的单调区间：(1)；（2），（3）；注意：1分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流。强调单调区间的区间形式、不能取并集等注意点。第（1）题教师板书过程；（2）、（3）小题学生板书。2归纳解题步骤引导学生分组讨论，基本步骤：确定定义域，求导数，解不等式，确定单调区间。 练习：1.利用导数法研究函数 的单调性2.（1）讨论函数的单调性； （2）讨论函数的单调性。xyO图1xyOxyOxyOyOx例2设函数在定义域内可导，的图象如图1所示，则导函数可能为 答案：变式题1：如果函数的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：函数在区间内单调递增；函数在区间内单调递减；函数在区间内单调递增；函数的单调递增区间是-22O1-1-11则上述判断中正确的是_答案：变式题2：已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是 答案： O-221-1-212O-2-221-112O-241-1-2