三排序不等式.pptx

三排序不等式 第三讲柯西不等式与排序不等式 学习目标1 了解反序和 乱序和 顺序和等有关概念 2 了解排序不等式及其证明的几何意义与背景 3 掌握排序不等式的结构形式 并能简单应用 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点排序不等式 思考1某班学生要开联欢会 需要买价格不同的礼品4件 5件及2件 现在选择商店中单价为3元 2元和1元的礼品 问有多少种不同的购买方案 在这些方案中哪种花钱最少 哪种花钱最多 答案 1 共有3 2 1 6 种 不同的购买方案 2 5 3 4 2 2 1 25 元 这种方案花钱最多 5 1 4 2 2 3 19 元 这种方案花钱最少 思考2如图 POQ 60 比较与的大小 答案 梳理 1 顺序和 乱序和 反序和的概念设有两个有序实数组 a1 a2 an b1 b2 bn c1 c2 cn是b1 b2 bn的任意一个排列 乱序和 反序和 顺序和 S a1c1 a2c2 ancn S1 a1bn a2bn 1 anb1 S2 a1b1 a2b2 anbn 2 排序不等式 排序原理 设a1 a2 an b1 b2 bn为两组实数 c1 c2 cn是b1 b2 bn的任一排列 则 a1c1 a2c2 ancn 当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时 反序和等于顺序和 a1bn a2bn 1 anb1 a1b1 a2b2 anbn 题型探究 类型一利用排序不等式证明不等式 命题角度1字母已定序问题 证明 又顺序和不小于乱序和 故可得 原不等式成立 反思与感悟利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察 分析所要证明的式子的结构 从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组 证明 证明因为0 a b c 所以0 a b c a b c 又0 a2 b2 c2 由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和 命题角度2字母大小顺序不定问题 证明 证明由不等式的对称性 不妨设a b c 0 由顺序和 乱序和得到两个不等式 两式相加 得 反思与感悟对于排序不等式 其核心是必须有两组完全确定的数据 所以解题的关键是构造出这样的两组数据 跟踪训练2设a b c R 利用排序不等式证明 证明不妨设0 a b c 所以由排序不等式可得 证明 类型二利用排序不等式求最值 解答 解由于a b c的对称性 不妨设a b c 0 则a b a c b c 由排序不等式 得 反思与感悟求最小 大 值 往往所给式子是顺 反 序和式 然后利用顺 反 序和不小 大 于乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和 从而求出其最小 大 值 解答 达标检测 1 设a b c均为正数 且P a3 b3 c3 Q a2b b2c c2a 则P与Q的大小关系是A P QB P QC P QD P Q 1 2 3 4 解析不妨设a b c 0 则a2 b2 c2 0 由排序不等式 得a2a b2b c2c a2b b2c c2a 当且仅当a b c时 等号成立 所以P Q 解析 答案 2 已知a1 2 a2 7 a3 8 a4 9 a5 12 b1 3 b2 4 b3 6 b4 10 b5 11 将bi i 1 2 3 4 5 重新排列记为c1 c2 c3 c4 c5 则a1c1 a2c2 a5c5的最大值是A 324B 314C 304D 212 答案 1 2 3 4 解析a1c1 a2c2 a5c5 a1b1 a2b2 a3b3 a4b4 a5b5 2 3 7 4 8 6 9 10 12 11 304 解析 3 n个正数与这n个正数的倒数的乘积的和的最小值为 1 2 3 4 n 解析 答案 解析设0 a1 a2 a3 an 则由排序不等式得 反序和 乱序和 顺序和 故最小值为反序和 1 2 3 4 证明 证明由题意不妨设a b 0 1 对排序不等式的理解排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题 能构造的和按数组中的某种 搭配 的顺序被分为三种形式 顺序和 反序和 乱序和 对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的 次序 两种较为简单的是 顺与反 而乱序和也就是不按 常理 的顺序了 2 排序不等式的本质两实数序列同方向单调 同时增或同时减 时所得两两乘积之和最大 反方向单调 一增一减 时所得两两乘积之和最小 规律与方法 3 排序不等式取等号的条件等号成立的条件是其中一序列为常数序列 即a1 a2 an或b1 b2 b3 bn 4 排序原理的思想在解答数学问题时 常常涉及一些可以比较大小的量 它们之间并没有预先规定大小顺序 那么在解答问题时 我们可以利用排序原理