高考数学-导数习题集

1 已知函数 1 求函数的单调区间 2 是否存在实数 使得函数的极值大于 若存在 求 的取值范围 若不存在 说明理由 答案 1 函数的定义域为 当时 因为 所以 所以函数单调递增区间为 当时 令得 因为 所以 所以 i 当 即时 得 故 所以函数的单调递增区间为 ii 当 即时 方程的两个实根分别为 若 则 此时 当时 所以函数的单调递增区间为 若 则 此时 当时 当时 所以函数 的单调递增区间为 单调递减区间为 综上所述 当时 函数的单调递增区间为 单调递减区间为 当时 函数的单调递增区间为 无单调递减区间 2 由 1 得当时 函数在上单调递增 故函数无极值 当时 函数的单调递增区间为 单调递减区间为 则有极大值 其值为 其中 而 即 所以 设函数 则 则在上为增函数 又 则等价于 所以等价于 即时 方程的大根大于1 设 由于的图象是开口向上的抛物线 且经过点 对称轴 则只需 即 解得 而 故实数 的取值范围为 解析 本题主要考查导数在研究函数单调性以及极值中的应用 1 先求出的导函数 然后对 以及进行分类讨论 可得的递增区间 可得的递减区间 2019 8 19 2019 8 19 数学 1 2 由 1 可知 当 函数取到极大值 先求出函数极大值的表达式 找出的等价 条件有一个大于0 的根 由此可得 的取值范围 2 已知函数 I 求函数的单调区间 当时 试推断方程 是否有实数解 证明 在区间上 函数的图象恒在函数 的图象的上方 答案 解 1 由题意得 当时 所以当时 函数的增区间为R 当时 令 即 可得 由得 所以当时 函数得单调增区间为 单调减 区间为 2 当时 易得 令 得 令 2019 8 19 2019 8 19 数学 2 得 故在处取得极大值 也是最大值 所以 所以 令 所以 令可得 由可得 故在处取得极大值 亦是最大值 所以 所以方程无实数解 3 由题意可得 本题即证 当时 恒成立 令 则 令 则 又 所以 所以函数在上单调递增 而 2019 8 19 2019 8 19 数学 3 所以设为函数的零点 则 即 即 所以 所以 所以当时 即时 函数单 调递减 当时 即 函数 单调递增 所以为函数的极小值点 也是最小值点 所以 所以 即当时 所以原题得证 解析 1 先对原函数求导 然后在定义域内讨论导函数的符号即可 2 通过研究等号两边两个函数的最值 通过比较即可得出原方程是否有解 3 只需要说明函数的最小值为正即可 利用导数研究函数 的单调性 最值即可获证 本题考查了利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的性质进一步研究方程的根的 情况 不等式的解得情况 考查了函数思想在方程 不等式中的应用 2019 8 19 2019 8 19 数学 4 3 2015秋 海南校级月考 已知函数 1 讨论的导函数零点的个数 2 证明 当时 答案 解 的定义域为 当时 恒成立 故没有零点 当时 为单调递增 单调递增 在单调递增 又 假设存在b满足时 且 故当时 导函数存在唯一的零点 证明 由 知 可设导函数在上的唯一零点为 当时 2019 8 19 2019 8 19 数学 5 当时 故在单调递减 在单调递增 当时 取得最小值 最小值为 由于 解析 利用导数的运算法则可得 对a分类讨论即可得出 由 知 可设导函数在上的唯一零点为 利用导数研究 其单调性极值最值即可证明 4 本小题满分12分 设函数 1 若函数在处与直线相切 求函数在上的最大值 2 当时 若不等式对所有的 都成立 求实数的取值范围 答案 1 由题 函数在处与直线相切 所以有 解得 3分 所以 令 得到 令 得到 所以在上单调递增 在上单调递减 所以 6分 2 当时 若不等式对所有的 都成立 则 对所有的 都成立 即对所有的 都成 2019 8 19 2019 8 19 数学 6 立 令 则为一次函数 所以 9分 因为 所以 所以在上单调递增 所以 所以 对所有的都成立 所以 所以 因此实数的取值范围是 12分 解析 本题主要考查导数的概念及其几何意义 导数的计算 导数在研究函数中的应用 1 根据题中条件可以得到 对求导得到 代入数据即可得到 结果 2 将题中条件等价为对所有的 都成立 令 则为 一次函数 所以 得到 对所有的都成立 因此可得到结果 5 本题满分100分 已知函数 设是的极值点 求并讨论的单调性 当时 证明 答案 由是的极值点得 所以 于是 定义域为 函数在上单调递增 且 因 此 当时 当时 所以 在上单调递减 在上单调递增 当 时 故只需要证明当时 当 时 函数在单调递增 又 故在有唯一实根 且 当时 当时 从而当时 取得最小值 由得 故 综上 当时 解析 本题主要考查函数的求导和函数的单调性的判断 先对函数求导 得导函数 由题 则可得的值 当时 单调递增 求得的 