2011全国高考新课标理科数学试题及答案.doc

2012年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)理科数学第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题有且只有一个选项是符合题目要求的. 开始输入N输出结束否是1. 复数的共轭复数是()A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是偶函数又在(0，+)单调递增的函数是()A. B. C. D. 3. 执行右面的程序框图，如果输入的是6，那么输出的是 ()A. 120B. 720C. 1440D. 5040 4. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B. C. D. 5. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则()A. B. C. D. （正视图）（俯视图）6. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为()（A） （B） （C） （D）7. 设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于、两点，为的实轴长的2倍，则的离心率为()A. B. C. 2D. 38. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ()A. 40B. 20C. 20D. 409. 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为()A. B. 4C. D. 610. 已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题：； ：；：；：. 其中的真命题是()A. ，B. ，C. ，D. ，11. 设函数(，)的最小正周期为，且，则A. 在(0，)单调递减 B. 在(，)单调递减 C. 在(0，)单调递增 D. 在(，)单调递增12. 函数的图像与函数()的图像所有交点的横坐标之和等于 ()A. 2B. 4C. 6D. 8第II卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第22题第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若变量，满足约束条件，则的最小值为. 14. 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为. 过的直线交于A、B两点，且的周长为16，那么的方程为. 15. 已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且，则棱锥的体积为. 16. 在中，则的最大值为. 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)等比数列的各项均为正数，且，. (I)求数列的通项公式；(II)设，求数列的前项和. 18. (本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面. (I)证明：；(II)若，求二面角的余弦值. 19. (本小题满分12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品. 现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组90，94)94，98)98，102)102，106)106，110频数82042228B配方的频数分布表指标值分组90，94)94，98)98，102)102，106)106，110频数412423210(I)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；(II)已知用B配方生产的一件产品的利润(单位：元)与其质量指标值的关系式为. 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为(单位：元)，求的分布列及数学期望. (以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)20. (本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足，M点的轨迹为曲线. (I)求的方程；(II)为上的动点，为在点处的切线，求点到距离的最小值. 21. (本小题满分12分)已知函数，曲线在点(1，)处的切线方程为. (I)求，的值；(II)如果当，且时，求的取值范围. 22. (本小题满分10分) 选修41：几何证明选讲如图，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合. 已知的长为，的长为，的长是关于的方程的两个根. (I)证明：，四点共圆；(II)若，且，求，所在圆的半径. 23. (本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线. (I)当求的方程；(II)在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求. 24. (本小题满分10分)选修45：不等式选讲设函数，其中. (I)当时，求不等式的解集；(II)若不等式的解集为，求的值. 2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)理科数学参考答案一选择题 （1）C（2）B（3）B（4）A（5）B（6）D （7）B（8）D（9）C（10）A（11）A（12）D二填空题 （13）（14）（15）（16）三解答题（17）解：（I）设数列的公比为. 由得，所以. 由条件可知，故. 由得，所以. 故数列的通项公式为. （II） . 故，所以数列的前项和为. （18）解：（I）因为，由余弦定理得. 从而，故. 又底面，可得. 所以平面. 故. （II）如图，以为坐标原点，的长为单位长，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则即. 