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开放探究，别致璀璨高考数学开放探索题型大解密湖南省临澧一中 朱福文 415200数学开放题是相对于条件完备、结论确定的封闭题而言的，是指那些条件不完备、结论不确定的数学问题。条件完备、答案固定的数学题在发展学生思维、提高学生素质方面带有一定的局限性，而开放性试题以其复杂多变、综合性强、知识覆盖面宽，注重考察探索精神和创新意识等特征而逐渐成为高考热点。纵观近几年高考试题，开放性试题的趋势有增无减。本文对部分高考数学开放探究性试题进行归类解析，以供参考。一、条件追溯型此类试题中结论给出，但题设的条件不充分，需探求结论成立的条件或部分条件。其主要类型包括条件未知、条件不足、条件有余、条件有误四种情况，高考中以前两种居多一般需执果索因，分析倒推探求结论成立的条件求解此类问题时，应运用“执果索因法”寻求结论成立的充分条件。例1已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。【解析】因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得 故.又 原不等式成立. 当且仅当a=b=c时，式和式等号成立。当且仅当时，式等号成立。即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。 例2在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点，若（、），则、满足的一个等式是 。【解析】因为、是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又双曲线方程为，=，化简得4ab=1评注：对于条件未知的探索性问题，可用执果索因的演绎法或由特殊到一般的归纳法。而另一类缺少条件的探索性问题，则一般从结论出发，并利用已知条件，进行逆向推理，推得的终结点便是所求的条件。这类题的答案往往是不唯一的，答案与已知条件对整个问题而言只要充分的、相容的、独立的，就视为正确的，对于考查学生发散性思维能力有较好作用。二、结论探索型此类题型的结论不明确，或结论不唯一。求解此类问题时，可以“执因索果”直推结论，也可以综合运用观察，分析、类比、划归、讨论等方法探索结论，再“执果索因”，论证结果。例3已知定点A(1，0)，F(2，0)，定直线l：x，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（）求E的方程；（）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由. w_w w. k#s5_u.c o*m【解析】(1)设P(x,y)，则，化简得x2=1(y0) (2)当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为yk(x2)(k0)与双曲线x2=1联立消去y得 (3k)2x24k2x(4k23)0由题意知3k20且0，设B(x1,y1),C(x2,y2)，则y1y2k2(x12)(x22)w_w w. k#s5_u.c o*m而x1、x21，故直线AB的方程为y(x1)，M点的坐标为(),同理可得w_w w. k#s5_u.c o*m0当直线BC与x轴垂直时，易得0w_w w. k#s5_u.c o*m综上0，即FMFN，故以线段MN为直径的圆经过点F。评注：这类问题一般结论都不确定或不惟一，常需由特殊出发，归纳、引申、推广到一般情况由浅人深，由特殊到一般，灵活运用归纳、类比、分类讨论等数学思想方法多角度地进行探索四、存在判断型由已知条件判断结论是否存在的探索性问题，这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述，解答这类问题，一般是先对结论作出肯定的假设，然后由此出发，结合已知条件进行推理论证。若导出合理的结论，则存在性随之解决；若导出了矛盾，也就否定了存在性。A DB CA1 D1B1 C1E例4如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点。（）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；()在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F/平面A1BE？证明你的结论。【解析】（）以AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系易求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为2/3；()设=(x,y,z)是平面A1BE的一个法向量，则由=0, =0得，-x+z=0, -x+y+z=0, ，取n.设F是棱C1D1上的点，则F（t,1,1）(0t1)，又B1（1，0，1），n这说明在在棱C1D1上存在一点F（），使B1F/平面A1BE评注：这是一道立体几何型的开放探究题，解此类问题常用假设法，即“假设推理否定（或肯定）假设得出结论”，其实质上是先假设结论，再“执果索因”。 即判断某一数学对象是否存在的问题这类问题方法灵活，构思精巧，不但要求考生判断存在与否，而且要对判断的合理性作出严格的数学证明而且在高考中最为普遍，也最容易设置，只需将明确的、定性的结论改造成需要探索的、讨论的设问方式就可以了。五、类比推广型类比推理题，其特点是根据两个对象或两类事物之间存在着一些相同或相似的属性，猜测它们之间可能具有其它一些相同或相似的属性的思维方法。主要类型有：研究命题本身，对命题进行拓广、探索解决问题的方法，对命题进行论证、穷举归纳，完善命题等三类。“由特殊到一般”是解决这类题型的思维主线例5观察下列等式：KS*5U.C#O cos2a=2-1; cos4a=8- 8+ 1; cos6a=32- 48+ 18- 1; cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1; cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1可以推测，m n + p = 【解析】因为所以；观察可得，所以m n + p =962。例6若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列例如，若数列是，则数列是已知对任意的，则 ， 【解析】因为，而，所以m=1,2,所以2.所以1, 4，9，16，归纳得 评注：类比是创造性的“模仿”，联想是“由此及彼”的思维跳跃在开放题的教学中，引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养学生的创新思维能力，又有利于提高学生举一反三、触类旁通的应变灵活性 六、方案设计型此类题型具有答案多元型和解法的多样性，解题时必须全方位、多层次、多角度地分析条件和结论，尝试使用不同的方法，采用多种途径去探索与论证，力求保证解答过程的严谨性和完备性。给出一些条件，利用条件设计出最优方案。例7某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。【解析】由题意得设，OD=，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，所以，解得，当取得最小值，且最小值为。此时，在中，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇 评注：解决途径和解题方法超越常规，有一定的创造性成分，需要用观察、类比、联想、模拟等似真推理来探路，再借助逻辑思维进行严格的推理论证这种试题要求考生“上下求索，左右逢源，前后呼应”的立体交叉式的三维逻辑思维方式。 总之，探索与创新是高考命题永恒的主题，今后的高考试题将进一步加大