的取值范围即为单调增区间 当时 单调递减 求得的 的取值范围即为单调减区 间 由分析知 只需证明当时 此时通过分析函数单调性 求得即可得证 2019 8 19 2019 8 19 数学 7 6 证明 答案 又有 当 时等号成立 此时 7 设函数 若对任意 恒成立 则m的取值范围为 答案 对任意 恒成立 2019 8 19 2019 8 19 数学 8 等价于恒成立 设 则 在上单调递减 在上恒成立 对于 仅在时成立 的取值范围是 解析 由 恒成立 等价于 恒成立 即在 上单调递减 求出m的取值范围 2019 8 19 2019 8 19 数学 9 8 已知函数 若在区间内任取两个 不同实数m n 不等式恒成立 则实数a的取 值范围是 答案 解 由于 则 表示点与点连线的斜 率 因实数p q在区间内 故和在区间内 不等式 恒 成立 函数图象上在区间内任意两点连线的斜率小于1 故函数的导数小1在内恒成立 由函数的定义域知 2019 8 19 2019 8 19 数学 10 在内恒成立 即在内恒成立 由于二次函数在上是单调增函数 故时 在上取最小值为6 故答案为 解析 由于表示点与 点连线的斜率 故函数图象上在区间内任意两 点连线的斜率小于1 故有在内恒 成立 即在内恒成立 由此求得a的取值范围 本题考查斜率公式的应用 考查函数的恒成立问题 将函数恒成立转化为求函数的最值是解 决不等式恒成立问题的基本方法 9 己知函数f x x2 2alnx a 2 x a R I 当a O时 讨论函数f x 的单调性 II 是否存在实数a 对任意的x1 x2 0 且有恒成 立 若存在 求出a的取值范围 若不存在 2019 8 19 2019 8 19 数学 11 说明理由 答案 1 解 1 当时 由 得或 由得 2 当时 恒成立 3 当时 由得或 由得 综上 当时 在和上单调递增 在上单调递减 当时 在上单调递增 当时 在和上单调递增 在上单调递减 2 令 要使 只要在上为增函数 即在上恒成立 因此 即 故存在实数 对任意的 且 有恒成立 10 已知函数图象上任意一点处 的切线的斜率都小于1 则实数a的取值范围是 答案 解 由题意 2019 8 19 2019 8 19 数学 12 当时 取到最大值 是 解得 故答案为 解析 函数图象上任意一点处的切线 的斜率都小于1 可得出函数的导数的最大值小于1 由此求解即可 本题考查导数的几何意义 解题的关键是理解导数的几何意义 能根据其几何意义将题设中 的条件任意一点处的切线的斜率都小于1转化为导数的最大值小于1 正确的转化基于对概 念的正确理解与领会 学习时要注意领会揣摸概念的含义 11 本小题满分14分 设函数 当 为自然对数的底数 时 求的最小值 讨论函数零点的个数 若对任意 恒成立 求的取值范围 答案 当时 定义域为 当时 所以在上单调递减 当时 所以在上单调递增 又因为连续 所以当时 取最小值 由题意可得 令 得 设 则 当时 所以在上单调递增 当时 所以在上单调递减 2019 8 19 2019 8 19 数学 13 因为连续 所以当时 取最大值 令 即 化简为 因为 所以解得或 故函数 的图象如图所示 由图可知 当时 函数和函数无交点 当时 函数和函数有且仅有一个交点 当时 函数和函数有两个交点 当时 函数和函数有且仅有一个交点 综上所述 当时 函数无零点 当或时 函数有且仅有一个零点 当时 函数有两个零点 对任意 恒成立 等价于对任意 恒成立 设 则由以上条件可得 在上单调递减 所以 在恒成立 从而在恒成立 因此 当且仅当时取等 故的取值范围是 解析 本题主要考查导数的运算以及导数在研究函数中的应用 通过计算的导数得到在定义域上的单调性 从而求出的最小值 2019 8 19 2019 8 19 数学 14 函数等价于 所以求函数在上的零点个数 等价于求函数与在上的交点个数 通过计算的导数得到在 上的单调性 从而根据图象对的取值范围分情况讨论交点的个数 最后综合得到总的交点个数 条件 对任意 恒成立 等价于对任意 恒成 立 即函数在上单调递减 所以 从而解出的取值范围 12 已知函数在点处的切线与x轴平行 1 求实数a的值及的极值 2 如果对任意 有 求实数k的取值范围 答案 解 1 函数的的导数 在点处的切线与x轴平行 所以 当时 当时 在上单调递增 在单调递减 故在处取得极大值1 无极小值 2 由 1 的结论知 在上单调递减 不妨设 则 2019 8 19 2019 8 19 数学 15 函数在上单调递减 则在上恒成立 在上恒成立 在上 故 解析 1 求函数的导数 根据导数的几何意义建立条件关系即可求实数a的值及的极值 2 根据不等式单调函数的单调性关系 将不等式进行转化 利用导数求函数的最值即可得 到结论 13 本小题满分12分 已知函数在点处的切线与直线平行 1 求实数的值及的极值 2 