因此可取. 设平面的法向量为，则，可取. . 故二面角的余弦值为. （19）解：（I）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为. 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为. （II）用B配方生产的100件产品中，其质量指标落入区间，的频率分别为，因此，,. 即的分布列为则的数学期望. （20）解：（I）设，由已知得，. 所以，. 再由题意可知，即. 所以曲线的方程为. （II）设为曲线上一点，因为，所以的斜率为. 因此直线的方程为，即. 则点到的距离. 又，所以当时取等号，所以点到的距离的最小值为. （21）解：（I）由于直线的斜率为，且过点，故即，解得，. （II）由（I）知，所以考虑函数，则（i）设，由知，当时，. 而，故当时，可得；当时，可得从而当，且时，即. （ii）设，由于当时，故，而，故当时，可得，与题设矛盾. （iii）设，此时，而，故当时，得，与题设矛盾. 综合得，的取值范围为. （22）解：（I）连结，根据题意在和中，即. 又，从而.因此. 所以，四点共圆. （II），时，方程的两根为，. 故，. 取的中点，的中点，分别过，作，的垂线，两垂线相交于点，连结. 因为，四点共圆，所以，四点所在圆的圆心为，半径为. 由于，故，从而，. 故，四点所在圆的半径为. （23）解：（I）设，则由条件知，由于点在上，所以，即. 从而的参数方程为(为参数).(II)曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为. 射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为，所以. （24）解：（I）当时，可化为由此可得或，故不等式的解集为或. （II）由得此不等式化为不等式组或即或. 由于，所以不等式组的解集为. 由题设可得，故. 2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷二）理科数学（必修+选修II）一、 选择题（1） 复数，为的共轭复数，则A.-2iB.-iC.iD.2i（2） 函数的反函数为A.B.C.D.（3） 下面四个条件中，使得成立的充分不必要条件是A.B.C.D.（4） 设为等差数列的前项和，若，公差，则A.8B.7C.6D.5（5） 设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得到的图像与原图像重合，则的最小值等于A. B.3C.6 D.9（6） 已知直二面角，点，C为垂足，点，D为垂足。若，则D到平面ABC的距离为A.B.C.D.（7） 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法有A.4种B.10种C.18种D.20种（8） 曲线，在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为A.B.C.D.（9） 设是周期为2的奇函数，当时，则A.B.C.D.（10） 已知抛物线的焦点为F，直线与C交与A，B两点，则A.B.C.D.（11） 已知平面截球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面的半径为4，圆M面积为，则圆N的面积为A.B.C.D.（12） 设向量满足，则的最大值为A.2B.C.D.1二、 填空题（13）的二项展开式中，x的系数与的系数之差为_。（14）已知，,则=_。（15）已知F1、F2 分别为双曲线的左右焦点，点，点M的坐标为(2,0)，为的平分线，则_。（16）已知点E、F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱上，且，则面AEF与ABC所成的二面角的正切值等于_。三、解答题（17）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，求C。（18）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。（I） 求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中一种的概率。（II）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。（19）如图，四棱锥中，侧面为等边，.ADCBS（I） 证明：；（II）求与平面所成角的大小。（20）设数列满足且.（I） 求的通项公式；（II）设，记，证明：.（21）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交于A、B两点，点P满足.（I） 证明：点P在C上；（II）设点P关于点O的对称点为Q，证明四点在同一圆上。（22）设函数。（I） 证明：当时，；（II）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p。证明：。参考答案一、 选择题123456789101112BBADCCBAADDA二、填空题13、0 14、 15、616、三、解答题（17）（10分）由及正弦定理可得（3分）又由于,所以7分 10分 （18）（12分）解：记A“有一位车主购买甲种保险”，B“车主买乙种保险但不购买甲种保险”，C“至少购买一种保险”，D“两种保险都不购买”（I） 6分（II) 所以10分因为 所以 12分（19）（12分）解法一：HGFADCBS（I） AB中点E，连结SE，则.又，故,所以是直角3分由,所以SD与两条相交直线AB、SE都垂直所以6分（II） 由知，平面作,垂足为F，则，.作，G为垂足，则.连结SG则.又，故 9分作,H为垂足，则又，F到平面SBC的距离为.由于所以，E到平面SBC的距离d为。设AB与平面SBC所成的角为，则 12分解法二：（I） 以C为坐标原点，射线CD为x正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz。设D(1,0,0)，则A(2,2,0)、B(0,2,0).又设，则.易得由得 ,故.由得. 又得即，所以.3分所以.则.所以，又，所以。6分（II） 设平面的法向量为，则故 9分取得，又，得AB