42-2 绘制根轨迹的基本规则.ppt

4 1根轨迹法的基本概念 4 2绘制根轨迹的基本法则 4 3广义根轨迹 4 4利用根轨迹分析系统性能 4根轨迹法 课程回顾 1 根轨迹系统某一参数由0 变化时 闭环极点在s平面相应变化所描绘出来的轨迹 闭环极点与开环零点 开环极点及K 均有关 相角条件 模值条件 根轨迹方程 K与K 的关系 闭环零点 前向通道零点 反馈通道极点 课程回顾 2 法则1根轨迹的分支数及起点和终点 根轨迹起始于开环极点 终止于开环零点 当开环极点个数n大于开环零点个数m时 有n m条根轨迹分支趋向于无穷远处 法则2根轨迹的对称性和连续性 根轨迹连续且对称于实轴 法则3实轴上的根轨迹 从实轴上最右端的开环零点或极点向左算起 奇数开环零 极点到偶数开环零 极点之间的区域必是根轨迹 定理 若系统有2个开环极点 1个开环零点 且在复平面存在根轨迹 则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧 法则4根之和 n m 2时 闭环根之和为常数 4 2绘制根轨迹的基本法则 7 法则5渐近线 n m时 n m条根轨迹趋于无穷远处的规律 证明 1 根轨迹方程 p117 4 2绘制根轨迹的基本法则 8 法则5渐近线 n m时 n m条根轨迹趋于无穷远处的规律 4 2绘制根轨迹的基本法则 9 法则5渐近线 n m时 n m条根轨迹趋于无穷远处的规律 例1系统开环传递函数为 试绘制根轨迹 解 实轴上的根轨迹 2 0 渐近线 4 2绘制根轨迹的基本法则 10 例2系统结构图如图所示 解 1 渐近线 实轴上的根轨迹 4 2 1 0 1 绘制当K 0 时系统的根轨迹 2 当Re l1 1时 l3 用根之和法则分析绘制根轨迹 2 4 2绘制根轨迹的基本法则 11 法则6分离点与会合点 对应重根 当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面 此交点称为根轨迹的分离点 当根轨迹由复平面走向实轴时 它们在实轴上的交点称为会合点 求解根轨迹的分离点和会合点d 图4 10根轨迹的分离点和会合点 图4 11根轨迹的复数分离点 或 4 2绘制根轨迹的基本法则 12 例3单位反馈系统的开环传递函数为 解 渐近线 实轴上的根轨迹 2 1 0 绘制根轨迹 分离点 整理得 解得 与虚轴交点 例4一反馈控制系统的开环传递函数为 求该系统根轨迹的分离点 解 基于上述的规则 可知该系统的根轨迹有如下的特征 1 有4条根轨迹分支 它们的始点分别为0 4 2 由于开环没有零点 因而4条根轨迹分支沿着渐近线趋于无穷远 这些渐近线与实轴正方向的夹角分别为 渐近线与实轴的交点为 4 2绘制根轨迹的基本法则 13 3 实轴上的 40 线段是根轨迹 4 系统的特征方程式为 求得 这表明该系统的根轨迹除了在实轴上有一个分离点外 还有两个共轭复数分离点在处 4 2绘制根轨迹的基本法则 14 4 2绘制根轨迹的基本法则 15 法则7与虚轴交点 解法I 1 系统临界稳定点 2 s jw是根的点 接例3 Routh 解法II 稳定范围 0 K 3 4 2绘制根轨迹的基本法则 16 法则8出射角 入射角 起始角 终止角 根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角 称为根轨迹的出射角 根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角 称为根轨迹的入射角 计算根轨迹出射角和入射角的目的在于了解复数极点或零点附近根轨迹的变化趋向 便于绘制根轨迹图 出射角 入射角 4 2绘制根轨迹的基本法则 17 例5已知系统结构图 绘制根轨迹 解 渐近线 实轴上的根轨迹 0 与虚轴交点 出射角 绘制根轨迹法则小结 法则5渐近线 法则1根轨迹的分支数及起点和终点 法则2根轨迹的对称性和连续性 法则3实轴上的根轨迹 法则4根之和 法则6分离点 法则7与虚轴交点 法则8出射角 入射角 例1一反馈控制系统如图4 15所示 试绘制该系统的根轨迹 系统的开环传递函数为 与上式对应的特征方程根的轨迹如图4 16所示 p124 例题 图4 15所示系统的闭环传递函数为 其闭环特征方程为 不难看出 上式中s 1这个根与参变量K无关 或者说它不受K的控制 而方括号内多项式的二个根随参变量K的变化而变化 图4 16仅描述了这二个根的轨迹 例3设单位反馈系统的传递函数为 解 1 一个开环零点 两个开环极点 两条根轨迹分支 有一个无穷远处的零点 3 分离点 2 渐近线与实轴重