若对任意 有 求实数的取值范围 答案 本小题满分12分 命题意图 本题主要考查函数与导数的综合应用能力 具体涉及到用导数来描述原函数的单调性 极值等情况 本题对考生的逻辑推理与运算求解能力有较高要求 试题解析 解 1 由题意得 又 解得 令 解得 即有极小值为 6分 2 由 可得 2019 8 19 2019 8 19 数学 16 令 则 其中 又 则 即 因此实数的取值范围是 12分 14 已知函数 其中 对于不相等的实数 设 现有如下命题 对于任意不相等的实数 都有 对于任意的 及任意不相等的实数 都有 对于任意的 存在不相等的实数 使得 对于任意的 存在不相等的实数 使得 其中的真命题有 写出所有真命题序号 解析 本题主要考查导数的含义以及利用导数研究函数的性质 项 因为在其定义域上是单调递增的 根据单调递增的定义可知 对于任意的 恒有 与同号 即恒成立 故 项符合题意 项 由题意可得在上单调递减 在上单调递增 当单调递减时 根据单调递 减的定义可知 对于任意的 恒有与异号 即 故 项不 符合题意 项 如下图所示 一个连续函数存在一条割线 则一定能在曲线上找到一个点 使得函数在点 处的导数 即切线斜率 与割线斜率相同 反之 任意点均能够找到某一割线 使得函数在点处 的导数 即切线斜率 与割线斜率相同 2019 8 19 2019 8 19 数学 17 下面使用反证法 假设即成立 设函数 则 根据上述性质 存在 使得 因为 所以存在某一 对于任意 都有 成立 即可以取任意值 然而有 最小值 实际上 令 当时 有 当 时 单调递减 当时 单调递 增 即在处取最小值 因此当时 找不到某个 使得 以上推论均不成立 故 项不符合题意 项 函数 考查 令 恒成立 即在上单调递减 并且当 趋于正无穷时 趋于负无穷 当 趋于负无穷时 趋于正无穷 即 任 取 存在某一 使得成立 根据上述性质 存在 使得 故 项符合题意 故本题正确答案为 15 已知函数 求证 当时 恒有 答案 解 函数的定义域为 2019 8 19 2019 8 19 数学 18 当时 单调递增 当时 单调递减 所以当时取得极大值 无极小值 由 1 知 为唯一的极大值点 也即最大值点 所以当时 即 所以 令 则 当时 单调递减 当时 单调递增 所以是唯一的极小值点 也即最小值点 所以 即 所以 2019 8 19 2019 8 19 数学 19 综上 时 有 解析 由 1 知为最小值 即 由此可证 令 利用导数可证明 由此可证明 本题考查应用导数求函数的极值 最值及导数研究函数单调性 考查综合运用所学知识分 析问题解决问题的能力 综合性强 难度大 其中特值探求k值是解决问题的 良方 16 答案 2019 8 19 2019 8 19 数学 20 17 本题满分14分 已知函数的图象在点处的切线的斜率为2 求实数的值 设 讨论的单调性 已知且 证明 2019 8 19 2019 8 19 数学 21 答案 在区间和都是单调递增的 详见解析 解析 分析试题 因为图象在点处的切线的斜率为2 所以 即可求出m 的值 因为 所以设 当时 是增函数 所以 故 在上为增函数 当时 是减函数 所以 故在上为增函数 所以在区间和都是单调递增 的 利用分析证明法 由已知可知要证 即证即证 即证 即证 又 由 2 知 成立 所以 试题解析 解 所以 由题意 得 3分 所以 设 当时 是增函数 所以 故在上为增函数 6分 当时 是减函数 所以 故在上为增函数 所以在区间和都是单调递增的 8分 2019 8 19 2019 8 19 数学 22 由已知可知要证 即证 10分 即证 即证 即证 12分 又 由 2 知成立 所以 14分 考点 1 导数的几何意义 2 导数在函数单调性中的应用 3 函数单调性在不等式证明中的应用 18 本小题满分100分 已知函数 若直线与的反函数的图像相切 求实数 的值 设 讨论曲线与曲线 公共点的个数 设 比较与的大小 并说明理由 答案 的反函数为 设直线与的图象在处相切 则有 解得 曲线与的公共点个数等于曲线与的公共点个数 令 则 所以 当时 在上单调递减 当时 在上单调递增 所以 在上的最小值为 当时 曲线与无公共点 当时 曲线与恰有一个公共点 当时 在区间内存在 使得 在内存在 使得 由的单调性知 曲线与在上恰有两个公共点 综上所述 当时 若 曲线与没有公共点 若 曲线与 有一个公共点 当 曲线与有两个公共点 可以证明 事实上 2019 8 19 2019 8 19 数学 23 令 则 仅当 时等号成立 所以在上单调递增 所以时 令 即得 式 结论得证 解析 本题主要考查导数在函数中应用 求解函数的反函数 然后利用相切 设出切点坐标 求出反函数导数 和直线斜率相同 求出斜率 值 用 表示 利用解析式进行求导 分析函数的单调性 从而确定每个函数值对应几个横坐标 即为 取该值时 对应几个公共点 将不等式进行变换可得到 构造函数 通过函数单调性即可判断不等式成立 从而得到 19 函数 1 求的最大值 2 设 求证 答案 1 所以在上单调递增 在上单调递减 2 分别证明不等式的左 右两边 左边 要证 即要证 令 则 即在上单调递增 所以时 故不等式左边成立 右边 要证 即要证 2019 8 19 2019 8 19 数学 24 即 令 有 即要证 即 令 则 即在上单调递增 所以时 故不等式右边成立 解析 本题主要考查导函数的应用 1 对求导 根据单调性得最大值 2 分别证明不等式的左 右两边 不等式恒成立问题转化为最值问题 左边要证 代入函数值 令 判断在 上递增且即可 右边要证 代入函数值 令 判断在上单调递增且即可 20 已知函数 的图象在点处的切线方程为 1 用 表示出 2 若在上恒成立 求 的取值范围 3 证明 答案 1 因为 所以 又因为函数 的图象在点处的切线方程为 所以 解得 2 由 1 知 令 2019 8 19 2019 8 19 数学 25 则 令 则 当时 若 则 是减函数 所以 即 故在上不恒成立 当时 若 则 是增函数 所以 即 故当时 综上所述 的取值范围为 3 证明 由 2 知 当时 有 令 有 且当时 令 有 即 将上述 个不等式依次相加得 整理得 解析 本题主要考查导数的概念及其几何意义 导数的计算以及导数在研究函数中的应用 1 已知函数 求出 利用导数的几何意义 得到 即可用 表示出 2 由 1 知 令 求出 利用导数判断函数的单调 性 进而求出在上恒成立时 的取值范围 3 由 2 知 当时 有 令 有 令 则 再整理即可得证 2019 8 19 2019 8 19 数学 26 21 已知 为函数 图象上一点 O为坐标原点 记直线 的斜率 1 若函数 在区间 上存在极值 求实数 m 的取值范围 2 当 时 不等式 恒成立 求实数 的取值范围 3 求证 答案 令 则 14分 所以 将以上 个式子相加得 2019 8 19 2019 8 19 数学 27 故 16分 22 函数证明 答案 解 当 则 在 1 上递增 则 又 当 x 0 x m 求导得 f x 令f x 0 假设x a m满足 所以 a m 当 m x a时 f x a时 f x 0 f x 是增函数 所以 x a m是f x 的最小值点 f x f a ln a m f a ln a m ln a 2 m 0 所以 f x f a 0 f x ex ln x m 当m 2时 证明f x 0 ex ex 1 x m ea 1 a m e a ea ea eae a eaea e a m 2019 8 19 2019 8 19 数学 63 学生遇到这类题时 应充分利用题目所给的已知条件 通过化简或者推导逐渐向问题靠拢 这样会更快地求出答案 学生做这种简单题时 更应该要注重细节 以免因为粗心而导致丢掉不必要的分数 解析 本题主要考察了导数的计算和应用 考生在做题的时候先将导数求出来 然后根据其性质和条件进行求 解 即可证明函数大于0成立 46 2016 金凤区校级四模 已知函数为常数 函数 a为常数 且 若函数有且只有1个零点 求k的取值的集合 当 中的k取最大值时 求证 答案 解 时 则在 上单调递增 而 故在上存在唯一零点 满足题意 时 令得 则在上单调 递增 2019 8 19 2019 8 19 数学 64 令得 则在上单调递减 若 得 显然满足题意 若 则 而 又 令 则 令 得 故在上单调递增 令 得 故在上单调递减 故 则 即 则 故在上有唯一零点 在上有唯一零点 不符题意 2019 8 19 2019 8 19 数学 65 综上 k的取值的集合为或 由 知 当且仅当时取 而 故 则时 记 则 令 则 故 在上单调递增 而 故存在 使得 即 则时 故 2019 8 19 2019 8 19 数学 66 时 故 则在上单调递减 在上单调递增 故 故 解析 求导数 利用导数的正负 和函数的零点存在定理 分类讨论 即可k的取值的集合 构造函数记 求导 再构造函数 确定函数的单调性 求出即可证明结论 47 本小题满分12分 1 讨论函数的单调性 并证明当时 2 证明 当时 函数 有最小值 设的最小值为 求函数 的值域 答案 1 对函数求导 有 时无意义 时恒成立 所以函数在区间 与上单调递增 当时 即 整理得 2 对函数求导并整理得 由 1 知 当 时 单调递增 对任意的 所以存在唯 一点 使得 即 当时 单调递 减 当时 单调递增 所以在处取得最小值 最小值为 令 则 所以单调递增 所 以由 得 即 因为单调递增 对任意的 存在 2019 8 19 2019 8 19 数学 67 唯一的 使得 所以的值域是 综上 当时 有最小值 的值域是 12分 解析 本题主要考查导数的计算以及导数在研究函数中的应用 1 对函数求导 利用导数与函数单调性的关系求得在上的取值即可证得题中不等式 2 对函数求导求得的最小值再利用导数与函数单调性的关系即可求得的值域 48 设函数 1 当 为自然对数的底数 时 求的极小值 2 讨论函数零点的个数 答案 解 1 当时 其定义域为 令 递减极小值递增 故当时 取得极小值 2 其定义域为 令 得 设 其定义域为 则的零点为与的交点 2019 8 19 2019 8 19 数学 68 递增极大值递减 故当时 取得最大值 作出的图象 可得 当时 无零点 当或时 有且仅有 个零点 当时 有两个零点 解析 1 要求的极小值 可以通过判断其单调性从而求得其极小值 对求导 可知 再通过列表即可得当时 取得极小值 2 令 可得 因此要判断函数的零点个数 可通过画出函数 的草图来判断 同样可以通过求导判断函数的单调性来画出函数图象的 草图 通过列表可得到的单调性 作出的图象 进而可得 当时 无零点 当或时 有且仅有 个零点 当时 有两个零点 49 已知 1 若存在 使得成立 求a的范围 2019 8 19 2019 8 19 数学 69 2 求证 当时 在 1 的条件下 成立 答案 解 1 函数在上 在上 函数在处取得最大值 存在 使得成立 2 证明 令 则 2019 8 19 2019 8 19 数学 70 成立 解析 1 求导数 确定函数在处取得最大值 即可求a的范围 2 令 证明 即可证明 本题考查导数知识的运用 考查函数的最值 正确构建函数 确定函数的单调性是关键 50 已知函数f x ln2 1 x 求函数f x 的单调区间 答案 解 函数f x 的定义域是 设则 令则 当时 在 1 0 上为增函数 当x 0时 在上为减函数 所以h x 在x 0处取得极大值 而h 0 0 所以 函数g x 在上为减函数 于是当时 当x 0时 所以 当时 在 1 0 上为增函数 当x 0时 在上为减函数 故函数f x 的单调递增区间为 1 0 单调递减区间为 2019 8 19 2019 8 19 数学 71 51 已知函数 I 求函数的单调区间 若不等式对任意的都成立 其中e是自然对数 的底数 求a的最大值 答案 解 函数的定义域是 设 则 令 则 当时 在上为增函数 当时 在上为减函数 所以在处取得极大值 而 所以 2019 8 19 2019 8 19 数学 72 函数在上为减函数 于是当时 当时 所以 当时 在上为增函 数 当时 在上为减函数 故函数的单调递增区间为 单调递减区间为 不等式等价于不等式 由知 设 则 2019 8 19 2019 8 19 数学 73 由 知 即 所以 于是在上为减函数 故函数在上的最小值为 所以a的最大值为 解析 函数的定义域是求判断正负 由 于比较复杂令分子为判断单调性从而判断函数值正负 再 令 可求当时 在上为增函数 当时 在 上为减函数在处取得极大值 而 所 以函数在上为减函数于是当 时 当时 借用 结论将题设中不等式变形即可求出a最大值 本题考查函数单调性问题由于导函数过于复杂方法中多次求导 2019 8 19 2019 8 19 数学 74 52 已知函数的最小值为 其中 1 求 的值 2 若对任意的 有成立 求实数 的最小值 答案 1 令 可得 令 为增函数 为减函数 时 函数取得极小值也是最小值 函数的最小值为 得 2 当时 取 有 故不合题意 当时 令 即 求导函数可得 令 可得 当时 在上恒成立 在上单调递减 对任意的 有成立 当时 在上 为增函数 在上 为减函数 因此存在使得 可得 即 与题矛盾 2019 8 19 2019 8 19 数学 75 综上 时 对任意的 有成立 实数k的最小值为 解析 本题主要考查函数的恒成立问题 1 对进行求导 已知的最小值为 可得极小值也为 得 从而求出 的值 2 由题意任意的 有成立 可以构造 求出的最大值小于 0即可 可以利用导数研究的最值 53 已知函数满足 求的解析式及单调区间 若 求的最大值 答案 令得 得 在上单调递增 得 的解析式为 且单调递增区间为 单调递减区间为 得 当时 在上单调递增 时 与矛盾 当时 得 当时 令 则 当时 当时 的最大值为 2019 8 19 2019 8 19 数学 76 解析 本题主要考查函数的求导和函数的单调性 利用函数单调性求极值 先对函数求导得 当时 单调递增 求得的 的取值范围即为单调增区间 当 时 单调递减 求得的 的取值范围即为单调减区间 构造函数 求导得 讨论在不同 取值的情况下函数 的单调性 通过求得函数的极值 求得关于表达式的取值范围 再构造函数 求导取极值 得 出的最大值 54 答案 2019 8 19 2019 8 19 数学 77 55 已知函数 1 讨论的单调性 2 设 证明 当时 3 若函数的图象与 轴交于 两点 线段中点的横坐标为 证明 答案 1 的定义域为 i 若 则 所以在单调增加 2019 8 19 2019 8 19 数学 78 ii 若 则由得 且当时 当时 所以在单调增加 在单调减少 2 设函数 则 当时 而 所以 故当时 3 由 1 可得 当时 函数的图象与 轴至多有一个交点 故 从而的最大值为 且 不妨设 则 由 2 得 从而 于是 由 1 知 解析 本题主要考查函数及导数的性质 1 根据函数的导函数讨论函数的单调性 2 构造函数 只需证明当 时 即可 3 在 1 中得到了的单调性 故只需得到线段中点的横坐标为所在单调区间为减区间即可 56 例 设函数f x ax cos x x 0 设f x 1 sin x 则a的取值范围为 答案 2019 8 19 2019 8 19 数学 79 57 已知函数 1 若在处取得极值 求实数b的值 2 若对任意 都有恒成立 求实 数a的取值范围 3 在 1 的条件下 设对任意给定的正实数a 曲线上是否存在两点P Q 使得是以为坐标原 点 为直角顶点的直角三角形 且此三角形斜边中点在y轴上 请说明理由 答案 解析 1 由 得 2019 8 19 2019 8 19 数学 80 若在处取得极值 即 解得 2 2 由 得 且等号不能同时取 即 恒成立 令 则 当 时 2019 8 19 2019 8 19 数学 81 在上为增函数 3 由条件 假设曲线上存在两点P Q满足题意 则P Q只能在y轴两侧 不妨设 则 且 是以O为直角顶点的直角三角形 是否存在P Q等价于方程在且时是否有解 若时 方程为 化简得 此方程无解 若时 方程为 2019 8 19 2019 8 19 数学 82 即 设 则 显然 当时 即在上为增函数 的值域为 即 当时 方程总有解 对任意给定的正实数a 曲线 上总存在两点P Q 使得是以为坐标原点 为直角顶点的直角三角形 且此三角形斜边 中点在y轴上 解析 1 直接对求导 根据在处取得极值 建立方程 即可解出b的 值 2 根据条件化简得 2019 8 19 2019 8 19 数学 83 恒成立 令 求出的最小值即可确 定a的范围 3 先假设曲线上存在两点P Q满足题意 设出 则 从而由是以 为坐标原点 为直角顶点的直角三角形可建立关系式 分情况求解即可 58 设函数 且 1 求函数的单调区间 2 已知 对任意成立 求实数 的取值范围 答案 1 由题得 且 因为恒成立 所以令可得 当时 当且时 所以函数的单调递增区间为 单调递减区间为 2 因为 所以 即 因为 所以 所以 因为对任意恒成立 所以对任意恒成立 2019 8 19 2019 8 19 数学 84 则求当时 的最大值 由 1 知 在上递增 在上递减 所以当时 所以 解析 本题主要考查导数与函数的单调性和函数的极值与最值 1 求导可得 令求得 根据的正负性可得函数的 单调区间 2 对两边同时取对数可得 由可得 则问题转化为对任 意恒成立 即求当时 的最大值 由 1 知在上的单调性 则有 即 59 本题满分100分 已知函数 若曲线和曲线都过点 且在点处 有相同的切线 求 的值 若时 求 的取值范围 答案 由已知得 而 故 从而 由 知 设函数 则 由题设可得 即 令 得 i 若 则 从而当时 当时 即在单调递减 在单调递增 故在的最小值为 而 故当时 即恒成立 ii 若 则 从而当时 即在单调递 增 而 故当时 即恒成立 iii 若 则在单调递增 而 从而当时 不可能恒成立 综上所述 的取值范围是 解析 2019 8 19 2019 8 19 数学 85 本题主要考查导数在研究函数中的应用 将点代入函数和 分别对函数和求导得和 代入点得和 由以上条件得出四个方程 联立即可解得四个未知数 构造函数 利用导数分类讨论该函数的单调性 求得 在的最小值 而 从而推得 的取值范围 60 已知函数 1 当 时 求曲线 在 处的切线方程 2 若当 时 成立 求 的取值范围 答案 1 2 解析 1 由题意可得 当时 即点为 则 则所求切线方程的斜率为 则所求切线方程为 即 综上所述 结论是 2 已知 则 已知 则 则在上单调递增 则 若 则 函数在上单调递增 2019 8 19 2019 8 19 数学 86 若 则存在 则函数在上单调递减 在上单调递增 由 可得存在 不符合题意 则 综上所述 结论是 61 已知函数的图象在点 处的切线方程为 1 用a表示出b c 2 若在上恒成立 求a的取值范围 答案 解 则有 解得 由 知 令 2019 8 19 2019 8 19 数学 87 则 i 当 若 则 是减函数 所以 故在 上恒不成立 时 若 故当时 综上所述 所求a的取值范围为 解析 根据导数的几何意义求出函数在处的导数 从而求得切线的斜率 以及切点在函数的图象上 建立方程组 解之即可 2019 8 19 2019 8 19 数学 88 先构造函数 利用导数研究的最小值 讨论a的范围 分别进行求解即可 求出a的取值范围 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程 以及函数恒成立问题等基础题知识 考 查运算求解能力 考查化归与转化思想 分类讨论思想 属于基础题 62 答案 63 12分 已知函数 1 若 求 的值 2 设为整数 且对于任意正整数 求的最小值 2019 8 19 2019 8 19 数学 89 答案 1 的定义域为 由已知得 对求导 得 若 则恒成立 在上递增 则时 所以不合题意 若 则时 递减 时 递增 令 时 递增 时 递减 故当且仅当时 符合题 意 综上 2 由 1 得在上恒成立 所以 令 即有 因为 所以若对于任意正整数 则有 整数 解析 本题主要考查导数在研究函数中的应用 1 对 分类讨论 利用导数研究函数的单调性 得出满足的 的值 2 要证不等式等价于 根据 1 中结论 对 赋值 得到 从而将放缩成等比数列的前 项和 由 知 从而 取最小整数值 64 已知函数f x lnx 3x ax2的图象在点 1 f 1 处的切线方程为y 1 1 确定实数a的值 并求函数f x 的单调区间 2 若n N 求证 ln 1 1 2ln 1 3ln 1 nln 1 2 2 6 答案 解 1 由已知的函数定义域为 0 f x 3 2ax 因为函数的图象在 1 f 1 处的切线方程为y 1 所以f 1 1 3 2a 0 所以a 2 2019 8 19 2019 8 19 数学 90 由f x 3 4x 0 得x 1或x 舍 所以当x 0 1 时 f x 0 f x 递增 当x 1 时 f x 0 f x 递减 故函数的单调递增区间是 0 1 单调递减区间是 1 2 由 1 知f x 有最大值f 1 1 因而f x 1 所以当x 1 时 f x lnx 3x 2x2 1恒成立 所以lnx 2x2 3x 1 2x 1 x 1 所以 2x 1 取x 1 则 即nln 1 1 所以ln 1 1 2ln 1 3ln 1 nln 1 1 1 1 1 2 1 n 当n 1时 2 所以1 1 2 1 2 2 2 1 因而2 1 n n 4 2 2 2 6 即对任意n N ln 1 1 2ln 1 3ln 1 nln 1 2 2 6 解析 解题方法提示 求出导函数 利用导数的几何意义 求出f 1 根据切线方程 知切线斜率 由斜率等于f 1 解出a 再 由导数的符号求得函数f x 的单调区间 利用 1 的结论 得到不等式f x 1对x 0 1 恒成立 变形证得 2x 1恒成立 2019 8 19 2019 8 19 数学 91 对不等式中x赋值x 1 得到不等式nln 1 1 又令n 1 2 3 就得到一系列同向不 等式 相加 利用不等式的性质 对不等式右边通项放缩 2 每一项按此规律放缩后即可 证得结果 65 2017 东城区一模 已知函数 当时 求曲线在点处的切线方程 若在上为单调递减 求m的取值范围 设 求证 答案 解 时 故切线方程是 即 在恒成立 2019 8 19 2019 8 19 数学 92 即在恒成立 令 当时 故 证明 由 时 在上递减 2019 8 19 2019 8 19 数学 93 即 解析 求出函数的导数 计算 的值 求出切线方程即可 求出函数的导数 问题转化为在恒成立 令 根据函数的单调性求出m的范围即可 取 根据函数的单调性得到 即 从而证明结论即可 66 设函数 曲线在点处的切线方程为 1 求 2 证明 答案 1 函数的定义域为 由题意可得 故 2 由 1 知 从而等价于 设 则 所以当时 当时 故在上单调 递减 在上单调递增 从而在上的最小值为 设函数 则 所以当时 当时 故在上单调 2019 8 19 2019 8 19 数学 94 递增 在上单调递减 从而在的最大值为 综上 当时 即 解析 本题主要考查导数在研究函数中的应用 1 求得表达式 根据和的值即可解得 2 将所要证明的结论化为证明成立 将不等式两边用函数表示 通过求导得到两边函 数的最值 分析发现左边最小值等于右边最大值 而由于取得最值的条件不相等 则等号不成立 故左边 右边恒成立 得证 67 已知函数有两个零点 1 求 的取值范围 2 设 是的两个零点 证明 答案 1 由题意知 当时 由 解得 当时 函数单调递减 当时 函数单调递增 而当时 所以函数只有唯一零点 故不成立 当时 由 解得或 若 则 故当时 因此函数为增函数 又当时 所以不存在两个零点 若 则 故当时 因此函数为减函数 当时 因此函数为增函数 又当时 所以不存在两个零点 当时 则当时 因此函数为减函数 当时 因此函数为增函数 又因为 2019 8 19 2019 8 19 数学 95 取 满足 且 则 所以存在两个零点 综上所述 的取值范围是 2 不妨设 由 1 知 当时 函数为减函数 所以等价于 即 由于 而 所以 设 则 所以当时 而 故当时 从而 故 解析 本题主要考查导数的综合应用 1 对 的取值分情况进行讨论 利用函数的单调性以及极值点函数值的正负 依据函数零点的个数 从 而得到 的取值范围 2 根据 1 中确定的函数性质 利用辅助函数 即可证明 68 2017春 汉阳区校级期中 已知函数 其中 1 讨论的单调性 2 若在上的最大值是0 求a的取值范围 答案 2019 8 19 2019 8 19 数学 96 解 1 当时 故的单调增区间是 单调减区间是 当时 令 得 或 当时 与的情况如下 x 0 0 所以 的单调增区间是 单调减区间是和 当时 的单调减区间是 当时 与的情况如下 2019 8 19 2019 8 19 数学 97 x 0 0 所以 的单调增区间是 单调减区间是 和 当时 的单调增区间是 单调减区间是 2 由 1 知时 在上单调递增 由 知不 合题意 当时 在的最大值是 由 知不合题意 当时 在单调递减 可得在上的最大值是 符合题意 所以 在上的最大值是0时 a的取值范围是 解析 1 对a分类讨论 利用导数与函数单调性的关系即可得出 2 通过讨论a的范围 求出函数的单调区间 结合题意求出a的范围即可 2019 8 19 2019 8 19 数学 98 69 设函数 1 当时 求函数在点处的切线方程 2 若函数存在两个极值点 求实数a的范围 证明 答案 解 1 函数的导数为 在点处的切线斜率为2 切点为 即有在点处的切线方程为 即为 2 函数的定义域为 函数有两个极值点 且 有两个不同的根 且 计算得出 证明 由 1 知 则 因此 2019 8 19 2019 8 19 数学 99 令 则 即在上单调递增 则 即有 解析 1 求得函数的导数 求得切线的斜率和切点 由点斜式方程可得切线的方程 2 已知函数有两个极值点 可化为 有两个不同的正根 从而计算得出a的范围 由根与系数的关系可得 从而 代入化简可得 令 求导判断函数的单调性 从而证明上式成立 本题考查了导数的综合应用 同时考查了根与系数的关系 化简比较繁琐 注意要细心 属于 难题 70 设函数 为常数 是自然对数的底数 1 当时 求函数的单调区间 2019 8 19 2019 8 19 数学 100 2 若函数在内存在两个极值点 求 的取值范围 答案 1 函数的定义域为 由可得 所以当时 函数单调递减 当 时 函数单调递增 所以的单调减区间为 单调增区间为 2 由 1 知 时 函数在内单调递减 故在内不存在极值点 当时 设 函数 因为 当时 当时 单调递增 故在内不存在两个极值点 当时 得 时 函数单调递减 时 函数单调递增 所以函数 的最小值为 函数在内存在两个极值点当且仅当 解得 综上所述 函数在内存在两个极值点时 的取值范围是 解析 解析 本题主要考查导数在研究函数中的应用 1 得到表达式 对其正负性进行讨论 故可得到的单调区间 2 根据 1 中结论 得到 的取值范围为 设 得到 的表达式 在上存在两个极值点即在上存在零点 通过 对端点值和极值点处的值的正负性进行讨论即可得到 的取值范围 71 已知函数 a为实数 1 当时 求函数的单调区间 2 若在上存在极值点 且极值大于 求a的取值范围 2019 8 19 2019 8 19 数学 101 答案 解 1 的定义域为 恒成立 在 上单调递增 2 由 1 可知 当时 在 上单调递增 函数无极值点 当时 在上存在极值点 设 则在上恒成立 在上单调递增 2019 8 19 2019 8 19 数学 102 设极值点为 则极值为 由 得 令 在上单调递增 而 令 时吗 单调递减 的取值范围为 解析 1 先求导 再根据导数和函数单调性的关系即可求出答案 2019 8 19 2019 8 19 数学 103 2 设极值点为 则极值为 多次构造函数 利用导数和 函数的最值得关系即可求出a的取值范围 72 已知函数有两个极值点 且 1 求a的取值范围 2 证明 答案 解 1 函数的定义域为 当 即时 恒成立 此时函数单调递增 无极值 当 即时 有两个不同的根 且 此时函数有两个极值 综上 a的取值范围 2 证明 有两个极值点 且 有两个不同的根 且 有两个不同的根 且 由 1 得 2019 8 19 2019 8 19 数学 104 令 在时 恒成立 在单调递减 故 解析 1 求出的导数 结合二次函数的性质求出a的范围即可 2 依题意得有两个不同的根 且 即 有两个不同的根 且 可得 由 1 得 令 利用导数求解 73 本小题满分分 设函数 1 讨论的单调性 2 若有两个极值点和 记过点 的直线的斜率为 问 是否存在 使得 若存在 求出 的值 若不存在 请说明理由 答案 1 由题意得的定义域为 令 其判别 式 2分 当时 恒成立 故在上单调递增 当时 的两根都小于 所以在上 故在上单调递 增 当时